Bevezetés az informatikába

1. Bevezetés az informatikába Csernoch Mária http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/

2. Számrendszerek

3. Számrendszerek • A számrendszerek a számok megnevezésével és lejegyzésével kapcsolatos eljárások összessége. • nem helyiértékes (pl. egyiptomi, maya, római; nehézkes bennük a számolás) • helyiértékes • Babilónia (i.e.1750): hatvanas számrendszer (idő-, szögmérés) • India (i.sz. 600): tízes számrendszer (számjegyek: 1, 2, . . . , 9) • arabok (i.sz. 750): megjelenik a 0 • Európában 1200–1600 között terjed el általánosan

5. Számrendszerek Definíció: Az r alapú helyiértékes számrendszert a következő szabály definiálja:

6. Számrendszerek • r szám: számrendszer alapszáma • jelek: a szám számjegyei • az számjegy által jelölt szám: a számjegy alaki értéke • hatvány: a számjegy helyiértéke(i = 0;1;2; ) • . (pont): az alappont

7. Számrendszerek • valódi érték: az alaki érték és a megfelelő helyi érték szorzata • érték: • a szám értékét úgy kapjuk, hogy az egyes számjegyek értékét szorozzuk a helyiértékükkel, és mindezt összeadjuk • valódi értékeket összeadjuk

8. Számrendszerek

9. Számrendszerek

10. Számrendszerek

11. Számrendszerek

12. Számrendszerektízes számrendszer 3457,28 3457.28

13. Számrendszerek • számrendszer alapszáma (tetszőleges p>1) • számjegyek: 0, 1, …, p−1 • kettes számrendszer (bináris) • p = 2 • számjegyek: 0, 1 • nyolcas számrendszer (oktális) • p = 8 • számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • tizenhatos számrendszer (hexadecimális) • p = 16 • számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

14. 10-es számrendszerbeli szám • legnagyobb kitevő: n • legkisebb kitevő: −m • számjegyek száma: j = (n + 1) + m

15. Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi egész számokat! 10110011(2 456(8 235(16 A2E(16 Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi tört számokat! 10001110.101(2 342.23(5 367.56(8 A5D.F3(16 Feladatok

16. p-alapú (p>1, egész)számrendszerbeli szám

17. Legkisebb és legnagyobbábrázolható számok • Mi az adott számú pozíción egy számrendszerben leírható legnagyobb és legkisebb szám?

18. Bináris számrendszer • legnagyobb • legkisebb • összes

19. Számrendszerek közötti átváltásÁtszámolás p-alapú számrendszerből 10-es számrendszerbe k db m db j db

20. Számrendszerek közötti átváltás Tétel: Legyen természetes szám. Ekkor tetszőleges valós szám felírható az alapú számrendszerben alakban, ahol természetes számok minden esetén és , ha egészrésze: törtrésze:

21. Számrendszerek közötti átváltás • Legyen az r-alapú számrendszerben adott szám. Határozzuk meg számjegyeit az alapú számrendszerben.

22. Számrendszerek közötti átváltásegészrész A maradékok rendre − növekvő helyiérték szerint − adják az r-alapúszámrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.

23. Feladat 179.45(10 179.85(10 20122.110011001100(3 20122.’1100’1100’1100’(3 20122.211221122112(3 20122.’2112’2112’2112’(3

24. Feladat 113.45(10 1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

25. Számrendszerek közötti átváltástörtrész A szorzatok egészrészei rendre − csökkenő helyiérték szerint − adják az r alapú számrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.

26. Legnagyobb, összes ábrázolható számegész számok • összes ábrázolható szám j pozíción (modulus: M) • legnagyobb ábrázolható szám • legkisebb ábrázolható szám

27. egész rész összes legnagyobb legkisebb tört rész összes legnagyobb legkisebb k db m db j db Legnagyobb, összes ábrázolható számtört számok

28. Mértékegységek • bit • értéke • 0 • 1 • binary digit • kettes számrendszerbeli számjegy • byte, bájt • 8 bit

29. Mértékegységek 1999, IEC (International Electrotechnical Commission) a számítástechnikában elterjedt váltószámok megnevezésére új prefixumok (kibi ← kilo binary)

30. Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi egész számokat! 54(10=x(2 54(10=x(8 54(10=x(16 54(10=x(5 Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi tört számokat! 45.55(10=x(2 111.45(10=x(4 23.45(10=x(5 23.45(10=x(8 54.45(10=x(16 Feladatok

31. Feladatok • Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi számokat! • 45.55(10=x(2 • 111.45(10=x(4 • 23.45(10=x(5 • 23.45(10=x(8 • 54.45(10=x(16

32. 1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

33. 1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

34. Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben • Végezzük el az alábbi műveleteket a bináris számok körében!

35. Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben • Végezzük el az alábbi műveleteket a hexadecimális számok körében!

36. Végtelen, szakaszos tizedes tört • Minden racionális szám felírható véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört formában. • Minden véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört átalakítható racionális szám formára.

37. 0. bk ‘ cn‘ cn‘ k db n db n db Végtelen, szakaszos p-ados tört

38. 0.01’1100’1100’(2

39. Feladatok • Írjuk fel bináris, oktális és hexadecimális számrendszerben az alábbi decimális számokat! • 3492.326(10 • 1000(10 • 1512.1533(10 • 112.3(10 • 12438.964(10 • 3096.123(10 • 12345.678(10 • 9977.66(10

40. Feladatok • Írja át 10-es számrendszerbe a következő számokat! Az eredményt közönséges tört alakban adja meg! • 1.333(5 • 7B.73’5’5…(16 • 102.2’32’32’…(4 • 1320.20’131’131’…(8 • 101110110.101’0101’0101’…(2