Il numero aureo

1. Realizzazione di un WebQuest Il numero aureo Matematica Storia 3F a.s. 2009/10 Architettura Pittura Musica Biologia Prof. Antonio Greco - Liceo Scientifico A.Vallone - Galatina

2. Si indica con sezione aurea il rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma. In formule, indicando con a e b le due lunghezze, vale la relazione: (a+b): a = a: b Tale rapporto vale approssimativamente 1,618. Il numero esatto può essere ricavato dalla formula: Il numero ricavato che esprime la sezione aurea è un numero razionale, cioè rappresentabile con infinite cifre decimali e può essere approssimato dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente legato. Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali hanno impressionato la mente dell'uomo. Testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) CARATTERI GENERALI

3. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Sezione aurea Simbolo Valore 1,6180339887… Frazione continua Ø=(1+rad5)/2≈ Insieme Numeri reali Categoria Costanti matematiche La sezione aurea in algebra Il rapporto aureo vale approssimativamente 1,618 ed è esprimibile per mezzo della formula: Ø

4. Il rapporto aureo è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Particolarità matematiche

5. Dato un segmento (AC), si ottiene una sezione aurea quando BC: AB=AB: AC Per avere l'idea della proporzione se consideriamo la misura del segmento pari all'unità: AB + BC= 1 e BC = AB*AB/AC quindi: BC = 1-AB e 1 - AB= AB2/1 che si risolve come equazione di secondo grado: AB2 + AB -1= 0 AB= e si ottiene: AB= = (-1 + 2,236068) /2 = 0,618034... e BC= 1-0,618034= 0,381966... che corrisponde ad un rapporto uguale a: 0,618034/0,381966= 1,618034... Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Segmento aureo

6. C'è un metodo per ottenere dei numeri che se rapportati tra loro danno come risultato un numero che si avvicina sempre più al numero d'oro man mano che i numeri diventano grandi. Questi numeri sono quelli appartengono alla serie di Fibonacci una serie in cui ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti. I primi elementi sono pertanto: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... A partire da tale successione, se formiamo una serie di tipo frazionario, emergono i seguenti rapporti: Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Successione di Fibonacci

7. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Costruzione geometrica della sezione aureaprimo metodo La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, su qualsiasi segmento AB: dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2, si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo il segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.

8. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Dimostrazione • Per la dimostrazione si può procedere in due modi: • Primo metodo • Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è medio proporzionale rispetto a AE e AD: • AD : AB = AB : AE • Per le proprietà delle proporzioni: • (AD - AB) : AB = (AB - AE): AE • da cui si ha, ricordando che AE = AE': • AE' : AB = E'B : AE' • AB  : AE' = AE' : E'B Secondo metodo Definendo AB = 1 e ,si ha per il teorema di Pitagora Quindi, AC - BC risulta      che equivale a      .

9. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Costruzione di un segmentosecondo metodo Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questo punto, quindi, si trova il punto medio C del segmento interessato e puntandovi, con apertura pari all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD', per il quale AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma AD‘,ovvero BD’:AB=AB:AD’

10. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Dimostrazione • Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè 1; Mentre DC similmente, per il teorema di Pitagora, vale: sommando i due si ricava: che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.

11. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Sezione aurea nella stella a cinque punte All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.

12. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Il rettangolo aureo e la sua sezione Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui proporzioni sono basate sulla proporzione aurea. Ciò significa che il rapporto fra il lato maggiore e quello minore, a : b, è identico a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo quest'ultimo dal lato maggiore b : a-b (il che implica che entrambi i rapporti siano φ ≅ 1,618).

13. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Successioni di rettangoli aurei e spirale logaritmica La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: basta, infatti, disegnarvi, all'interno, un quadrato basato sul lato minore, o altresì, all'esterno, basato sul lato maggiore per ottenere col semplice compasso un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di proporzioni auree. Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare" infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati e quindi una spirale, detta spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea.

