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Université Paul Verlaine - Metz Ecole Doctorale PIEMES Les modèles d’équations structurales : théorie et applications avec LISREL Jean-Luc Kop Université Nancy 2 jean-luc.kop@univ-nancy2.fr. PLAN Présentation générale La régression multiple avec LISREL Les pistes causales avec LISREL
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Université Paul Verlaine - Metz Ecole Doctorale PIEMES Les modèles d’équations structurales : théorie et applications avec LISREL Jean-Luc Kop Université Nancy 2 jean-luc.kop@univ-nancy2.fr
PLAN • Présentation générale • La régression multiple avec LISREL • Les pistes causales avec LISREL • La logique des MES • Le modèle de mesure (analyse factorielle) • Le modèle complet
Les modèles d’équations structurales (MES) • permettent de modéliser les relations existant entre un ensemble de variables à partir d’une représentation théorique • intègrent la régression, les pistes causales et les analyses factorielles • permettent d’introduire des variables latentes et donc de tenir compte des erreurs de mesure
ORIGINES • Jöreskog (1973) • Keesing (1972) • Wiley (1973) • Modèle JKW • Premier logiciel : LISREL (Jöreskog & Sörbom) • Autres logiciels : AMOS, SePath, Mplus, EQS, MX
MODE OPERATOIRE de LISREL LISREL = Linear Structural RELationships
La régression multiple avec LISREL • Exemple • VD = salaire (annuel, brut, en k$) • VI = • expérience (en mois) • niveau d’études (en années)
La régression multiple avec LISREL Matrice de corrélations salact exp nivetud -------- -------- -------- salact 1.00 exp -0.10 1.00 nivetud 0.66 -0.26 1.00 Matrice de covariances salact exp nivetud -------- -------- -------- salact 291.58 exp -181.15 10828.48 nivetud 32.54 -77.00 8.32
La régression multiple avec LISREL Programme SIMPLIS regression avec deux VI observed variables salact exp nivetud means : 34.42 96.47 13.49 covariance matrix 291.58 -181.15 10828.48 32.54 -77.00 8.32 sample size 474 relationships const exp nivetud -> salact end of problem
La régression multiple avec LISREL Résultats salact = - 20.97 + 0.012*exp + 4.02*nivetud (3.10) (0.0058) (0.21) -6.77 2.03 19.06 Errorvar.= 162.89, R² = 0.44 Résultats standardisés (options SC) Regression Matrix Y on X (Standardized) exp nivetud -------- -------- salact 0.07 0.68
Les pistes causales • Analyse en pistes causales (path analysis) • S. Wright (1920-30) • Simon, Blalock, Boudon • Plusieurs variables explicatives et plusieurs variables expliquées
Les pistes causales • spécification du réseau de relations entre variables • Exemple
Les pistes causales • âge = variable exogène (plusieurs sont possibles) • variable endogène = variable au moins influencée par une autre • satisfaction = variable endogène ultime • ei = variables résiduelles • modèles récursifs = une seule piste entre deux variables (effets réciproques modèles non récursifs) • modèle saturé = toutes les pistes possibles
Les équations autonomie = b21 × âge + e2 revenu = b31 × âge + b32 × autonomie + e3 satisfaction = b41 × âge + b42 × autonomie + b43 × revenu + e4
Calcul des paramètres revenu = b31 × âge + b32 × autonomie + e3 On multiplie par l’âge revenu × âge = b31 × (âge)² + b32 × (autonomie × âge) + e3 × âge Espérances mathématiques E(revenu x âge) = rrevenu, âge E(âge²) = 1 E(autonomie x âge) = rautonomie, âge E(e3 × âge) = 0 rrevenu, âge = b31 + b32 × rautonomie, âge
Calcul des paramètres revenu = b31 × âge + b32 × autonomie + e3 On multiplie par l’autonomie ……. rautonomie, revenu = b31 × rautonomie, âge + b32 Système de deux équations à deux inconnues rrevenu, âge = b31 + b32 × rautonomie, âge rautonomie, revenu = b31 × rautonomie, âge + b32
Les pistes causales avec LISREL Programme SIMPLIS Pistes causales de la satisfaction au travail observed variables age autonom revenu satis correlation matrix 1 0.28 1 0.63 0.38 1 0.38 0.74 0.64 1 sample size 472 relationships age autonom revenu -> satis age –> autonom age autonom -> revenu path diagram end of problem
Les pistes causales avec LISREL Résultats (équations) autonom = 0.28*age, Errorvar.= 0.92 , R² = 0.078 (0.044) (0.060) 6.32 15.33 revenu = 0.22*autonom + 0.57*age, Errorvar.= 0.56 , R² = 0.44 (0.036) (0.036) (0.036) 6.15 15.83 15.33 satis = 0.58*autonom + 0.47*revenu - 0.078*age, Errorvar.= 0.30 , R² = 0.70 (0.027) (0.034) (0.032) (0.019) 21.42 13.85 -2.39 15.33
