MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3 Búsqueda de varias raíces

1. MÉTODOS NUMÉRICOS2.3 Búsqueda de varias raíces Gustavo Rocha 2005-2

2. BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES

3. ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES • Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. • La posible existencia de raíces múltiples complica el problema. • En la vecindad de la raíz, tanto la función como su derivada se acercan a cero. • Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples son tangentes al eje x y no lo cruzan. • Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiples cruzan al eje x en un punto de inflexión. • En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo, los métodos cerrados no son confiables.

4. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL • La búsqueda consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo del intervalo. • Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña, algunas raíces pueden pasar inadvertidas. f(x) 3 raíces 2 raíces 2 raíces x x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x x x x x x x x x

5. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL • El método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas las raíces de una ecuación, considerando: • La manera como se presenta físicamente el fenómeno. • El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación, especialmente cuando se trata de polinomios. • Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómeno analizado y el número esperado de raíces. • Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tenga más raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, se recomienda: • Obtener las tangentes en los extremos de cada incremento para identificar cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento más minuciosamente. • Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos. • Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica, cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiable, porque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamente engañoso.

6. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

7. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de0.50, parece que hay solo2raíces Necesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

8. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raíces

9. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de0.20, parece que hay solo2raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

10. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces

11. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de0.10, parece que hay solo4raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

12. 2 1.5 1 0.5 0 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces

13. MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL detalle

14. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) x

15. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.

16. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) x x1

17. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.

18. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f’(x1) f ’(x) f ”(x) f(x) x1 x f(x1) f”(x1)

19. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.

20. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO (x) x1 x (x1)

21. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. • Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto.

22. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO (x) x1 x

23. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Para deducir la fórmula de recurrencia:

24. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. • Trazar una recta tangente a la función (x)por ese punto. • El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

25. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO (x) (x2) x2 x1 x

26. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. • Trazar una recta tangente a la función (x)por ese punto. • El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz. • El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

27. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) x2 x1 x

28. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(X) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 triple raíz

29. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 Recurrencia Función

30. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1

31. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 X4 = 3 Recurrencia Función

32. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 x4 = 3 Recurrencia Función

33. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON • El método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente, como sucede en la búsqueda de una raíz simple. • El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de una raíz simple. • La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples. • A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de convergencia del método tradicional.