Wektory i skalary

1. Wektory i skalary • Skalar – wielkość fizyczna, którą możnaprzedstawić za pomocą liczby (np. objętość, temperatura) • - Wektor – wielkość fizyczna, która ma długość(„wielkość”), kierunek i zwrot (np. siła, przemieszczenie) zwrot długość (moduł, wartość bezwzględna) kierunek

2. Geometryczne dodawanie wektorów • Graficzne dodawanie wektorów a i b: • Narysuj wektor a • Narysuj wektor b zaczynający się na końcu wektora a. • Sumę wektorową lub wektor wypadkowy s=a+b jest wektorem zaczynającym się w początku a i kończącym się na końcu b. • Uwagi: • -Wektor wypadkowy a+b możemy traktować jako łączny efekt dwóch przemieszczeń a i b. • -Metoda graficzna ‘działa’ dla dowolnej liczby wektorów!

3. Dodawanie wektorów vs. dodawanie skalarów Dodawanie ma inne znaczenie w działaniach na wektorach, niż w działaniach na skalarach ponieważ wynik operacji zależy zarówno od wartości bezwzględnych, jak i od kierunków składników. Przykład: obrabowano bank w centrum Bostonu. Uciekając przed pościgiem policyjnym, rabusie użyli śmigłowca, pokonując kolejno w powietrzu, trzy odcinki o następujących przemieszczeniach: 23 km, 45o na południe od kierunku wschodniego; 53 km, 26o na północ od kierunku zachodniego; 26 km, 18o na wschód od kierunku południowego. Po zakończeniu trzeciego lotu zostali schwytani. W jakim mieście byli wówczas? Przemieszczenie: ~ 25 km Przebyta droga: 102 km

4. Wektory jednostkowe Wektorem jednostkowym nazywamy wektor o długości 1, skierowany w określonym kierunku. W kartezjańskim układzie współrzędnych, wektory jednostkowe dodatnich kierunków osi x, y, z oznaczamy i, j, k.

5. Wektory jednostkowe Wektorów jednostkowych możemy używać do zapisu innych wektorów. y F Fyj x Fxi F = Fxi + Fyj F = Fxi + Fyj + Fzk Fxi,Fyj,Fzk – wektory składowe wektora F

6. Dodawanie wektorów na składowych Inna metodą dodawania wektorów jest dodawanie ich składowych dla każdej osi. r = a + b rx = ax + bx ry = ay + by rz = az + bz • Rozkładamy wektory na składowe • Dodajemy do siebie składowe wektorów dla każdej osi • Wyznaczamy wektorową sumę na podstawie sumy składowych

7. Rozkładanie wektorów na składowe y F Fyj q x Fxi Fx = Fcosq oraz Fy = Fsinq

8. Obrót układu współrzędnych Mamy swobodę wyboru układu współrzędnych – związki między wektorami (np. dodawanie) nie zależą od położenia początku układu współrzędnych i kierunku jego osi. Również związki między wielkościami fizycznymi nie zależą od wyboru układu współrzędnych.

9. Wektory a prawa fizyki Prawa fizyki w układzie przesuniętym (translacja) i obróconym są takie same. Nazywa się to symetrią praw fizyki względem translacji i obrotów. A odbicie lustrzane?

10. Lustrzane łamanie symetrii • - Odbicie przestrzenne, odbicie P, odbicie lustrzane – zmiana znaku wszystkich współrzędnych przestrzennych. • - Odbicie czasowe, odbicie T – zmiana znaku wszystkich współrzędnych czasowych. • Odbicie ładunkowe, odbicie C, zmiana znaku wszystkich ładunków elektrycznych. • Istnieją przykłady łamania symetrii P, T i C – w lustrzanym odbiciu Wszechświata obowiązują inne prawa fizyki.

11. Mnożenie wektorów • Mnożenie wektora przez skalar • b = s*a • - b = s*a – długość b wynosi s razy długość a • - kierunek a i b jest taki sam • zwrot b jest zgodny ze zwrotem a, jeśli s jest dodatnie, a przeciwny, gdy s jest ujemne. • Mnożenie wektora przez wektor • Istnieją dwa sposoby mnożenia wektora przez wektor: • -iloczyn skalarny • -iloczyn wektorowy

12. Iloczyn skalarny • Iloczyn skalarny wektorów a i b: • a*b = ab cosf • a - długość a • b - długość b • – kąt pomiędzy kierunkami a i b a f b • Wynikiem mnożenia jest skalar • a cosf jest składową (rzutem) wektora a w kierunku b. • Jeśli kąt f jest równy 0o, iloczyn jest największy i wynosi ab • Jeśli kąt f jest równy 90o, to składowa jednego wektora w kierunku drugiego jest równa zeru, iloczyn skalarny jest więc również równy zero.

