1 / 34

A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity

A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity. Alon, Fischer, Newman, Shapira 2007. Introdução. Decision Problems : Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que não satisfazem

konala
Download Presentation

A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. A Combinatorial Characterization of the Testable Graph Properties: It’s All About Regularity Alon, Fischer, Newman, Shapira 2007

  2. Introdução Decision Problems: Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que não satisfazem Testing Problems: Distinguir entradas que satisfazem alguma propriedade P e entradas que estão longe de satisfazer Uma estrutura E é -far(P) se uma fração  da representação de E deve ser modificada para que E satisfaça a propriedade P Exemplo: String x {0,1}n é -far(P) se  n símbolos precisam ser mudados para x satisfazer P [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Propriedades de grafos densos. Representação por Matriz de adjacência:n2 Uma grafo G é -far(P) se é preciso adicionar ou remover pelo menos n2 arestas para que G satisfaça a propriedade P

  3. Introdução Testador para P: Algoritmo aleatórioT que realiza consultas do tipo “(u,v) é uma aresta?” e distingue, com alta probabilidade, se grafos satisfazem P ou são -far(P) • G satisfaz PProb [ TaceitarG ] > 2/3 • G é -far(P) Prob [ TrejeitarG ] > 2/3 Definição: Uma propriedade P é Testável se existe um Testador para P, que realiza f() consultas nas arestas (independe da entrada). [Goldreich-Trevisan 99]: Toda propriedade TestávelP possui um Testadorcanônico (não adaptativo): Conjunto aleatório Q com q() vértices, consulta todas arestas em G[Q], aceita (deterministicamente) se e só se G[Q] satisfaz certa propriedade P’ (não necessariamente P).

  4. Alguns Resultados [Rodl-Duke 86]: k-colorabilidade é testável Amostra aleatória S com polin(1/) vértices e verifica se é k-colorível [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: -CUT é testável(possui corte de tamanho n2?) Amostra aleat. S com polin(1/) vértices e verifica se tem corte de tam. ( - )|S|2 [Alon-Duke-Leffman-Rodl-Yuster 92]: Para todo grafo H fixo, a propriedade H-free é testável. [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Todo “problema de partição” é testável (k-colorabilidade, max-clique, max-cut...)

  5. Caracterização [Goldreich-Goldwasser-Ron 96]: Quais propriedades são testáveis? Caracterização de propriedades testáveis de grafos (Testável se e só se ???) Fechada sob remoção de arestas? • [Goldreich-Trevisan 01]Não • Monótonas(remoção de vértices e arestas: k-colorabilidade)? • [Alon-Shapira 05]Toda prop. monótona é testável • Hereditárias(remoção de vértices: grafos perfeitos)? • [Alon-Shapira 05]Toda prop. hereditária é testável • Downscaling(hereditária  downscaling)? •   q(): G -close(P), Q  V(G) aleatório, |Q|  q G[Q] é (+)-close(P) com probabilidade 2/3 • [Alon-Fischer-Newman-Shapira 07]Não Ferramenta principal: Lema da Regularidade de Szemerédi

  6. Pares Regulares Par (A,B) é –regular se todo par (A’,B’), A’  A, B’  B, onde |A’| |A| e |B’| |B| satisfaz d(A’,B’) = d(A,B)  d(A’,B’) = d  d(A,B) = e(A,B) / |A||B| |A’|   |A| |B’|   |B| Ad(A,B) = d B Obs:0  par -regular “próximo” de grafo bipartido aleatório

  7. Lema da Regularidade [Szemerédi 78]: Para todo k,, todo grafo pode ser particionado em k  t  LR(k,) subconjuntos V1,…,Vt de tamanhos “iguais”, tais que todos, exceto t2, pares (Vi, Vj) são –regulares • Todo grafo pode ser quebrado em um número constante() de partes, tais que quase-todos() os pares (Vi,Vj) são pseudo-aleatórios() • Todo grafo pode ser descrito aproximadamente() com complexidade constante() • Em muitas aplicações: k = 1 / 

