Võrratused

1. Võrratused

2. Võrratuse mõiste Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk(<, >,  või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Näited Lineaarvõrratus: Ruutvõrratus: Murdvõrratus: Absoluutväärtusi sisaldav võrratus:

3. Arvvõrratus ja selle omadused Kui kaks arvu või arvavaldist on ühendatud märgiga “suurem” (>) või “väiksem” (<), siis kõneldakse, et on antud arvvõrratus. Arvvõrratused on ka sellised tähti sisaldavad võrratused, kus tähtede all mõeldakse kindlaid arve nagu , e. Arvvõrratuse korral kehtivad järgmised omadused: • Kui a > b, siis b < a Näide: 5 > -2, seega -2 < 5 • Kui a > b ja b > c, siis a > c Näide: 5 > -2 ja -2 > -5 seega 5 > -5

4. Võrratusmärk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga • kui a > b ja c > 0, siis ca > cb ja ehk Arvvõrratus ja selle omadused • Võrratuse mõlema poolega võib liita ühe ja sama avaldise (arvu), • kui a > b, siis ka a + c > b + c Näide: 5 > -2, seega ka 5 + 2 > -2 + 2 ehk 7 > 0 Näide: 5 > -2 ja 2 > 0 seega 5·2 > -2·2 ehk 10 > -4

5. Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga • kui a > b ja c < 0, siis ca < cb ja ehk Arvvõrratus ja selle omadused Näide: 5 > -2 ja -2 < 0 seega 5·(-2) < -2·(-2) ehk -10 < 4

6. Võrratuste lahendamine Kui võrratus sisaldab muutujat, siis saab teda lahendada, s.t. leida muutuja need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need muutuja väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Kaht võrratust nimetatakse samaväärseks, kui nende lahendihulgad on võrdsed. Võrratuse lahendamine seisneb antud võrratuse teisendamisel järjest lihtsamaks temaga samaväärseiks võrratusteks seni, kuni jõutakse võrratuseni, mis määrab lahendihulga. See teisendamine põhineb arvvõrratuse omadustel.

7. Võrratused ja on samaväärsed, kuna kummagi võrratuse lahendihulgad on võrdsed • Võrratused ja ei ole samaväärsed, kuna esimese võrratuse lahendihulgaks on või Teise võrratuse lahendihulgaks on aga Samaväärsed võrratused Samaväärseteks nimetatakse võrratusi, millel on üks ja sama lahendihulk. Näited

8. Näide Võrratuste lahendamisel kasutatavad teisendused • Võrratuse liikmeid võib viia võrratuse ühelt poolt teisele poolele, muutes iga üleviidava liikme ees oleva märgi esialgsega vastupidiseks. • Võrratuse pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga (avaldisega). Näide

9. Näide Võrratuste lahendamisel kasutatavad teisendused • Võrratuse pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga (avaldisega), muutes võrratuse märgi vastupidiseks. • Võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, kui see avaldis saab muutuja erinevate väärtuste korral olla nii positiivne kui negatiivne.

10. Võrratusel on üks lahend x = 1 Võrratusel on lõpmatu palju lahendeid, n.o. x > 15 Võrratusel aga lahendid puuduvad Võrratuse lahendite arv Võrratusel võib olla üks, mitu, lõpmata palju lahendeid või lahendid hoopiski puududa. Näited Võrratuse lahendamine tähendab selle kõigi lahendite leidmist.