Download
1 / 5
50 likes | 173 Views
Strona tytułowa dzieł Apolloniusza z komentarzem Pappusa wydanych po łacinie w r.1566. Trysekcja hiperboliczna 1/5. Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja ) . O samym Pappusie nie wiemy niemal nic.
E N D
Strona tytułowa dzieł Apolloniusza z komentarzem Pappusa wydanych po łacinie w r.1566 Trysekcja hiperboliczna 1/5 Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja). O samym Pappusie nie wiemy niemal nic. Z księgiI (o arytmetyce) jego dzieła nie pozostał nawet jeden odpis, druga zachowała się we fragmentach. W księdze IV Pappus przedstawia m.in. spiralę Archimedesa, konchoidę Nikomedesa i kwadratysę Hippiasza oraz ich zastosowanie do zadania trysekcji kąta. Rys historyczny: Apoloniusz i Pappus Pappus nazywany jest Komentatorem, gdyż w swym dziele zrelacjonował i opatrzył swymi uwagami prace m.in. Euklidesa (235-265), Aristaeusza (ok.370-300)i Apoloniusza z Pergi (262-190). Przyjmuje się, że pierwszym, który zauważył, iż elipsa, parabola i hiperbola są stożkowymi (czyli krzywymi uzyskanymi w wyniku przekroju stożka płaszczyzną)był Manaechmus (ok.380-320). Najobszerniejsze dzieło poświęcone stożkowym – i nazwane po prostu Stożkowe (Keonika)- to 8 ksiąg (księgi VI i VII przetrwały jedynie w odpisach arabskich, księga VIII zaginęła). Ich autorem jest Apoloniusz, zwany Wielkim Geometrą. Pracę nad nimi zaczął w Pergamonie, zakończył w Aleksandrii. To w nich po raz pierwszy pojawiają się słowa parabola, hiperbola i elipsa (po grecku parabolh znaczy porównanie, uperbolh - nadmiar, zaś elliyh – brak). Apolloniusz wprowadził także termin środek krzywizny (bezpośrednio prowadzący do pojęcia ewoluta czyli rozwinięta krzywej). Pojęcia ognisko i kierownica stożkowej (ang. focus, directrix) wprowadził Pappus.
Trysekcja hiperboliczna 2/5 Trysekcja kąta przedstawiona (przypuszczalnie za Apolloniuszem) przez Pappusa nazywana jest także trysekcją hiperboliczną, gdyż wykorzystuje hiperbolę. Dla dowolnych różnych punktów A i B płaszczyzny hiperbola ta zdefiniowana jest jako miejsce geometryczne punktów H takich, że HBA = 2·BAH. Wykażemy, iż te punkty leżą na hiperboli. W układzie prostokątnym Oxy obierzmy punkty A=(-3p,0) i B=(3p,0) - tak jak na rysunku obok, gdzie p=1. Współrzędne punktu hiperboli Pappusa Przez punkt A prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod kątem <30°. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod kątem –, gdzie =2. Proste te przecinaja się w punkcie H. Jego współrzędne, H=(x,y), wyznaczamy z układu równań: y=a(x+3p), y=tg()·(x–3p), gdzie a:=tg() i tg()= tg(2)=2a/(1–a2). Otrzymujemy H=(3p(1+a2)/(3–a2),12ap/(3–a2)). Dlatego rzut C punktu H na oś Ox ma odciętą równą 3p(1+a2)/(3–a2).
Trysekcja hiperboliczna 3/5 Oznaczmy współrzędne punktu H krótko przez x i y, tzn. H = (x,y). Wtedy C = (x,0) oraz w trójkącie ACH: tg() = y/(3p+x), w trójkącie BCH: tg() = y/(3p–x). Równanie hiperboli Pappusa Z tożsamości tg() = tg(2) = 2tg()/{1-tg2()} mamy zatem czyli (3p–x)2– y2 = 2(9p2–x2), tzn. 3(x+p)2– y2 = 12p2, tj. Otrzymany związek pokazuje, że miejscem geometrycznym punktów H jest hiperbola. Nazywamy ją hiperbolą Pappusa.
Trysekcja hiperboliczna 4/5 1. Przez wyznaczone już punkty A, B i H poprowadźmy okrąg. Środek tego okręgu oznaczamy przez W. Dowód na podział kąta na 3 równe części 2. Tak jak na rysunku obok, kąty wyznaczone przez punkt W oznaczmy literami , i . Widać, że na tym samym łuku HB oparte są kąty (wpisany w okrąg) i środkowy . Dlatego =2. Analogicznie: na łuku AH oparte są kąty wpisany i środkowy . Dlatego = 2. Ponieważ = 2, więc = + = 2 + 2 = 4 + 2 = 6 , czyli = /6 i dlatego = /3.
Trysekcja hiperboliczna 5/5 Rysujemy kąt o wierzchołku W i mierze . Z wierzchołka W zataczamy łuk okręgu. Na ramieniu danego kąta odcina on równe odcinki. Ich końce oznaczamy przez A i B. Wykonanie trysekcji Pappusa Wprowadzamy układ Oxy współrzędnych prostokątnych tak jak na rysunku powyżej. Znaczy to, że oś poziomą Ox wyznacza odcinek AB, oś pionową Oy – jego symetralna, zaś B=(3,0). W tym układzie kreślimy hiperbolę, której prawym ogniskiem jest punkt B, a mimośród e=2. Hiperbola ta ma równanie (x+1)2/4–y2/12=1. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych hiperbola ta przecina okrąg w punkcie H. Na mocy konstrukcji, kąt HWB, na rysunku oznaczony literą , jest równy = /3.
