Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

1. Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208

3. Početní operace (úkony) s KČ: • rovnost KČ • součin KČ a čísla reálného • součet KČ • rozdíl KČ • součin KČ (včetně mocnin imaginární jednotky) • podíl KČ

4. Početní operace definujeme pro: • dvě komplexní čísla a = a1+ a2i, b = b1+ b2i (a, b  C) • reálné číslo k (k  R)

5. a) a1 = b1 a2 = b2 + I) Rovnost KČ a = b a1 = b1 a2 = b2 (rovnají se příslušné části KČ) Příklad: Určete x, y  R tak, aby platilo

6. b) c) d) e) f)

7. Příklad: Určete k . a, je-li a = 1 – 2i, . II) Součin čísla reálného a KČ reálná část imaginární část k . a = k . (a1 + a2i ) = ka1 + ka2i • výsledkem je opět KČ ... KČ opačné k danému

8. III) Součet KČ a + b = (a1 + a2i ) + (b1 + b2i ) = = (a1 + b1) + (a2i + b2i ) = = (a1 + b1) + (a2+ b2) i reálná část imaginární část • výsledkem je opět KČ

9. IV) Rozdíl KČ • KČ opačné k danému – a = – a1 – a2i • rozdíl KČ lze vnímat jako součet KČ a – b = a + ( – b ) = = (a1 + a2i ) + (– b1 – b2i ) = = (a1 – b1) + (a2i – b2i ) = = (a1 – b1) + (a2– b2) i reálná část imaginární část • výsledkem je opět KČ

10. Příklad: Je-li a = 1 – 2i, b = – 3 + i, c = – 5 – 4i, d = – 3i, e = 7, vypočtěte: a+ b = a + c + d = a – b = b – a = c – a + d – e = a + e – d – c = (1 – 2i) + (– 3 + i) = – 2 – i (1 – 2i) + (– 5 – 4i) + (– 3i) = – 4 – 9i (1 – 2i) – (– 3 + i) = 1 – 2i + 3 – i = 4 – 3i (–3 + i) – (1 – 2i) = –3 + i –1 + 2i = –4 + 3i (– 5 – 4i) – (1 – 2i) + (– 3i) – 7 = = – 5 – 4i – 1 + 2i – 3i – 7 = – 13 – 5i (1 – 2i) + 7 – (– 3i) – (– 5 – 4i) = = 1 – 2i +7 + 3i + 5 +4i = 13 + 5i

11. V) Součin KČ a . b = (a1 + a2i ) . (b1 + b2i ) = = a1 b1 + a1b2i + a2 b1i+ a2 b2 i2= = a1 b1 + a1b2i + a2 b1i+a2 b2 . (– 1) = = a1 b1 + a1b2i + a2 b1i–a2 b2 = = (a1 b1–a2 b2 ) + (a1b2i + a2 b1i)= = (a1 b1–a2 b2 ) + (a1b2 + a2 b1 )i reálná část imaginární část • výsledkem je opět KČ

12. Příklad: Je-li a = 1 – 2i, b = – 3 + i, c = – 5 – 4i, d = – 3i, e = 7, vypočtěte: +2 a . b = a . c . d = a . b – e . c = (1 – 2i)(– 3 + i) = – 3 + i + 6i – 2i2 = – 1 + 7i (1 – 2i)(– 5 – 4i)(– 3i) = +30 – 12 = (1 – 2i)(15i + 12i2 ) = 15i – 12 – 30i2 + 24i = 18 + 39i (1 – 2i)(– 3 + i) – 7(– 5 – 4i) = +2 = – 3 + i + 6i – 2i2 + 35 +28i = 34 + 35i

13. Mocniny imaginárního KČ Užíváme algebraické vzorce známé již ze ZŠ Příklad: Vypočtěte –9 –6 +i

14. Příklad: Vypočtěte (zapište v AT).

15. Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

16. Mocniny imaginární jednotky • Mocniny imaginární jednotky nabývají pouze čtyři různé hodnoty, které se opakují stále ve stejném pořadí: + 1, + i, –1, – i. • Pro úpravu lze užít dva postupy. Zvažte, který je pro vás jednodušší a ten si zapište.

17. 1. způsob: a) c) b) d)

18. 2. způsob: a) c) b) d)

19. Příklad: Určete mocniny. i 123= i 217= i 85 = i 323= i 140 = i 196= i 254 = i 286= i 60 = i 405= i 135 = i 27 = i 99 = i 132= i 182 = i 180= i 77 = i 65 = i 200 = i 18= – i + i + i– i + 1 + 1 – 1 – 1 + 1 + i – i– i – i + 1 – 1 + 1 + i+ i + 1 – 1

20. Příklad: Vypočtěte. = – i + i – i + i – i i 3+ i 13 +i 23+ i 33 + i 43 = i. i 2 .i 3. i 4 . i 5 = i+ i 2 +i 3+ ... + i 99 + i 100 = = – i i15 = – i = ( i+ i 2 +i 3+ i 4) + ( i5+ i 6 +i 7+ i 8) + ... ... + (i97+ i 98 +i 99+ i 100) = = 25 . ( i+ i 2 +i 3+ i 4) = 25 . 0 = 0

21. VI) Podíl KČ • POZOR!!! Aby se jednalo o podíl KČ, musí být KČ (imag. jednotka) ve jmenovateli zlomku • Vyřešit podíl KČ znamená „odstranit imaginární jednotku ze jmenovatele zlomku“ – obdobná úprava jako u usměrňování zlomků (učivo 1. ročníku) • Výsledkem je opět KČ

22. Příklad: Vydělte KČ (zapište KČ v AT). • dělíme-li KČ ryze imaginárním • dělíme-li KČ ryze imaginárním 1 1 1

23. (a + b).(a – b) = a2 – b2 (a – b).(a + b) = a2 – b2 • dělíme-li KČ imaginárním • dělíme-li KČ imaginárním 1 +15 ( ) ( ) ( ) 1 –10 ( ) ( ) ( )

25. Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

27. Použitá literatura: • PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, 2004. ISBN 8071960403. Kapitola 1, s. 9–47 • JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 1, s. 11–46