  8. Lema da Regularidade - Aplicação • Remover arestas: • Dentro das partes • Entre pares não -regulares • Entre pares esparsos (densidade , por exemplo) Removendo n2 arestas, obtemos um grafo onde todos os pares são vazios ou –regulares e “densos” 0.3 0.2 Descrição aproximada() do grafo em termos de um número constante() de conjuntos e as densidades entre eles 0.07 0.15

  9. Lema da Regularidade - Aplicação Esboço: 0: se (V1,V2,V3) formam pares (  0)-regular e “densos”, então contém “muitos” triângulos Intuição: A propriedade de um grafo ser livre de triângulo é testável. Estratégia geral:Seja G um grafo qualquer Suponha que G é -far(livre ’s) Lema da regularidade com   min(0, ) Remoção de  n2arestas Algum  sobrevive as remoções (V1,V2,V3) regulares e densos  f() n3 ’s Sorteia 3 vértices: Prob. f() de ser  Repete 1/f() vezes V1 V2 V3

  10. Instâncias de Regularidade Definição: Uma instância de regularidade consiste de 4 elementos: • ordemk • erro • conjunto de densidades 0 ij  1, para todo 1  i < j  k • conjunto de pares não regulares (i,j) de tamanho Um grafo satisfaz essa instância de regularidade se ele possui uma partição V1,…,Vk de tamanhos “iguais” tal que, para todo (i,j)  , o par (Vi, Vj) é –regular e d(Vi, Vj) = ij Lema da Regularidade:Para todo k, , todo grafo satisfaz alguma instância de regularidade de ordem k  t  LR(k,), com erro 

  11. Instâncias de Regularidade (testável) • Um grafo é livre de triângulose e só se todas as instâncias de regularidade que ele satisfaz são livres de triângulos • Um grafo é k-colorívelse e só se todas as instâncias de regularidade que ele satisfaz são k-coloríveis Porque não testar diretamente a propriedade de satisfazer alguma instância de regularidade? Teorema 1:Para toda instância de regularidade R, a propriedade de satisfazer R é testável. • Se pudermos “expressar” a propriedade P em termos de instâncias de regularidade, então P é testável TODAS? Infinitas Discretizar

  12. Caracterização (Regular-Redutível) Definição:Uma propriedade P é regular-redutível se para todo >0 existe conjunto de r() instâncias de regularidade () ={R1,…,Rr}: • G satisfaz P G é –close(Ri), para algum Ri • G é –far(P) G é (-)-far(Ri), para todo Ri Teorema 2: Uma propriedade de grafos é testável se e só se é regular-redutível • A propriedade de satisfazer uma instância de regularidade é a propriedade mais difícil de se testar

  13. algumas demonstrações • Discretização (mantém densidade, piora regularidade) • Discretização (mantém densidade, melhora regularidade) • Discretização (aplicação) • Contagem de subgrafos • Testável Regular-Redutível

  14. Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:    (A,B) (+)-regular  (A,B) (+2)-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m3.2(, )   2m2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p|  . Suponha p > 0. (A’, B’) tamanho (+2)m  d(A’, B’) = +p  (+) Remove pm2 arestas   + p –  –  – (pm2 / |A’||B’|)  d1(A’, B’)  +p++ Se p  (+2)2   –  –  – (  )  d1(A’, B’)  ++2  d1(A’, B’) =   (+2) Lema Ok

  15. Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:    (A,B) (+)-regular  (A,B) (+2)-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m3.2(, )   2m2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p|  . Suponha p > (+2)2 (Passo 1) Remove com prob. p/(+p) cada aresta entre A e B. Número esperado de remoções: p/(+p) d(A,B)m2 = pm2  m2 Valor esperado para d(A,B): d1(A,B) =  Desigualdade de Chernoff: Prob[ |X-E(X)|  n ]  2exp{-2 2n}, onde X é a soma de n variáveis 0–1 aleatórias n grande  erro pequeno n é o número de arestas entre A e B  ( +p)m2 > (+2)2m2 Tomando m  m3.2(, ) Prob [d1(A,B) =   m-0.5]  3/4 Prob [N remoções  1.5m2]  3/4