Les pistes causales avec LISREL Résultats (graphique)
Les pistes causales avec LISREL • eautonomie = 0.92 ; l’âge n’explique que 8% (0.28² * 100) de l’autonomie • effet direct de l’âge sur la satisfaction : -0.08 • effet indirect de l’âge sur la satisfaction : par l’intermédiaire de l’autonomie (0.28 * 0.58 = 0.16) ; par l’intermédiaire du revenu (0.57 * 0.47 = 0.27) ; par l’intermédiaire de l’autonomie et du revenu (0.28 * 0.22 * 0.47 = 0.03)
Les pistes causales avec LISREL • effet indirect de l’âge sur la satisfaction : 0.16 + 0.27 + 0.03 = 0.46 • effet total de l’âge sur la satisfaction = effet direct (-0.08) + effet indirect (0.46) = 0.38 (N.B. râge, satisfaction = 0.38)
Les pistes causales avec LISREL • Effets directs et indirects syntaxe LISREL : options EF Total and Indirect Effects Total Effects of X on Y age -------- autonom 0.28 (0.04) 6.32 revenu 0.63 (0.04) 17.59 satis 0.38 (0.04) 8.91 Indirect Effects of X on Y age -------- autonom - - revenu 0.06 (0.01) 4.41 satis 0.46 (0.04) 11.42 Total Effects of Y on Y autonom revenu satis -------- -------- -------- autonom - - - - - - revenu 0.22 - - - - (0.04) 6.15 satis 0.69 0.47 - - (0.03) (0.03) 22.08 13.85 Largest Eigenvalue of B*B' (Stability Index) is 0.590 Indirect Effects of Y on Y autonom revenu satis -------- -------- -------- autonom - - - - - - revenu - - - - - - satis 0.10 - - - - (0.02) 5.62
Autre exemple Stringer, M., & Irwing, P. (1998). Students’ evaluations of teaching effectiveness: a structural modelling approach. British Journal of Educational Psychology, 68, 409-426 • 1708 étudiants évaluent : • qualité formelle de l’enseignement (qual) • feedback donné par l’enseignant (feedback) • intégration de l’enseignement (integ) • charge de travail (charge) • stimulation int. / apprentissage (stimul) • évaluation globale de l’enseignement (global)
Autre exemple Matrice de corrélations
La logique des MES ✔ tester des hypothèses qui découlent d’une théorie concernant les relations de dépendances et/ou d'interdépendances entre des variables observées et/ou des variables latentes ; ✔ à partir des relations (exprimées en termes de variances-covariances) entre des variables manifestes ; ✔ par l'intermédiaire de la manipulation de paramètres.
Trois types de paramètres • Paramètres fixés • Paramètres contraints • Paramètres libres
Exemple : la matrice Γ Qual Charge libre Feedback libre Integ libre Stimul fixé à 0 Globale libre
L’estimation des paramètres libres Moindres carrés non pondérés (ULS) Moindres carrés généralisés (GLS) Maximum de vraisemblance
Nombre de degrés de liberté du modèle p = nombre de variables exogènes manifestes q = nombre de variables endogènes manifestes t = nombre de paramètres estimés (libres)
Théorie En résumé Paramètres ∑(Θ) ∑ Matrice théorique Matrice observée ???? Adéquation ?????
Le modèle de mesure (analyse factorielle) Exemple Lance, C.E., Mallard, A.G., & Michalos, A.C. (1995). Tests of the causal directions of global-life facet satisfaction relationships. Social Indicators Research, 34, 69-92. Mesure de la satisfaction de 400 personnes relativement à différents domaines : santé, revenu, relations familiales, travail, amis, logement, conjoint, loisirs, religion, transports, éducation
Modèle de mesure x = λxξ + δ xi = λi1ξ1 + λi2ξ2 + …. + λinξn + δi
Modèle de mesure (développement matriciel) X = Λx ξ + δ
Test du modèle à deux facteurs indépendants Matrice factorielle (Λ)
Test du modèle à deux facteurs indépendants Matrice de corrélations entre les facteurs Φ
Test du modèle à deux facteurs indépendants Matrice de covariances entre les parties résiduelles (Θδ)
Programme Simplis lance et al 1995 : 2 facteurs independants Observed Variables sante revenu famille travail amis logement conjoint loisirs religion transp educ latent variables mat immat Correlation Matrix …….. Sample Size = 400 relationships immat -> sante famille amis conjoint loisirs religion educ mat -> revenu travail logement transp set the covariance between mat and immat to zero path diagram lisrel output rs mi End of Problem