1 / 32

נכתב ע”י: Daniel P. Huttenlocher קלרה קדם מיכה שריר

The Upper Envelope of Voronoi Surfaces and Its Applications המעטפת העליונה של משטחי וורונוי ואפליקציות הקשורות אליה. נכתב ע”י: Daniel P. Huttenlocher קלרה קדם מיכה שריר. במה יעסוק המאמר:. 1. נדון במבנה של המעטפת העליונה של m משטחי וורונוי:

laksha
Download Presentation

נכתב ע”י: Daniel P. Huttenlocher קלרה קדם מיכה שריר

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. The Upper Envelope of Voronoi Surfaces and Its Applicationsהמעטפת העליונה של משטחי וורונויואפליקציות הקשורות אליה נכתב ע”י: Daniel P. Huttenlocher קלרה קדם מיכה שריר

  2. במה יעסוק המאמר: 1. נדון במבנה של המעטפת העליונה של mמשטחי וורונוי: א. נקבע חסם על מספר הקודקודים (הסיבוכיות של המעטפת). ב. נספק אלגוריתם מספק לחישוב הקודקודים. 2. נדון בשני מיקרים: א. mקבוצות של נקודות ב-R2(דו-מימדי). ב. mקבוצות של סגמנטים ב -R2 .

  3. מוטיבציה המעטפת העליונה של מספר משטחי וורונוי המוגדרים כל אחד לקבוצה שונה של מקורות , יכולה לעזור בפתרון הבעיה של מציאת מרחק Hausdorff מינימלי בין שתי קבוצות נקודות או סגמנטים.

  4. d(x)=min P(x,p) נגדיר את משטח וורונוי של קבוצה Sלהיות: pS y x דיאגרמת וורונוי במימד 1 נבנה את המעטפת העליונה של משטחי וורונוי במימד 1 נסמן ב-f(x) את המעטפת העליונה

  5. - קבוצה של מקורות (נקודות או סגמנטים). S={pj | j=1,…,n} - דיאגרמת וורונוי של קבוצה S. Vor(S) m=|{Si | i=1,….,m}| ni=|Si |, i=1,….,m - מספר הקבוצות של המקורות. - מספר המקורות ב-Si. n= ∑ni - סה”כ המקורות סימונים

  6. d(x)=min P(x,p) הגדרנו את משטח וורונוי של קבוצה Sלהיות: pS p4 d(x) p2 Min P(x,q) p3 x p5 p1 מקורות במישור S={p1,p2,p3,p4,p5} שתי אבחנות: 1. המשטח (d(x הוא בנקודת מינימום מקומית (השווה ל-0) כאשר x=pj. 2. המשטח (d(x הוא בנקודת מקסימום מקומית עבור נקודות הנמצאות על גבול התאים של (Vor(S .

  7. קבוצת נקודות ב-R2 אבחנה : בהנתן נק’ x0 , ,כאשר המקור הקרוב ביותר ל-x0ב- (Vor(Si , רחוק יותר מ- x0 מאשר המקור הקרוב ביותר ל- x0בכל דיאגרמה אחרת של (Vor(Sj. f(x0)=di(x0) כלומר: f(x)=max di(x). i=1,..,m יהיו S1,…., Smאוסף של mקבוצות של נקודות במישור. נחשב את הסיבוכיות של המעטפת העליונה של mמשטחי וורונוי (di(x.

  8. p f(x)=di(x)שבהם מתקיים - Fהחלקים ב- האיחוד של כל החלקים הללו מכל התאים בכל m דיאגרמות וורונוי, מגדירות את ההיטל-xy של כל המשטח f(x). F– תא ב- Vor(Si) המוגדר ע"י p. F P נשתמש באבחנה מס' 1 לקבוע את החלק (יתכן ריק) ב-Vor(Si) שבו f(x)=di(x).

  9. Vor(Si)ב- qהתא של F q Qj1 Qj2 Vor(Si Sj)ב- qהתא של Q = Qj j≠i נשים לב ש-Qj F עבור כל j.

  10. x p Qj1 Qj2 למה: המעטפת העליונה f(x) שווה ל- di(x) עבור xF אמ"ם .xF-Q

  11. γ1(σ) γ3(σ)=max γj(σ) J=1,….,m σ נייצג את Q כפונקציה פולרית. max γj(σ) = r y x q Qj1 Qj2 Qj3 מאחר וכל תא הוא בצורת כוכב , ניתן להציג קורדינטות פולאריות (r, σ) כש-q הוא הראשית ולהתייחס לגבולות של Qj כגרף המיוצג ע"י הפונקציה γj(σ) = r.

  12. למה : הסיבוכיות של שפת האיחוד של Q לינארית ביחס ל- CF, עבור דיאגרמות וורונוי המבוססות על 1L ו-L. והיאO(CF(CF)) עבור L2. נסמן: Cj – מספר הצלעות של jiQj. CF=Cj. הוכחה: עבור דיאגרמות וורונוי המבוססות על 2L , הצלעות בדיאגרמה הם סגמנטים בכיוונים שרירותיים. מכיוון שכל שניים מהם נחתכים לכל היותר פעם אחת , אזי שפת האיחוד שלהם היא מסיבוכיות O(CF(CF))[16]. במקרה של 1L ו-L  , גבולות התא מכילות סגמנטים רק ב-4 כיוונים. ע"י שימוש באלגוריתם הפרד ומשול לחישוב שפת האיחוד [6] אנחנו משלבים את 4 משפחות הסגמנטים ע"מ לקבל מעטפת עליונה שסיבוכיותה ליניארית ל-CF.

