Repaso de matrices

1. Repasode matrices DAGOBERTO SALGADO HORTA

2. Matrices Elemento: aij Tamaño: m  n Matriz cuadrada: n  n (orden n) Elementos de la diagonal: ann Vector columna (matriz n x 1) Vector fila (matriz 1 x n)

3. Suma: Multiplicación por un escalar:

4. Si A, B, C son matrices mn, k1 y k2 son escalares: (i) A +B = B +A(ii) A + (B + C) = (A + B) + C(iii) (k1k2) A = k1(k2A)(iv)1A = A(v) k1(A + B) = k1A + k1B(vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A

5. Multiplicación: (a) (b) Nota: En general, AB  BA

6. Transpuesta de una matriz A: (i) (AT)T = A(ii) (A + B)T = AT + BT(iii) (AB)T = BTAT(iv) (kA)T = kAT Nota: (A + B + C)T = AT + BT + CT (ABC)T = CTBTAT

7. Matriz cero A + 0 = AA + (–A) = 0 Matrices triangulares

8. Matriz diagonal: Matriz cuadrada n  n, i ≠ j, aij = 0 Matriz identidad: A: m  n, entonces Im A = A In = A

9. Una matiz An × n es simétrica si AT = A.

10. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

11. 2x1 + 6x2 + x3 = 7 x1 + 2x2 – x3 = –1 5x1 + 7x2 – 4x3 = 9 x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10

12. Resolver mediante el método de Gauss-Jordan x1 + 3x2– 2x3 = – 7 4x1 + x2 + 3x3 = 5 2x1– 5x2 + 7x3 = 19 Entonces: x2 – x3 = –3 x1 + x3 = 2Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t.

13. Resolver:x1 + x2 = 1 4x1−x2 = −6 2x1– 3x2 = 8 0 + 0 = 16 !!  No tiene soluciones.

14. Vectoresfila: u1 = (a11a12…a1n), u2 = (a21a22, …a2n),…, um = (am1am2… amn) Vectores columna: El rango de una matriz A m  n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes. rang A = 2.

15. AX = 0 Siempre hay soluciones (consistente) Solución única X = 0 (solución trivial) rang(A) = n Infinitas soluciones Rang(A) < n n – r parámetros

16. AX = B, B≠0 Consistente rang(A) = rang(A│B) Inconsistente rang(A) < rang(A│B) Solución única rang(A) = n Infinitas soluciones rang(A) < n n – r parámetros

17. Determinantes Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

18. El cofactor de aijes Cij = (–1)i+ j Mij donde Mij se llama menor. det A = a11C11 + a12C12 + a13C13 ... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33 Podemos expandir por filas o columnas.

20. Más corto desarrollando por la segunda fila...

22. det AT = det A Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0.

23. Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0. Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz An × n,entonces: det B = −det A

24. Si B se obtiene de una matriz An × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces: det B = kdet A

25. Si A y B son matrices n × n, entonces det AB = det A det B. det AB = −24, det A = −8, det B = 3, det AB = det A det B.

26. Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz An × n, entonces: det B = det A det A = 45 = det B = 45.

27. matriz triangular inferior matriz diagonal

28. Supongamos que A es una matriz n  n. Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésima fila, entonces: ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ainCkn = 0, para i  k Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces: a1jC1k + a2jC2k + …+ anjCnk = 0, para j k

29. DemostraciónSea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila: bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y:

31. Inversa de un matriz Sea A una matriz n  n. Si existe una matriz n  nB tal que AB = BA = I donde I es la matriz identidad n  n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A. Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular. Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A(ii) (AB)-1 = B-1A-1(iii) (AT)-1 = (A-1)T

32. Matriz adjunta Sea A una matriz n×n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A: se llama adjunta de A y se denota por adj A.

33. Encontrar la matriz inversa: Sea A una matriz n×n. Si det A  0, entonces: Para n =3:

38. Singular

39. AX = B Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B

42. Regla de Cramer

43. Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular. Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.

44. Problemas de autovalores DEFINICIÓN Sea A una matriz n  n. Un número  se dice que es un autovalor de A si existe una solución vector K, distinto de cero para:AK = K El vector solución K es el autovector correspondiente al autovalor . Autovalores y autovectores Los autovalores de una matriz triangular, inferior o superior, o de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal.

45. Verifica que es el autovector de la matriz: Solución Autovalor

46. Podemos escribir AK = K como: (A–I)K = 0 Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Si queremos que K sea una solución distinta de cero, debería ocurrir que: det (A–I) = 0 Observa que det (A–I) nos proporcionará un polinomio de grado n, que llamaremos ecuación característica.

47. (A–I)K = 0 Encuentra los autovalores y autovectores de: –3 – 2 + 12 = 0 ( + 4) ( – 3) = 0 = 0, −4, 3. Ahora encontraremos los autovectores para cada autovalor.

48. (A–1I)K = 0 (i) 1 = 0 Tomando k3 = −13

49. (A–2I)K = 0 (ii) 2 = −4 k1 = −k3 , k2 = 2k3. Tomando k3 = 1:

50. (A–3I)K = 0 (iii) 3 = 3 k1 = – k3, k2 = –(3/2) k3. Y tomando k3 = –2,