  16. Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:    (A,B) (+)-regular  (A,B) (+2)-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m3.2(, )   2m2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p|  . Suponha p > (+2)2 (Passo 1) Remove com prob. p/(+p) cada aresta entre A e B. (Passo 2) Remove ou Adiciona  m-0.5m2 = m1.5 arestas d2(A,B) =  (prob. 3/4) Alterações nas arestas:m1.5 + 1.5m22m2 (A’, B’) tamanho (+2)m  d(A’, B’) = +p  (+) Após passo 1:E[ d1(A’, B’) ] = (+p  (+)) (1–p/(+p)) =   (+) Prova-se: d1(A’, B’) desvia /2 com prob. 3/4,  (A’,B’) Como d2(A’, B’)muda m1.5/( +2)2m2  /2 para m  m3.2(, ) Logo(A,B) é (+2)-regular com prob. 1/2 Ok Ok Ok Prob [d1(A,B) =   m-0.5]  3/4 Prob [N remoções  1.5m2]  3/4

  17. Discretização – Lema 3.2 Lema 3.2:    (A,B) (+)-regular  (A,B) (+2)-regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m3.2(, )   2m2 alterações nas arestas Prova: d(A,B) = +p, onde |p|  . Suponha p > (+2)2 Se p < 0: (Passo 1) Adiciona (ao invés de remover) com prob. p/(1-+p) … Ok (Passo 1) Remove com prob. p/(+p) cada aresta entre A e B. Provar: d1(A’, B’) desvia /2 ? SE d(A’, B’)  /2  d1(A’, B’) muda/2 Ok SE d(A’, B’) > /2  > (/2) (+2)2m2 arestas em (A’, B’) Chernoff  d1(A’, B’)desvia > /2 com prob.≤ 2 exp{–2(/2)2 (/2) (+2)2m2} Menos de 2m2m possíveis pares (A’, B’) +m  m3.2(, )  d1(A’, B’) desvia /2 com prob. 3/4,  (A’,B’) Ok Ok Ok Ok

  18. Discretização – Lema 3.3 Lema 3.3:    (A,B) (+)-regular(m)  (A,B) -regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m3.3(, )   (3/)m2 alterações nas arestas Prova: (Passo 1) Selecionar com prob.p = 2/(+) os pares de vértices que serão alterados (Passo 2) Entre esses, “ligar” com prob., senão, “desligar” N alterações  N pares selecionados = Bi(m2, 2/(+)) Chernoff  N alterações desvia > (/2)m2 com prob. 2 exp{–2(/2)2 m2} m  m3.3(, )   pm2 + (/2)m2  (2.5/)m2 alterações com prob. 5/6 Ok E[ e1(A, B) ] = (1–)m2 [p] + m2 [1– p + p] = m2 Chernoff e1(A, B)desviam1.5prob. 5/6, para m  m3.3(, )  d1(A, B) =   m-0.5prob. 5/6  Remove ou Adiciona  m-0.5m2 = m1.5 arestas Ok Ok

  19. Discretização – Lema 3.3 Lema 3.3:    (A,B) (+)-regular(m)  (A,B) -regular d(A,B) =   d(A,B) =  Ok |A| = |B| = m  m3.3(, )   (3/)m2 alterações nas arestas Ok Prova: (Passo 1) Selecionar com prob.p = 2/(+) os pares de vértices que serão alterados (Passo 2) Entre esses, “ligar” com prob., senão, “desligar” (Passo 3)Remove ou Adiciona  m-0.5m2 = m1.5 arestas (A’, B’) tamanho m  Seja d’ = d(A’, B’) =   (+) E[ e1(A’,B’) ] = (1– d’)|A’||B’| [p] + d’|A’||B’| [1– p + p] = |A’||B’| [p] + (  (+)) |A’||B’| [1– p] = [  + – p(+)] |A’||B’| = [  ( – )] |A’||B’| Chernoff e1(A’, B’)desvia≥(/2) |A’||B’| prob. 2exp{-2(/2)2(m)2} m  m3.3(, ) +  2m2m(A’,B’) d1(A’, B’) =   (-/2)  (A’,B’) prob. 5/6 m  m3.3(, )  m1.5/ (m)2  /2  d1(A’, B’) =    Ok Ok