13. Iloczyn wektorowy • Iloczyn wektorowy wektorów a i b: • c = axb • c = ab sinf – długość wektora c • – mniejszy z kątów pomiędzy kierunkami a i b a f b • Wynikiem mnożenia jest wektor • Jeśli kąt f jest równy 0o, iloczyn wynosi zero • Jeśli kąt f jest równy 90o, to iloczyn jest największy i wynosi ab

14. Iloczyn wektorowy c = axb -kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory a i b. -zwrot określa tzw. reguła prawej dłoni: gdy ustawimy palce prawej dłoni wzdłuż łuku mniejszego kąta pomiędzy a i b, kciuk wskazuje kierunek wektora c.

15. Wektory - powtórzenie

16. Ruch Ruch – zmiana położenia obiektu w czasie Świat jest w ciągłym ruchu Dział fizyki zajmujący się opisem ruchu – kinematyka (z greckiego kinēma - ruch) • Dzisiaj: • ruch wzdłuż linii prostej • poruszające ciało jest obiektem punktowym

17. Położenie i przemieszczenie Położenie ciała wyznaczamy względem pewnego punktu odniesienia np. początku osi x. Np. x = 5 m x [m] -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Zmianę położenie ciała od punktu x1 do punktu x2 nazywamy przemieszczeniem Dx: Dx = x2 - x1

18. Prędkość średnia i chwilowa Jedną z możliwości opisu ruchu jest podanie średniej prędkości: vsr = Dx/ Dt vsr jest stosunkiem przemieszczenia cząstki Dx w pewnym przedziale czasu, do wielkości tego przedziału czasu Dt. Gdy chcemy znać prędkości cząstki w danej chwili, musimy podać prędkość chwilową: Wyrażenie oznacza, że zmniejszamy przedział czasu do zera Wyrażenie oznacza pochodną x względem t

19. Przyśpieszenie Gdy prędkość cząstki się zmienia, doznaje ona przyśpieszenia. Przyśpieszenie średnie: asr = Dv/ Dt http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fastest_cars_by_acceleration

20. Przyśpieszenie Przyśpieszenie chwilowe: Słowami: przyśpieszenie cząstki w danej chwili jest równe szybkości zmiany prędkości cząstki w danej chwili. Możemy zapisać: Przyśpieszenie cząstki w danej chwili jest równe drugiej pochodnej jej położenia x względem czasu t.

21. Ruch ze stałym przyśpieszeniem Gdy przyśpieszenie jest stałe, przyśpieszenie średnie jest równe przyśpieszeniu chwilowemu: v0 – prędkość cząstki w chwili t = 0. Przekształcając: v = v0+at Oznacza to, że prędkość zmienia się liniowo w czasie. W podobny sposób przekształcamy równanie na vsr: x = x0+vsrt

22. Ruch ze stałym przyśpieszeniem Gdy prędkość zmienia się liniowo w czasie v v(t) vsr v0 t to prędkość średnia w pewnym przedziale czasu jest średnią arytmetyczną prędkości na początku i na końcu przedziału

23. Ruch ze stałym przyśpieszeniem Podstawiając v = v0+at Dostajemy: Wstawiając do x = x0+vsrt Dostajemy: albo:

24. Ruch ze stałym przyśpieszeniem położenie prędkość przyśpieszenie x v a x(t) v(t) a(t) x0 v0 t t t v = v0+at a = const

25. Spadek swobodny Ciało umieszczone w ziemskim polu grawitacyjnym doznaje przyśpieszenia o stałej wartości, skierowanego w dół. Przyśpieszenie to nazywa się przyśpieszeniem ziemskim i oznacza g. Przyjmujemy wartość g = 9.8 m/s2 Spadek swobodny opisują równania ruchu ze stałym przyśpieszeniem (o ile wpływ powietrza na ruch można pominąć).

26. Spadek swobodny - przykład W 1989, Peter Debernardi (42) i Jeffrey (Clyde) Petkovich (25) zostali pierwszą drużyną, która spłynęła wodospadem Niagara o wysokości 48 m, w stalowej kapsule. Jak długo spadali i z jaką prędkością uderzyli w spienione wody na dole? -48 = 0 + 0 – 0.5*9.8*t2 t2 = 48/4.9 [m/m/s2] t = 3.1 s v = v0+at v = -9.8*3.1[(m/s2)*s] = -31 m/s ~ 110 km/h