14. NUMERO AUREO: STORIA La civiltà ellenica fu la prima a definire il rapporto aureo. In Grecia Euclide descrisse il rapporto (phi), chiamandolo proporzione estrema e media. Spetta alla scuola pitagorica il merito di una teorizzazione matematica delle relazioni proporzionali contenute nel pentagramma. Nel 1498, Luca Pacioli scrive il “De Divina Proporzione” , mentre tra il 1100 e il periodo rinascimentale troviamo varie applicazioni del rapporto aureo, ad esempio nel Palazzo Vecchio di Firenze o nella cattedrale di St. Denis. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE)

15. Fibonacci si interessò alla sezione aurea ed era noto come il “più grande matematico europeo del Medioevo”. Come lui anche Andrea Mantegna,Leon Battista Alberti, Giovanni Campano. Un artista che fu molto influenzato da La Divina Proporzione fu Albrecht Durer. Nel XVI secolo Keplero si interessò nuovamente al numero aureo. La Cattedrale di Notre Dame a Parigi fu costruita su pianta aurea, Stradivari aveva scoperto il rapporto aureo, applicandolo alla sua musica. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE)

16. Sempre in campo musicale troveremo la Primavera di Stravinsky, opere di Bach, Debussy,Mozart e Beethoven. In arte Seurat e Van Gogh fecero uso della divina proporzione, come anche Mondrian e Carrà. Martin Ohm introduce in una sua opera, nel 1835, il termine Goldener Schnitt: sezione aurea. La fama di cui la sezione aurea gode ancora oggi è dovuta in larga parte a G. T. Fechner. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE)

17. Nell’architettura ritroviamo Casa del fascio di Giuseppe Terragni a Como ed il Palazzo di vetro, sede dell’ONU, a New York. Nella cinematografia, in “La Corazzata Potëmkin”, di Sergej Ejzenštein, le scene sono divise in sezione aurea a partire dalla lunghezza della celluloide sulla quale sono incise. La letteratura di fine ‘800 ed inizio ‘900 applica il numero aureo in “Le serpent qui danse” di Baudelaire, in “Sogni di Terre Lontane” di Gabriele d’Annunzio, ed in “Nostalgia” di Umberto Saba. Il secolo scorso, l’americano David Johnson e, nel 1927, Ralph Nelson Elliott, utilizzarono la serie di fibonacci nei loro studi. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE)

18. Ma il rapporto aureo è inserito nella nostra quotidianità più di quanto noi immaginiamo: la forma totale delle barrette di cioccolato Kit Kat è un rettangolo aureo, così come le carte di credito Visa e Mastercard. Una ricerca anatomica ha rivelato la strutturazione a nautilus dell’organo di Corti nell’apparato uditivo umano. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE)

19. Fechner Nel 1875, effettuò diversi sondaggi ed esperimenti chiedendo a dei soggetti quale fosse il rettangolo più gradevole tra quelli da lui mostrati. Le sue conclusioni furono che esisteva una preferenza per la sezione aurea. Una delle prime critiche che fu rivolta a Fechner riguardava la possibile preferenza dell'occhio umano per rettangoli disposti con il lato maggiore orizzontalmente. Un altro possibile problema era il fattore della posizione media dei rettangoli presentati. Un’ ipotesi suggerirebbe la scelta del rettangolo con il rapporto a metà tra quelli presentati. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE)

20. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Architettura L’arte si ottiene con molti numeri e badando ai minimi dettagli.Policleto L’unico modo per documentare l’uso di teorie geometriche nell’arte è quello di impugnare squadra e compasso per individuare se l’opera è frutto di un sistema coerente. Il matematico crea inseguendo un suo ideale estetico, che ritrova nell’ architettura. La matematica viene quindi presentata attraverso un connubio con l'arte e l’ architettura in particolare. Tuttavia sarebbe riduttivo pensare che solo i Greci applicassero i rapporti del rettangolo aureo nelle loro opere scultoree; gli Egiziani furono i primi fruitori di questo canone geometrico, destinato a costituire un Leitmotiv nella concezione dell'arte nell'Occidente.

21. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) La stele del re Get Nella stele del re Get in realtà il modulo che informa la stele non è aureo, ma deriva da un processo chiamato dinamizzazione del quadrato: si tratta di una composizione i cui rapporti vengono tutti stabiliti mediante archi di cerchio e proiezioni dei loro raggi. Tuttavia anche la proporzione aurea vi svolge un ruolo non secondario: il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in rapporto aureo col quadrato costituito dal palazzo: il re è la parte ‘aurea’ della terra regale.

22. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Piramide di Cheope Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa. Si tratta anche questa volta di valore molto vicino a quello teorico; risulta comunque logico chiedersi se ciò può costituire una prova di una reale conoscenza da parte degli egizi della sezione aurea o se tale risultato sia stato un'inconsapevole conseguenza del modo in cui è stata costruita.

23. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Partenone Dovendo il Partenone “sottostare” ai canoni di bellezza policletiani non c’è da meravigliarsi che esso sia “inscritto” in vari rettangoli aurei; c’è da sottolineare che si può racchiudere in un rettangolo anche qualsiasi elemento decorativo dello stesso. Un Esempio significativo è rappresentato dalle Korai dell'Eritteo, le quali possono essere inscritte in una serie di rettangoli nei quali il rapporto tra altezza e lunghezza è un rapporto aureo. Numerosi studi effettuati sul partenone mostrano come, anche, la pianta del Partenone rappresenta un rettangolo radice quadrata di 5, ossia che la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza, quindi in rapporto aureo.

24. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Portale Castel Del Monte Il portale scaturisce dal pentagono stellato e dalla sua scomposizione secondo ϕ, le sue potenze e le sue radici. Esso ha dei punti salienti che coincidono con i vertici di un pentagono. Nel perimetro esterno si possono inscrivere rettangoli il cui rapporto dei lati è “aureo”. I punti dove il sole sorge e tramonta ai solstizi formano un rettangolo in proporzione aurea (questo avviene solo alla latitudine dove è situato il castello).

25. Andrea Palladio Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Andrea Palladio è oggi unanimemente riconosciuto come il più importante architetto che il mondo occidentale abbia mai prodotto. Nella maggior parte delle sue opere lui fa utilizzo della sezione aurea. La troviamo ad esempio in molte delle sue ville.

26. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Altre costruzioni in Sezione Aurea Nell'arco di Trionfo di Costantino a Roma l'altezza dell'arco divide l'altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza tra la base e il listello inferiore. La sezione aurea si riscontra non solo nell'architettura romana, ma anche in quella gotica; anche nel Rinascimento ritroviamo proporzioni auree nell'altezza (nella Certosa di Pavia per esempio). Esempi di questo genere non sono per altro limitati all'Europa; compaiono soluzioni uguali anche nell'architettura del Medio Oriente, confermandoci che fatti culturali così distanti nello spazio e nel tempo si sono potuti verificare per l'esistenza di un principio naturale comune. Altri famosi monumenti furono in seguito progettati seguendo le proporzioni del rettangolo aureo. Basti pensare alla cattedrale di Notre Dame a Parigi e al palazzo di vetro dell'ONU a New York.

27. Pittura Charles Bouleau sostenne che la prima apparizione della sezione aurea fu in autori prerinascimentali come Cimabue, Duccio e Giotto. Notizie più certe le avremo con la De Divina Proporzione di Luca Pacioli, frate minore francescano che definì la sezione aurea come Divina Proporzione proprio perché, da ecclesiastico quale era, riteneva che solo la mano di Dio poteva creare una tale armonia. Questo libro influenzò gli artisti ed architetti di tutti i tempi. Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura, scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis italica. Tra i principali artisti che si creda adottarono la sezione aurea troviamo: Leonardo Da Vinci, Piero Della Francesca, Sandro Botticelli, Georges Seurat, Paul Sérusier, Pierre Mondrian, Juan Gris,Gino severini,Mario Merz, Anthony Hill, Yigal Tumarkin

28. L'italiano,inventore,fisico e matematico Leonardo da Vinci, creò dei bozzetti tratti dalla lettura dello scritto di Pacioli, e riportò la sezione aurea in molte delle sue opere. Scoprì, così, che guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine e di armonia. La Mona Lisa, L'uomo Vitruviano, La Venere delle rocce, L'ultima cena, St. Jerome, l’Annunciazione,nell'autoritratto di Leonardo Da Vinci, ne La donna scapigliata, Belle Ferronnière, e nei disegni di Leonardo sullo studio del volto umano. Alcuni dei dipinti citati risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due umanisti a Milano, fatta eccezione per la Gioconda. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Leonardo Da Vinci

29. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) La Monna Lisa • Molti ritengono che solo il volto sia inscrivibile in un rettangolo aureo. Altri individuano rettangoli nel dipinto, nei quali ritornerebbe la simbologia del numero 5. Notiamo anche che,se si disegna un rettangolo la cui base si estende dal polso destro della donna la al gomito sinistro e si amplia il rettangolo in verticale fino a raggiungere la sommità della testa, si avrà un rettangolo aureo. Disegnando quadrati all'interno di questo rettangolo d'oro, scoprirete che i bordi di queste nuove sezioni hanno i vertici sui punti focali della donna: il mento, il suo occhio, il naso, e l'angolo della bocca all'insù misterioso. Ma è anche opportuno ricordare che la forma della donna è un triangolo con le braccia come la base e la testa come la punta..

30. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) L’Uomo Vitruviano • Leonardo fa convergere nell’uomo vitruviano i canoni della perfezione anatomica umana enunciati da Vitruvio che conterrebbero rapporti aurei. Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

31. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) La Venere Delle Rocce La Vergine delle Rocce è una delle poche opere del soggiorno milanese di Leonardo. Le quattro figure sacre formano una piramide, coronata dalla testa di Maria. La tela ha quindi i lati in rapporto aureo tra loro.

32. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) L’Ultima Cena La presenza di un rettangolo aureo che racchiude la figura di Gesù, al centro del dipinto, è assai difficile da individuare e tutt’altro che immediata. Probabilmente non era intenzione di Leonardo inserire la sezione aurea anche in quest’opera, nonostante il fatto che la proporzione divina sia la cornice di Cristo lascia diversi dubbi al riguardo. Ma volendo riusciamo a costruire anche altri rettangoli aurei sulla quale validità ci sarebbe comunque da discutere.

33. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) St. Jerome Leonardo, esperto conoscitore della “divina proportione”, dipinge San Girolamo in procinto di tagliarsi il braccio destro, che risulta al di fuori del rettangolo aureo costruito intorno al suo corpo.

34. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) L’Annunciazione Nell'Annunciazione, la figura e la postura dell'angelo sono in proporzione aurea rispetto alla sua distanza dalla Vergine.

35. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Donna Scapigliata Nella Donna scapigliatala testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli. Anche l'inclinazione del capo non è casuale ma segue la diagonale del quadrato.

36. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Belle Ferronnière Nella Belle Ferronnière la particolare inclinazione del busto ed il taglio del cornicione alla base fanno sì che, oltre al capo, anche la figura della dama rientri in un rettangolo aureo.

37. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Autoritratto di Leonardo Da Vinci e “bozzetti” sul volto umano In queste bozze notiamo come vengano costruiti dei rettangoli aurei sul volto umano.

38. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Piero Della Francesca Nell’opera di Piero della Francesca,Flagellazione, appare evidente che la struttura pittorica si ispira alla concezione della Sezione Aurea. Infatti se si indicano con A e B, le mezzerie delle basi delle due colonne di primo piano del riquadro della flagellazione di Gesù, e C, l'asse della colonna cui egli è legato, nel punto della congiungente A con B, la distanza AC è proporzionata secondo il valore della Sezione Aurea in rapporto alla distanza AB.

39. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Sandro Botticelli Botticelli rappresentò neLa Venere smisurate sezioni auree. Infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il rapporto tra  la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio.

40. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Georges Seurat Georges Seurat è un pittore che utilizza spesso tratti verticali, orizzontali e angoli retti nelle sue opere, ma non è mai certo l’uso della sezione aurea. Tra le opere principali, nelle quali i critici l’hanno individuata, troviamo La parade de cirque.

41. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Pierre Mondrian Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco Pierre Mondrian,autore di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di figure geometriche. In questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli, ciononostante non si hanno riscontri diretti da parte dell'artista sull’uso o meno della sezione aurea, ne dai suoi principali esperti, ad esempio il critico Yve-Alain Bois ha escluso categoricamente tali ipotesi.

42. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Musica La musica hanumerosi legami con la matematica, e molti ritengono che centrale in essa sia il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come ilviolinoe ilpiano. In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicalinaturalisarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci. GiàPitagoraaveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in rapporto come numeri interipiccolirisultino particolarmente gradite all'orecchio. In campo musicale però la percezione di questo rapporto può essere meno esplicito rispetto alle arti figurative poiché in musica subentra il fattore temporale: il brano deve mantenere una scansione temporale costante per far in modo di avvertire distintamente le due sezioni in proporzione aurea. Si inizierà però a parlare, nella trattatistica musicale, dell'impiego della sezione aurea solo nella prima metà del XX secolo.

43. IL NUMERO D’ORO-BIOLOGIA Il numero aureo non è solo un ente geometrico e matematico, infatti in natura lo troviamo quasi ovunque. La crescita delle foglie, la disposizione dei pianeti, l’albero genealogico di alcuni animali e anche il corpo umano sono solo alcuni degli elementi legati alla sequenza di Fibonacci e al numero aureo.

44. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Petali dei fiori In natura uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle foglie. In alcune piante le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137.5°. Tale angolo, corrispondente all‘ angolo aureo, garantisce un utilizzo ottimale della luce solare.

45. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Crescita delle piante e pistilli dei fiori La crescita di alcune piante segue la sequenza di Fibonacci. In particolare l’Achillea ptarmica, in cui ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via, seguendo la sequenza di Fibonacci. Inoltre possiamo trovare il numero aureo nei pistilli delle corolle dei fiori. Essi spesso sono messi secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. Le spirali di solito sono di 2 tipi: in senso orario e in senso antiorario.

46. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) La conchiglia del Nautilus La conchiglia del Nautilus Pompilius, ha una forma che  richiama la spirale logaritmica equiangolare. Nella struttura della conchiglia del Nautilus, si può riconoscere la presenza della sezione aurea in quanto il rapporto tra una spira del Nautilus e quella successiva è uguale al rapporto tra due numeri successivi di Fibonacci, che è il numero aureo.

47. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Le curve di pigne ed ananas La fillotassi delle brattee delle pigne segue un andamento a spirale aurea. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l'esterno, una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Ogni pigna contiene un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramano in ogni direzione.

48. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) Le curve delle ananas Le scaglie dell'ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci. Nell’esempio si possono osservare tre insiemi di spirali: un insieme composto da 5 spirali che salgono con gradualità da sinistra a destra, un insieme di 8 spirali che salgono più rapidamente da destra a sinistra, e un insieme di 13 spirali che salgono quasi verticali da sinistra a destra.

49. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) L’albero genealogico dei fuchi L'albero genealogico di un fuco presenta chiaramente la sequenza di Fibonacci. Bisogna innanzitutto dire che in uno sciame ci sono le api (femmine) e i fuchi (maschi). I maschi nascono dalle uova dell’ape regina. Quindi possiamo dire che i fuchi hanno un solo genitore: l’ape regina. Prendiamo in esame l’albero genealogico di un fuco: esso ha 1 genitore che ha sua volta ha 2 genitori che a loro volta hanno 3 genitori che a loro volta hanno 5 genitori e così via, seguendo la sequenza di Fibonacci.

50. Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico di Galatina (LE) L’albero genealogico dei conigli Una coppia di conigli è in grado di generare una seconda coppia di conigli già un mese dopo l’accoppiamento. Supponiamo di avere un coppia di conigli che non muoiano mai. Dopo un mese rimaniamo sempre con 1 coppia di conigli. Dopo 2 mesi la femmina ha generato un’altra coppia di conigli, quindi nel recinto ne abbiamo 2. Al terzo mese la prima coppia ne ha generata un’altra, quindi nel recinto ci sono 3 coppie di conigli. Passato un altro mese le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza non procrea, quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di mese in mese, sempre seguendo la serie di Fibonacci.