  20. Discretização – Final Lema 3.1:    (A,B) (+)-regular  (A,B) -regular d(A,B) =   d(A,B) =  |A| = |B| = m  m3.1(, )   (50 /2)m2 alterações nas arestas Prova: Lema 3.2  (A,B) (+2)-regular, d(A,B) = , (2)m2 alterações (A’, B’) tamanho m  d(A’, B’) = [  (+2)] (+2)2m2 / (m)2  d(A’, B’) = [  (+2)] (1+2/)2  d(A’, B’) =   (+14/)  (A,B) é (+14/)-regular(m) Lema 3.3  (A,B) -regular, d(A,B)=, [(2.5)(14/)/]m2 = (42 /2)m2 alterações

  21. Discretização – Aplicação Lema 3.5:Seja R uma instância de regularidade de ordemk, erro, densidadesij e conjunto de pares não regulares. Se um grafo G possui uma partição V1,…,Vk de tamanhos “iguais” tal que: • d(Vi, Vj) = ij  2/50,  i<j • (Vi, Vj) é ( + 2/50)–regular,  (i,j)  Então G é –close(R) Lema da Regularidade:Para todo k, , todo grafo satisfaz alguma instância de regularidade de ordem k  t  LR(k,), com erro  Tome todas as instâncias de regularidade com erro , ordem k  t  LR(k,) e densidades ij em {0, , 2, 3,…,1}, para  = 2/50. Todo grafo é –close de algumas delas

  22. Contagem de Subgrafos Induzidos Instância de regularidade Rh:ordemh, erro, densidadesij e conjunto . Grafo G:Satisfaz Rhcom partição (V1,…,Vh), tamanhos m Grafo H com h vértices Permutação  :[h][h] IC(H,G, ): número de cópias induzidas de H em G, segundo  Lema 4.4: :   = 4.4(,h): IC(H,G, ) = (ICd(H,Rh, )  ) mh IC1(H,G): número de cópias induzidas de H em G com 1 vértice em cada Vi Lema 4.6: :   = 4.6(,h): IC1(H,G) = (ICd(H,Rh)  ) mh Grafo G Grafo H … V1 V2 V3 Vh

  23. Contagem de Subgrafos Induzidos Instância de regularidade Rk:ordemk, erro, densidadesijeconjunto Grafo G:Satisfaz Rk comn vértices Grafo H com h  k vértices IC(H,G): número de cópias induzidas de H em G Lema 4.8: , q:   = 4.8(,q), k = k4.8(,q): h  q: Idéia: Sorteia h vértices • 2 vértices no mesmo conjunto: • Par de vértices em par não regular: … Vk V2 V1 V3 Vk-2 Vk-1 Depois Aplica Lema 4.6 com  / 3

  24. Testável Regular Redutível Lema 4.1: Toda propriedade testável de grafos é regular-redutível Prova: Fixe < 0.1 e n. •  testadorcanônicoT para P, complexidade q = q() • Gn satisfaz PProb [ TaceitarGn ] > 2/3 • Gn é -far(P)Prob [ TrejeitarGn ] > 2/3 SejaA:= { grafosHq tais que T aceita Hq} Lema 4.8,  Hq  A, com q e A = k = k4.8(A , q),  = 4.8(A , q) Se G satisfaz uma instância de regularidadeRk, Lema da regularidade para k,  LR (k, ) SejaI:= Todas as Instâncias de regularidade de ordem k  t  LR(k,), erro  e densidades ij em {0,  2/50q2, 2 2/50q2, 3 2/50q2, ... , 1} Instâncias usadas na redução:

  25. Testável Regular Redutível Lema 4.1: Toda propriedade testável de grafos é regular-redutível Prova:. ordem k  t  LR(k,), erro  ij  {0,  2/50q2, 2 2/50q2, ... , 1} Se G satisfaz PT aceita Gprob. 2/3 q-conjuntos de G induzem HA RegularidadeG satisfaz instância de regularidade de ordem k  t  LR(k,), erro  Lema 3.4G é  / q2-close(R), para R I Remove/Adiciona≤( /q2) n2 arestas de G Remove H  A G possuirá H  AR   Se G é –far(P),  >  : SuponhaG(- )-close(R), para algum R   G é (- )-close(G*), onde q-conjuntos de G* induzem HA T aceita G* com prob. 1/3+G* não é –far(P), senão T rejeitaria com prob. 2/3 G não é –far(P) Contradição

  26. algumas aplicações • Livre de Triângulo é Testável • k-colorabilidade é Testável • Isomorfismo NÃO é testável

  27. Livre de Triângulo é Testável Provar que Livre de Triângulo (LT) é Regular-Redutível Fixe  e  = min{, 4.6(,3)}  : instâncias de regularidade R com erro, ordem 1/  t  LR( 1/ , ): • densidades ij  {0, , 2, 3, ... , 1}, para  = 2 / 100 • não existe Vi, Vj, Vk com densidades ij, ik, jk, todas positivas Se G é –far(LT),  >  : SuponhaG(-)-close(R), para algum R  G satisfaz R com  (-)n2 modificações nas arestas Remove as arestas internas G está Livre de Triângulo (LT) com  n2 modificações. Contradição Suponha que G é Livre de Triângulo (LT) LReg:G satisfaz instância de regularidade com erro  e ordem 1/  t  LR( 1/ , ) Lema 4.6:não existe Vi, Vj, Vk com densidades todas   (senão teria muitos s) Remove as arestas dos pares com densidade <    (/2)n2 remoções Lema 3.5:ij  {0, , 2, ...,1}, para  = 2 / 100  G* é (/2)-close(  )  G é (  )-close(  )

  28. k-colorabilidade é Testável Provar que k-colorabilidade (kCor) é Regular-Redutível. Fixe   : instâncias de regularidade R com erro, ordem 1/  t  LR( 2k/, ): • densidades ij  {0, , 2, 3, ... , 1}, para  = 3 / 100 • O grafo reduzido T(R) de R é k-colorível: (i,j) é aresta  ij > 0 Se G é –far(kCor),  >  : SuponhaG(-)-close(R), para algum R  G satisfaz R com  (-)n2 modificações nas arestas Remove as arestas internas G está k-colorível (kCor) com  n2 modificações. Contradição Suponha que G é k-colorível (kCor) Tome uma k-coloraçãoV1,…,Vk de G Quebre Vi em Uij’s de tam (/2k)n  “resto” vai p/ conjunto Lixo de tam  (/2)n LReg:G satisfaz instância de regularidade Rcom erro e ordem 1/  t  LR(2k/,), que “refina” a partição dos Uij’s (ou seja, também não tem arestas internas)  Remove arestas do Lixo   (/2)n2 remoções  T(R*) é k-colorível Lema 3.5:ij  {0, , 2, ...,1}, para  = 3 / 100  G* é (/2)-close(  )  G é (  )-close(  )

  29. Isomorfismo NÃO é Testável Caso particular: PropriedadePJ := Isomorfismo p/ grafo JG(n,0.5) Provar que PJ não é testável, com prob. 1-o(1) Chernoff: subgrafo bipartido o(n) vértices tem densidade  0.5, com prob. 1-o(1) Suponha que J satisfaz essa propriedade e PJ é regular-redutível Tome  suf. pequeno e seja () o conjunto de instâncias de regularidade Tome G isomórfico a J  G é -close(R), para R   com ordem k e densidadesij  0.5 Seja B um grafo aleatório k-partido V1,…,Vk, tamanhos n/k, onde d(Vi,Vj)= ij  B é -close(R) com prob. 1-o(1) ij  0.5  B é –far(PJ), para algum >2 fixo, com prob. 1-o(1) Como PJ é regular-redutível, B deveria ser (- > )-far(R) Contradição PJnão é regular-redutível PJnão é testável

