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1. numeri naturali numeri numeri complessi numero numeri razionali numeri razionali assoluti numeri irrazionali numero numeri interi 1^ puntata

2. Che cos'è un numero? Siamo talmente abituati ad USARE i numeri che forse non ci siamo mai posti questa domanda . O forse l’abbiamo posta e non abbiamo avuto a riguardo risposte soddisfacenti Provate a rispondere adesso voi…..

3. In realtà la risposta è molto semplice e nel contempo molto difficile . Infatti possiamo rispondere dicendo che è un concetto alla base della matematica, un elemento di un insieme numerico, ma si deve sapere che una buona parte della storia della matematica si è impegnata per dare proprio una configurazione univoca a questo concetto ed essere in grado di dire quando un certo oggetto può essere considerato un numero in senso matematico

4. Partendo dal presupposto che sarebbe molto difficile per qualsiasi forma di vita non avere un concetto di numero anche se potrebbe essere una matematica non simile alla nostra, fu realizzato nel 1995, il progetto Paul Horowitz (professore all’università di Harvard ) Con esso si vorrebbe riuscire a trovare le prove dell’esistenza di altre creature e cercare di ricevere un messaggio trasmesso da altre civiltà,utilizzando un radiotelescopio diretto verso le stelle che ascolta tutti i messaggi che potrebbe venire da altri pianeti, attraverso le microonde. Sono stati fatti dei tentativi di costruire un linguaggio cosmico. Il primo simbolo sarebbe un più (+) e il secondo simbolo un uguale (=), però purtroppo non ho trovato informazioni più precise ed esaurienti.

5. In matematica usiamo molti insiemi numerici . le invenzioni di nuovi sistemi numerici e algoritmi sono in ogni tempo correlate a motivazioni cognitive e applicative legate al progresso generale della conoscenza e della tecnologia e contestuali alle necessità della società civile. 

6. I numeri naturali

7. Partiamo dai primi numeri che impariamo a studiare a scuola e a usare nella vita, i numeri naturali, quelli che Kronhecker diceva "Dio fece i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo" . Gli studiosi di filosofia della matematica non sono d’accordo con l’origine dei Naturali (N), alcuni pensano che tutta la matematica, e perciò anch’essi, sia una costruzione dell’uomo, altri che i numeri naturali siano un’idea innata dell’uomo e questa per esempio era la posizione anche di Pitagora.

8. Anche gli animali contano…. • Sono stati fatti esperimenti con gli uccelli che se ad es. il nido contiene 4 uova e ne portiamo via uno ,l’animale non se ne accorge ,se invece gliene portiamo via due, se ne rende conto e diserta il nido. • Il naturalista J.Lubbok ha raccontato anche un episodio da cui scaturisce che una cornacchia era stata in grado di contare fino a 4.

9. I nostri progenitori non si sono comportati diversamente per quanto riguarda la concezione dei numeri, la maggior parte degli antichi linguaggi e la maggior parte degli idiomi tribali ancora esistenti, possiedono precisi termini per 1 e 2,mentre usano una parola che significa ‘tanti’ per quantità maggiori. Inoltre esistono in molti linguaggi parole diverse per indicare lo stesso numero a seconda il tipo di oggetto preso in considerazione. Nella lingua thimsshian, popolazione della costiera pacifica del Canada, si usano ben 7 vocaboli distinti per indicare i numeri, uno per - le misure - per contare gli oggetti piatti e gli animali - per contare gli oggetti rotondi e il tempo - per contare gli oggetti lunghi e gli alberi - per contare le canoe - per contare gli uomini - per il resto

10. Ma anche nella lingua giapponese i numeri hanno talvolta nomi diversi e desinenze diverse a seconda dei contesti in cui vengono utilizzati Sembra che non si sia realizzata la distinzione tra oggetto reale e numero astratto che serve per indicare la loro quantità. In effetti il concetto di numero naturale scaturisce da una concettualizzazione complessa, si deve pensare ad es. il numero 3 come il qualcosa che hanno in comune un insieme di tre bambini, tre caramelle,tre cani, tre biciclette, etc.. .

11. Facciamo un esperimento • Quante stelle sono?

12. E qui?

13. Il matematico Keith Devlin, nel suo libro “Il Gene della Matematica”(Longanesi & C., 2002) scrive: “Quel che è certo è che il nostro cervello sembra trattare diversamente gli insiemi contenenti al massimo tre elementi da quelli più grandi. […] Il fatto che quando si superano i tre oggetti il nostro comportamento cambi all’improvviso indica che forse il cervello si serve, nei due casi, di due meccanismi diversi

14. Cardinali e ordinali I numeri naturali risolvono due diversi problemi pratici: Stabilire quanti elementi sono contenuti in un insieme. Il numero cardinale di un insieme è un datorelativo a un certo insieme ovvero il qualcosa che hanno in comune tutti gli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca. 2. Ordinare in modo progressivo gli elementi di un insieme in un processo che presuppone che dopo un numero ne posso trovare sempre un altro(successivo): numeri ordinali

15. Ma giunti all’ultimo elemento di un insieme, otterremo simultaneamente sia il numero ordinale dell’ultimo elemento contato sia il numero cardinale dell’insieme. Il progresso della matematica è stato dovuto al fatto che l’Uomo ha imparato a identificare i due aspetti del numero: il cardinale e l’ordinale. È importante tenere presente che, qualunque sia l’ordine con cui si dispongono gli elementi di un dato insieme, si può dimostrare che all’ultimo elemento spetta sempre lo stesso numero ordinale.

