Trysekcja Maclaurina 1/3

1. Colin Maclaurin (1698-1746) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen, a od r.1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona (1642-1727). W roku 1740 uhonorowany został w Paryżu nagrodą tamtejszej Academie des Sciences, wraz z nim takie same wyróżnienie otrzymali Leonhard Euler (1707-83) i Daniel Bernoulli (1700-82, syn Johanna, autor Hydrodynamica). Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Już w Glasgow jego nauczyciel, Robert Simson (1687-1768, redaktor wydania ksiąg 1-6, 11 i 12 Elementów Euklidesa), zaraził go entuzjazmem do problemów geometrycznych postawionych w starożytnej Grecji. W opublikowanej w r.1719 Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis podejmuje Maclaurin ważne problemy dotyczące m.in. stożkowych i krzywych kubicznych. Próbując rozwiązać problemy starożytnych Greków zdefiniował, w roku 1742, krzywą, dziś zwana krzywą Maclaurina albo trysektrysą Maclaurina, i za jej pomocą przeprowadził trysekcję kąta. Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np. w r.1742 w Treatise of Fluxions. Pierwsze wyrażenia, które obecnie nazywane są rozwinięciami Maclaurina i Taylora, podał w swej książce Methodus incrementorum directa et inversa James Gregory (1638-75), z którym Brook Taylor (1685-1731) współpracował.

2. Krzywa Maclaurina zdefiniowana jest w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych (x,y) wzorem x = 1–4cos2(t) y = {1–4cos2(t)}·tg(t), t (–/2,  /2). Na rysunku obok widzimy tę krzywą i jej łuk prowadzący przez III ćwiartkę układu współrzędnych od punktu A do punktu O (a więc gdy t biegnie od 0 do /3). Linią kropkowaną wkreślony jest okrąg o środku w (–3/2,0). Trysekcja Maclaurina 2/3 Równania krzywej Maclaurina Podstawiając u = tg(t) możemy równaniu krzywej Maclaurina nadać postać x = (u2–3)/(u2+1), y = u·(u2–3)/(u2+1). Otrzymamy równanie bezpośrednio wiążące odciętą x i rzędną y dowolnego punktu na krzywej Maclaurina. Ponieważ cos(t) = {1–x}1/2/2, więc sin(t) = {1–cos2(t)}1/2 = {3+x}1/2/2 i dlatego y = {1–4cos2(t)}·tg(t) = {1–4·(1–x)/4}·{1–x}1/2/{3+x}1/2 , czyli (1–x)·y2 = (3+x)·x2. Uzyskamy teraz równanie krzywej Maclaurina w układzie Orwspółrzędnych biegunowych. Promień r i kąt wiążą się z odciętą x i rzędną y równaniami x = r·cos, y = r·sin. Dlatego równanie (1–x)·y2 = (3+x)·x2 przyjmuje postać {1–r·cos}·r2sin2 = (3+r·cos}·r2cos2. Po podzieleniu przez r2cos2() i skorzystaniu ze wzoru jedynkowego mamy r = 1/cos– 4·cos,  (–/2, /2).

3. k1. W III ćwiartce układu współrzędnych kreślimy łuk krzywej Maclaurina i zaznaczamy punkt B = (–2, 0). Trysekcja Maclaurina 3/3 k2. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod danym kątem  (0, ). Konstrukcja 1/3 kąta k3. Prosta ta przecina łuk w punkcie C. k4. Łączymy punkt C z początkiem O. Kąt nachylenia tego odcinka do osi Ox oznaczamy przez . Jest  = /3. u1. Prosta BC przechodzi przez punkt B i jest nachylona do Osi Ox pod kątem , ma więc równanie y = tg()·(x+2). u2. Prosta BC przechodzi przez punkty B i C = (1–4cos2, {1–4cos2}·tg  ), ma więc równanie {y–0}/{(1–4cos2)·tg –0} ={x–(–2)}/{(1–4cos2)–(–2))}, tzn. y = k·(x+2), gdzie k = tg ·(1–4cos2)/(3–4cos2). Uzasadnienie konstrukcji u3. Ponieważ 4cos2–1 = cos(2)+2cos2 oraz 4cos2–3 = cos(2)–2sin2, więc u4. A że, na mocy u1, k = tg , więc tg  = tg(3), skąd (przy założonym zakresie zmienności kąta ) wynika, iż  = /3.