  30. outras demonstrações • Amostras em Partições Regulares • Satisfazer Instância de Regularidade é Testável • Regular Redutível Testável

  31. Amostras em Partições Regulares Grafo G, Amostra Q com O(1) vértices  Com alta prob., G e G[Q] satisfazem as mesmas instâncias de regularidade Lema 5.2: k, :  q=q5.2(k, ) : Grafo G e amostra Q com q vértices: com probabilidade 2/3 SeG satisfaz instância de regularidadeR de ordem k, então, G[Q] satisfaz instância de regularidadeRQ de ordem k igual, –similar a R E vice-versa ijQ = ij   (Vi,Vj) -regular  (ViQ,VjQ) (+)-regular

  32. Instâncias de Regularidade (testável) Teorema 1: Para toda instância de regularidade R, a propriedade de satisfazer R é testável. Prova: Grafo G + Instância R (ordem k, erro , densidades ij) Algoritmo toma amostra Q com q vértices, q=q(,,k, ) suf. grande (independe de G), e aceitase e só seG[Q] é (4/200k2)-close(R) Se G satisfaz R: Lema 5.2 com q > q5.2(k, 6/104k2), com prob. 2/3  G[Q] satisfaz RQ com densidades ij  6/104k2 e erro  + 6/104k2  Lema 3.4  G[Q] é (4/200k2)-close(R) OK  Testa tudo em O(1) Se G é –far(R) : SuponhaG[Q] (4/200k2)-close(R) (4/200k2)q2 modificações  G[Q]* satisfaz R com uma equipartição (U1,…,Uk):  Ui’  Ui, Uj’  Uj, |Ui’|  |Ui|, |Uj’|  |Uj|  d*(Ui, Uj ) = ij  d*(Ui’,Uj’) = ij  Lema 5.2 com q > q5.2(k, 4/200k2), com prob. 2/3 G satisfaz inst.reg. com densidades [ij (4/200)]  4/200k2 e pares (Vi, Vj) (+2/100 +4/200k2)-regular Lema 3.5: G é –close(R) Contradição G[Q] (4/200k2)-far(R) OK  d(Ui, Uj ) = ij (4/200)  d(Ui’,Uj’) = ij ( + 2/200)  (Ui,Uj) em G[Q] é origin. (+2/100)-regular ij (2/50)  (+2/50)-regular

  33. Regular Redutível Testável Fixe  e uma propriedade Pregular-redutível Tome =/4 e () o conjunto de r=r() instâncias de regularidade para =/4 Teorema 1   R  , “satisfazer R” é testável [FN05] R  ,  Alg1 que distingue grafos (/4)-close(R) e (3/4)-far(R), com probab. 2/3, realizando q() consultas Repete Alg1 várias vezes   Alg2 com prob. 1-1/3r escolhendo a resposta mais dada TestadorAlg3 para P: Roda Alg2 R   Alg3aceita, se Alg2 aceita para algum R. Caso contrário, Alg3rejeita. P regular-redutível:Tome =/4 e () Se G satisfaz PRRG é ( = /4)-close(R), para algumR    Alg3aceita com prob. 2/3 Se G é -far(P)RRG é (- = 3/4)-far(R), para todo R    Alg3rejeita com prob. 2/3 Fischer, Newman [FN05] (Testável Estimável): 1<2  Algoritmo aleatório que distingue grafos que são 1-close(P) e 2-far(P), realizando q(1,2) consultas, com probabilidade 2/3 Erro de Alg3 :  r (1/3r) = 1/3 Alg3 é mesmo um Testador para P ?

  34. FIM

More Related