1 / 28

Shodná zobrazení

Shodná zobrazení. Shodné zobrazení (shodnost). Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí:  X´Y´ =  XY Dělení shodností: Přímá shodnost Nepřímá shodnost.

knut
Download Presentation

Shodná zobrazení

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Shodná zobrazení

  2. Shodné zobrazení (shodnost) Definice:Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí: X´Y´=  XY Dělení shodností: • Přímá shodnost • Nepřímá shodnost

  3. SHODNÁ ZOBRAZENÍ C M Platí: • AB=  KL • BC=  LM • AC=  KM Přímá shodnost Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz) B A K L M Platí: • AB=  KL • BC=  LM • AC=  KM C B A K L

  4. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Identické zobrazení (identita) • zvláštní případ shodnosti • přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním totožný: X´ = X

  5. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním). Př. 1: Př. 2:

  6. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Obr. :přímá shodnost Pouhým otočením či posunutím vzoru (ABC) dostaneme obraz (KLM). C M Platí: • AB=  KL • BC=  LM • AC=  KM B A K L Obr. : nepřímá shodnost Obraz (KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem (ABC). M C Platí: • AB=  LK • BC=  KM • AC=  LM B A K L zrcadlo

  7. SHODNÁ ZOBRAZENÍ Typy shodných zobrazení: • Středová souměrnost • Osová souměrnost • Posunutí • Otočení

  8. Středová souměrnost Definice: Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí: 1) pro X  S; X´leží na přímce XS a X´S=XS 2) pro X = S; X´ = X =S Zápis: S(S): X→ X´

  9. STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz bodu: S(N):A → A´ Z definice víme: 1. AN=  A´N 2. N je střed úsečky AA´ Postup konstrukce: • A,N • ⇥ AN • n; n(N;  AN) • A´; A´n ⇥ AN n x A x N x A´

  10. Postup konstrukce: AB,N ⇥ AN 3.n; n(N;  AN) 4. A´; A´ n ⇥ AN 5. ⇥ BN 6.m; m(N;  BN) 7. B´; B´m ⇥ BN 8. A´B´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz úsečky: S(N):AB → A´B´ Z definice víme: 1. AN=  A´N 1. BN=  B´N 2. N je střed úsečky AA´ 2. N je střed úsečky AB´ x B n m x A x N x A´ x B´

  11. Obraz kružnice: S(N):k(O,r) → k´(O´, r) STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. ON=  O´N 2. N je střed úsečky OO´ 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) m k Postup konstrukce: 1. k(O,r), N 2. přímka ON 3. m; m(N,ON) 4. O´; O´ n  přímka ON 5. k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce 6.X; X  k (libovolný) 7. X´; S(N): X →X 8.k´; k´(O´,X´O) k´ X X X O X N X O´ X X´

  12. Obraz útvaru: S(N):u → u´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: S(N): ABC →  A´B´C´ Postup konstrukce: ABC, N A´; S(N):A → A´ B´; S(N):B → B´ C´; S(N):C → C´  A´B´C´ X B´ C X A´ X N A X C´ B

  13. Osová souměrnost Definice: Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí: 1) pro X o; X´leží na kolmicik ose o a osaopůlí úsečku X´X (tj. oX= oX´ 2) pro X o; X´= X Zápis: O(o): X → X´

  14. OSOVÁ SOUMĚRNOST Zobrazení bodu: O(o):A A´ Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: 1. A, o 2. p; p o; Ao 3. P; Po  p 4. k; k(P; XP) 5. A´; A´ p  k X A k X P X A´ o p

  15. OSOVÁ SOUMĚRNOST Obraz úsečky: O(o):AB → A´B´ Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3.B´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: • AB, o • a; a o; Ao • P; P  a  o • k; k(P; XP) • A´; A´ a  k • b; b o; Bo • Q; Qo  p • l; l(Q; XQ) • B´; B´ b  l • A´B´ l X B X Q X A X B´ X P b X A´ a o k

  16. Obraz kružnice: O(o):k(S,r) → k´(S´, r) OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. O´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku OO´. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: • k(S,r), o • p; p o; S o • P; P  p  o • l; l(P; SP) • S´; S´ l  p • k´; k´(S´, r) Přesnější konstrukce: 6. X ; X k (X je libovolný) 7. O(o):X → X´ 8.k´; k´(S´,S´X´) k´ p l x S´ x X´ x P x X k x S o