16. Differenza tra numero e rappresentazione del numero Quanti modi abbiamo per scrivere un numero naturale, ad es. sette? IIIIIII; seven, VII, ,…. • La realtà del numero è la stessa cambia la rappresentazione • Per rendere più agevoli i calcoli è comodo avere un adeguato sistema di numerazione. • Noi usiamo un sistema decimale, posizionale, ma ugualmente bene potrebbero andare altri

18. insieme N • L’insieme dei numeri naturali nel nostro sistema di numerazione si indica con • N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

19. N è un insieme infinito I numeri naturali, abbiamo visto, si possono ordinare uno di seguito all’altro in modo molto intuitivo e la successione non ha termine. I numeri naturali sono il primo esempio di infinito in matematica. Tutte le volte che un insieme ha la stessa ‘numerosità’ dei i numeri naturali diremo che è numerabile. Alcune ‘numerosità’ ci paiono diverse, per es.

20. i numeri naturali pari sono tanti quanti tutti i numeri naturali basta associare ad ogni numero il suo doppio 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … | | | | | | | | | 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … In matematica per definizione un insieme è infinito quando può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio,una sua parte. Il nostro ‘buon senso’ ci direbbe che sono la metà, ma queste cose accadono perché vogliamo trasportare all’infinito le categorie del finito!... Tanti sono i paradossi che coinvolgono l’infinito…

21. Nobody will drive us out of Cantor's paradise. D. Hilbert Già nel 1638 Galileo ne “Dialoghi intorno a due nuove scienze” cercò di fare delle considerazioni sugli insiemi numerici, trovandosi però in gravi difficoltà nel formulare ipotesi sulla cardinalità (cioè sul numero di elementi) degli insiemi infiniti.Galileo dimostrò l’esistenza di una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei quadrati di tutti i numeri interi e tutti gli N,infatti essi possono essere abbinati ad uno e un solo numero naturale, dunque dovevano avere la stessa cardinalità. Galileo, di fronte a questa incongruenza logica, concluse che le relazioni di “uguaglianza”, di “maggiore di” o “minore di” non sono applicabili agli insiemi infiniti, ma solo a quelli finiti, evitando quindi di lavorare con classi di grandezze non numerabili.La risposta arrivò con il grande matematico tedesco G.Cantor(1845-1918) che formulò una nuova teoria: la “teoria degli insiemi” che prende il suo nome, teoria in cui fa anche una classificazione degli insiemi infiniti..Si narra un aneddoto, forse leggendario, a riguardo. Cantor non voleva utilizzare il termine infinito, che per lui aveva anche una connotazione religiosa. Chiese consiglio a un cardinale, il quale lo tranquillizzò, ma gli consigliò comunque di utilizzare un termine equivalente. Cantor, allora, scelse il termine transfinito”.

22. Infinito attuale e infinito potenziale “Si presenta spesso il caso che vengano confusi tra di loro (…)i concetti di infinito potenziale e di infinito attuale, malgrado la differenza essenziale. (…) Il primo denota una grandezza variabile finita,che cresce al di là di ogni limite finito; il secondo ha come suo significato un quanto costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là di ogni grandezza finita. Avviene un’altra frequente conclusione con lo scambio tra le due forme di infinito attuale, e precisamente quando si mettono insieme il Transfinito e l’Assoluto, mentre questi due concetti sono rigorosamente separati, in quanto il primo è relativo ad un infinito attuale, si, ma ancora accrescibile, il secondo a un infinito non accrescibile e pertanto non determinabile matematicamente”. (G.Cantor)

23. Notiamo che invece i numeri della calcolatrice non sono infiniti,neppure quelli del più potente calcolatore Quelli della calcolatrice sono numeri diversi da quelli della matematica, ma per i calcoli usuali possiamo operativamente usare quelli della calcolatrice e vanno benissimo, anche se in alcuni casi bisognerà stare molto attenti….