  13. יהי N=F CF– מספר הצלעות שיוצרות את Qj , עבור כל תאי וורונוי בכל הדיאגרמות. למה: N = O(mn) . הוכחה: עבור Vor(Si) ניקח את כל הדיאגרמות Vor(SiSj) ע"מ ליצור את כל הגבולות של ה-Qj-ים אשר בכל תא של Vor(Si) . מספר הצלעות עבור כל Vor(SiSj) הוא O(ni+nj). נסכום עבור כל ji ונקבל:(ni+nj)) = O(nim+n) CF =O( נסכום עבור כל Si,i=1,…,mונקבל:iO(mni+n) = O(mn+i(mni)) = O(mn)

  14. משפט: הסיבוכיות של המעטפת העליונה של משטחי וורונוי , המורכבת מ-m קבוצות של נקודות במישור ועם סך של n מקורות היא O(mn) ב- L1 ו- L. והיא O(mn(mn)) כשמשתמשים ב-L2.

  15. 2H 2H 2H 2H 2H y0 2(H-δ) y0 –2(H-δ) 2(H-δ) 2(H-δ) 2(H-δ) 2(H-δ) 2(H-δ) נראה כי מספר הקודקודים במעטפת העליונה של משטחי וורונוי היא במקרה הגרוע (mn). נוכיח בעזרת בנייה:

  16. חישוב המעטפת העליונה f(x). • נשתמש במשפט הקובע את הסיבוכיות של f(x). • האלגוריתם עוקב אחרי הבניה הזו, ויש בו 2 שלבים בסיסים: • מחשב את "דיאגרמת הזוגות" Vor(SiSj) עבור 1ijm. • עבור כל מקור q בכל Si , מחשב את הגבולות של Q. שלב 1, לוקח זמן של O(mn log(mn)) ,מכיוון שהגודל של כל הזוגות הוא O(mn). שלב 2, לוקח זמן של O(CFlogCF) עבור כל מקור q [17], כך שעבור כל המקורות של דיאגרמות וורונוי , ובהתחשב בכך ש- FCF=O(mn) מתקבל הזמן הרצוי O(mn log(mn)).

  17. x p Qj,1 Qj,2 מציאת המינימום המקומי של f(x). יהי qSi מקור כלשהו, ויהי F תא ב-Vor(Si) המכיל את q, ויהי Q האזור סביב q כפי שהגדרנו קודם. אזי, המינימום המקומי של f(x) עבור xF-Q, נמצא על השפה של Q. ומכאן שניתן להשיג את המינמום המקומי של f(x) בלי עלות נוספת.

  18. q עלxהיא הנק' הקרובה ביותר ל-q’ F q’ q x F – Vor(Si(ב-qהתא של

  19. Sjסגמנטים מ - qj,3 Qj,1 q Qj,2 qj,1 Qj,3 qj,2

  20. q* x Q q q’ F qj,l

  21. A Voronoi cell of a “line segments Voronoi diagram” has the weak star shape property .

  22. f(x) = di(x) for x in F iif x in F – Q Q = UU Qj,l Qj,1 q Qj,2 Qj,3

  23. The combinatorial complexity of the boundary of Q is O(cα(c )) for L1, L∞ and O(c 2^α(c )) for L2 .

  24. Bלנקודה ב - a1המרחק הקצר ביותר מ - h(A*,B*) = המרחק הגדול ביותר מבין המרחקים הקצרים b1 a1 B A b2 a2 a3 b3

  25. H(A,B) – Aשאינן קרובות לנקודות ב - B גדול,מכיוון שיש נקודות ב- D(A,B) – Aלנקודה ב- B קטן,מכיוון שיש העתקה שמקרבת כל נקודה ב- A B

  26. D A B H h(A* , B*) = max min ρ (a , b) H(A,B) = max(h(A* , B*) , h(B* , A*)) D(A,B) = min H(A , B ⊕ x)

  27. bj d’j(x) = min δi,j(x) di(x) = min δi,j(x) bj ai ai ∈ A bj ∈ B ai x ai bj x ai-bj δi,j(x) = ρ(ai , bj + x) = ρ(ai – bj , x) Lets define the function di(x) to be the lower envelope of δi,j(x) for a fixed point ai in A and over all bj in B :

  28. δi,j(x) = ρ(ai – bj , x) d’j(x) = min δi,j(x) di(x) = min δi,j(x) d’j(x) = min ρ(p , x) di(x) = min ρ(p , x) ai ∈ A bj ∈ B p ∈ S'j p ∈ Si min f(x) = min H(A , B ⊕ x) = D(A,B) x x Si = { ai – bj | bj ∈ B} S’j = {ai – bj | ai ∈ A} f(x) = (max (max di(x) , max d’j(x)) = H(A , B ⊕ x)

  29. h(A* , B*) = max min ρ (a , b) H(A,B) = max(h(A* , B*) , h(B* , A*)) D(A,B) = min H(A , B ⊕ x) d’j(x) = min ρ(p , x) di(x) = min ρ(p , x) di(x) = min ρ(p , x) p ∈ S’j p ∈ Si p ∈ Si f(x) = max (maxdi(x) , max d’j(x)) = max(h(A* , B*) , h(B* , A*)) = H(A , B ⊕ x) is by definition the Voronoi surface of Si . To find D between two sets A , B we have to identify the value of x that minimizes the upper envelope of all Voronoi surfaces defined by the sets Si = ai -* B and S’j = A – bj .

  30. Example in one dimension A 1 4 0 B 2 11 0 3 Hausdorff distance = 3 3 How do we get this result by using the Voronoi surfaces ???

  31. S1 = {-1 , -10} S2 = {2 , -7} S’1 = {-1 , 2} S’2 = {-10 , -7} -10 -7 -1 0 2 Example in one dimension (cont.) A = {1 , 4} B = {2 , 11} (-4,3)

More Related