  17. Obraz útvaru: O(o):u → u´ OSOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: O(o): ABC →  A´B´C´ C Postup konstrukce: • ABC, N • A´; O(o):A → A´ • B´;O(o):B → B´ • C´; O(o):C → C´ •  A´B´C´ x A B = B´ x C´ o x A´

  18. Posunutí Definice: Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že XX´ = AB, XX´AB a jsou souhlasně orientované. Předpis: T(AB): X → X´

  19. POSUNUTÍ Zobrazení bodu: T(AB): X  X´ • Z definice víme: • XX´ a AB jsou souhlasně orientované • XX´ = AB k Postup konsturkce: 1. AB, X 2. ⇥XY; XY AB 3.k; k(X, AB) 4. X´; X´ k  p x A x B x X´ x X x Y

  20. Obraz úsečky: T(AB):KL → K´L´ POSUNUTÍ • Z definice víme: • KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované. • KK´ = AB , LL´ = AB. Postup konstrukce: 1. AB, KL 2. ⇥KX; KX  AB 3.k; k(K, AB) 4. K´; K´ k ⇥ KX 5. ⇥LY; LY  AB 6.l; l(L, AB) 7. L´; L´ l  ⇥ LY 8. K´L´ xB xX xA x K´ xK xY x L´ xL l k

  21. Obraz kružnice: T(AB):k(S,r) → k´(S´, r) POSUNUTÍ Z definice víme: 1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB 2.  SS´ = AB. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) l Postup konstrukce: 1. AB, k (S,r) 2.⇥SX; SX  AB 3.l;l(S, AB) 4.S´; S´ l  SX 5. k´; k´( S´, r) Přesnější konstrukce: 5. K; K  k (K libovolný) 6.⇥KY; KY  AB 7.m; m(K, AB) 8.K´; K´ m  KY 9. k´; k´(S, SK) x B x A k´ k x S x S´ x X x K´ x K x Y m

  22. Obraz útvaru: T(AB):u → u´ POSUNUTÍ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: T(AB): KLM →  K´L´M´ xA Postup konstrukce: KLM, AB K´; T(AB): K → K´ L´;T(AB): L → L´ M´;T(AB): M → M´  K´L´M´ xB M M´ x K xK´ L xL´

  23. Otočení Definice: Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí: 1. je – li X  S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom XSY = α Ů SX´ = SX 2. X = S, je X´ = X Zápis: R(S, α): X→ X´

  24. Zobrazení bodu: R(S, α): X→ X´ OTOČENÍ Z definice víme:  XSX´ = α(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α) SX´ = SX  α Postup konstrukce: S, α, X ⇥SX XSY;  XSY = α k; k(S,SX) X´; X´ k  ⇥SY k x S x X´ x Y x X

  25. Zobrazení bodu: R(S, α): AB  A´B´ OTOČENÍ OTOČENÍ Z definice víme:  ASA´ = α(tj. X´ leží na rameni SX úhlu ASX , který je stejně velký, jako úhel α) SA´ = SA  BSB´ = α(tj. X´ leží na rameni SX úhlu BSY , který je stejně velký, jako úhel α) SB´ = SB x Y l α k Postup konstrukce: S, α, AB ⇥ SA ASX;  ASX = α k; k(S,SA) A´; A´ k  ⇥SA ⇥SB BSY;  BSY = α l; l(S,SB) B´; B´ l  ⇥SB A´B´ x B´ x X x B x A´ x S x A

  26. Obraz kružnice: R(S, α): k(O,r) → k´(O´,r) OTOČENÍ Z definice víme:  XSX´ = α(tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α) SX´ = SX  Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) α n Postup konstrukce: S, α, k(O,r) ⇥SO OSX;  OSX = α m; m(O,OS) O´; O´ m  ⇥SA k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce: K; K  k (libovolný) ⇥ SK KSY;  KSY = α n; n(S,SK) K´; K´ n  SK k´; k´(O´,K´O´) m k´ x X x O´ x S k x O x K´ x Y x K

  27. Obraz útvaru: R(S, α): u → u´ OTOČENÍ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: P(S,a): KLM →  K´L´M´ Postup konstrukce: KLM, S, a K´; R(S, α):K → K´ L´;R(S, α):L → L´ M´; R(S, α):M → M´  K´L´M´ M M´ x α K K´ x x L´ x S L

  28. Konec prezentace Děkuji za pozornost.

More Related