24. N è un insieme discreto • Tra due numeri naturali o non vi è nessun numero naturale o ce ne sono in numero finito. • Nell’epoca digitale siamo abituati a lavorare molto con insiemi discreti, ma…

25. Operazioni con i naturali • Con i Naturali fin dalla prima elementare abbiamo imparato a fare confronti e fare con loro alcune operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. • Sottrazione e divisione le posso considerare come le operazioni inverse della addizione e della moltiplicazione. Esse inoltre hanno la caratteristica che non sono sempre eseguibili in N,non sono operazioni nel senso matematico, in quanto • un‘operazione in un insieme  A viene definita in generale come una legge che associa ad ogni coppia  di elementi di A, un terzo elemento ancora di A

26. addizione • E’ sempre possibile eseguire la addizione in N,ovvero dati due qualsiasi numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che definisco essere la somma dei primi due. • si dice pertanto che l’addizione è un'operazione interna a N o anche che N è chiuso rispetto essa.

27. Proprietà dell’addizione 1)      proprietà commutativa :  Per qualsiasi  a,b єN: a+b=b+a . 2) proprietà associativa Per qualsiasi  a,b,c єN: (a+b)+c=a +(b+c). 3)      esistenza dell’ elemento neutro l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:              Per qualsiasi  aє N:                     a + 0 = a .

28. moltiplicazione • Anche questa è un’operazione sempre possibile, nel senso sopradefinito • In realtà potremmo vedere la moltiplicazione come una serie di somme iterate.

29. Proprietà della moltiplicazione • proprietà commutativa :  Per qualsiasi  a,b єN: a*b=b*a . • proprietà associativa   Per qualsiasi  a,b,c єN: (a*b)*c=a*(b*c) • esistenza dell’ elemento neutro; l'elemento neutro per la moltiplicazione è il numero 1, infatti           Per qualsiasi  a є N:                         a * 1 = a . In oltre abbiamo la seguente proprietà che lega somma e prodotto: 4. proprietà  distributiva del prodotto rispetto alla somma: (a+b)*c = a*c + b*c

30. Attenzione il fatto che alcune operazioni siano commutative non è poi così banale pensate alla sottrazione alla divisione. .… C’è però un’altra interessante proprietà, che scaturisce dallo strano comportamento dello zero: legge di annullamento del prodotto: se moltiplichiamo un qualsiasi numero naturale per 0, il prodotto è nullo e viceversa. a*0= 0*a= 0

31. Conseguenza importante Non sarà mai definita in nessun insieme numerico una divisione con divisore =0 Ricordiamoci chepossiamo pensare la divisione come l’operazione inversa della moltiplicazione perciò se a*b= c è vero che c : b=a Se avesse senso a:0 e fosse uguale ad un certo numero d allora sarebbe vero anche che d*0=a, mentre abbiamo detto che il risultato della moltiplicazione per 0 è sempre 0

32. Proprio i il fatto che valgano certe proprietà per le operazioni fondamentali sarà ciò che ci consentirà più avanti di chiamare numeri anche cose strane, molto, molto strane…

33. Elevamento a potenza • Questa operazione può essere considerata una moltiplicazione ripetuta, ma in questo modo esauriamo tutti i casi di elevamento a potenza? • Cosa vuol dire 50 ? • Oppure 71 e 00 ?

34. Definizione di elevamento a potenza • E’ un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente -se n>1 il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a an = a*a*a …..*a (per n volte) -se n = 1 , per ogni a a1 = a, -se n = 0 , per ogni a≠0 a0 = 1, Perché?

35. Proprietà delle potenze • prodotto di potenze di uguale base anam=an+m • quoziente di potenze di uguale base              an :am=an-m • potenza di una potenza                    (an)m=anm • prodotto di potenze con uguale esponente        anbn=(ab)n • quoziente di potenze con uguale esponente      an :bn=(a : b)n

36. giustificazione a n : a n = 1 ( divisione di due "quantità" uguali ) ma   a n : a n = a n-n = a 0 (proprietà delle potenze con stessa base)quindi, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, si ha  a 0 = 1con a diverso da zero, infatti 0 0 non è definito.

37. Per coerenza con la definizione di potenza data a un numero diverso da zero, sembrerebbe di porre 00 = 1.       Le stesse proprietà delle potenze ci permettono però di capire che non possiamo prendere questa definizione per buona. Un'altra proprietà afferma infatti che (a : b)n = an : bn: ma allora l'espressione (1 : 0)0 dovrebbe essere priva di significato da un lato (perché 1 : 0 è priva di significato) mentre dall'altro lato dovrebbe essere pari a 10 : 00 = 1 : 1 = 1.

38. C’è una operazione inversa all’elevamento a potenza? a b = c Pensiamo un caso numerico 3 2 = 9

39. In realtà ce n’è due. Come mai??? E’ vero che 2√9= 3 ma anche che log39 =2

40. se a b = c alloralogac =b Il logaritmo di un certo numero c in base a≠1,0 è quel numero a cui si deve elevare la base per avere il numero dato, ma dei logaritmi parleremo con più precisione in altri insiemi numerici…

41. bibliografia • G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon • Courant-Robbins Che cos’è la matematica? Boringhieri • Glenn-Johnson Divertimenti matematici Zanichelli • http://math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf • http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/Numeri.htm • http://progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm • http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/somm_cardinal/transfin.htm