Escuela Superior de Ingeniería Informática Enxeñería Técnica en Informática de Xestión

1. Escuela Superior de Ingeniería Informática Enxeñería Técnica en Informática de Xestión Planificación de Proyectos Informáticos Tercer Tema Programación Temporal de Proyectos Informáticos

2. Introducción Una vez realizado el proceso de planificación quedan establecidos: • Tiempos o duración de las actividades • Recursos necesarios • Secuencia de las actividades Pero esta información por si sola no permite establecer de forma clara la duración y secuencia total del proyecto.

3. Introducción Surgen entonces las técnicas para programación de proyectos, la cuales, las de tipo matemático, basan su construcción en la en la teoría de grafos. Las de tipo matemático se pueden definir en dos grupos: • Redes con actividades representadas por los arcos o flechas. • Método PERT/CPM • Redes con actividades representadas por los vértices o Nodos • Método Roy y método de las Precedencias

4. Introducción • También hay técnicas graficas de programación, la mas conocida es el diagrama de GANTT diseñada por Henry Gantt a principios del siglo XX. • Dentro de las técnicas de programación también se puede hacer una diferenciación de acuerdo a la forma en que se toma el tiempo ya que puede tomarse de dos formas: • Determinística • Estocástica o Probabilística

5. Introducción • En resumen, la técnicas de programción que se verán son: • Gráficas (Diagrama de Gantt). • Matemáticos: • PERT • CPM • ROY • Precedencias

6. Teoría de grafos • Un grafo se define mediante dos conjuntos, el conjunto X de los vértices del grafo y el conjunto U de las relaciones existentes entre los vértices. • La representación gráfica de los vértices se muestra por puntos, círculos, etc. Y las relaciones por arcos que unen los vértices que relacionan, incluyendo la dirección.

7. Teoría de grafos Ejemplo:

8. Teoría de grafos • Conceptos básicos: • Camino (es toda sucesión de arcos tales el vértice extremo de cada arco es a su vez origen del siguiente, excepto el último) • Longitud del camino (es la suma de los valores numéricos asociados a los arcos que lo constituyen)

9. Teoría de grafos • Matriz asociada a un grafo: • Es una matriz NxN, siendo N el número de vértices del grafo, cuyos elementos valen 1 (Eij = 1) cuando hay relación (arco) del vértice i al vértice j, y Eij = 0 en caso contrario (i = columnas, j = filas).

10. Teoría de grafos • Matriz asociada al grafo anterior: • 0 0 0 0 0 1 0 • 1 0 0 0 0 0 0 • 1 0 0 0 0 0 0 • 1 1 0 0 0 0 0 • 0 1 0 1 0 0 0 • 0 0 1 1 0 0 0 • 0 0 0 1 1 1 0 j i

11. Método PERT • Es una herramienta desarrollada en los años 50 por la marina Estadounidense con motivo del desarrollo y construcción de los submarinos polaris y es una sigla que significa Performance evaluation and review technique, técnica de evaluación y revisión del rendimiento y surge a la par que el CPM que fue desarrollado por la Compañía. E.I. Du Pont. • Se diferencian fundamentalmente en el criterio con el que manejan la variable tiempo

12. Método PERT • PERT considera al tiempo en forma estocástica y esto quiere decir que lo toma como una variable aleatoria la cual puede adquirir cualquier valor de dentro de un rango de valores establecido. Dicho rango tiene como limite inferior el mínimo tiempo en que puede ser desarrollada la actividad y como limite superior al máximo tiempo que toma hacer dicha actividad. • Dada la situación anterior se da la necesidad de hacer una estimación de dicho tiempo y el valor mas común tomado para esto es un valor promedio o media. • Al tener una media, tenemos y también una varianza y una desviación estándar y al tener esto podemos asociar a una distribución de probabilidad.

13. Método PERT • El método decide establecer tres tiempos para establecer tanto el rango de tiempos dentro del cual se hallaré el valor de tiempo real como una estimación de un tiempo más probable. • Con base en los tiempos anteriores se debe hacer una estimación de la media y de la varianza antes mencionada y para ellos se debe asociar a la distribución mas adecuada. El método PERT adopta como distribución de probabilidad la distribución BETA aunque hay algunos que prefieren usar la distribución TRIANGULAR y existen también otra serie de desarrollos que asocian a otras distribuciones según las características de riesgo que ellos planteen pero la de uso mas extendido es la BETA.

14. Método PERT • Tomado entonces la distribución BETA los cálculos de tiempo estimado o tiempo medio y varianza vienen así: • Se deben tener en cada actividad tres tiempos los cuales son: • a = Eo = Tiempo óptimo u optimista • m = Em = Tiempo mas probable • b = Ep = Tiempo pésimo o pesimista • Se Calculan Media y varianza para cada actividad según la siguientes formulas:

15. Método PERT

16. Método PERT • Elementos de la red: • Los arcos del grafo, representados por flechas, aon las actividades de proyecto y a ellos va asociado un número que indica la duración de la actividad, el cual ha sido calculado según la distribución asociada. • Los vértices del grafo, representados por circunferencias y también llamados nodos, son los sucesos, o eventos los cuales son puntos en el tiempo que marca la terminación de una o mas actividades y el comienzo de otra u otras. A estos nodos se le incorporan números que indican fechas (en términos relativos). • Las fechas en los nodos son: • Ocurrencia más temprana (“Early”). • Ocurrencia más tardía (“Last”). # OT OL Ht

17. Método PERT • Elementos de la red o grafo: • En donde: • OT = Ocurrencia temprana “Early”, aquí se indica el momento o punto en el tiempo donde se puede dar el evento. • OL = Ocurrencia tardía o mas lejana, “Last”, aquí se indica el momento o punto en el tiempo mas tardío en que puede ocurrir el evento • Ht = Holgura Total de que se dispone para la ocurrencia del evento • # = El número asignado a cada nodo que el numero de identificación del suceso.

18. Método PERT • Elementos de la red o grafo: • Al no ser un procedimiento de tipo gráfico, no es necesario utilizar una base de tiempos para la representación del grafo del proyecto, ni representar los arcos con longitud proporcional a la duración de las actividades a que se asocian. • Existen dos tipos de actividades: • Reales, representadas por una flecha de línea continua y representa una actividad que consume recursos a la vez indica una relación de precedencia. • Ficticias, que no consumen recursos pero si indica una relación de precedencia

19. Método PERT • Reglas de construcción: • Regla 1: TODA RED PERT/CPM Y ROY DEBE TENER UNO NODO DE INICIO Y UN NODO DE FINALIZACIÓN • Regla 2: Una actividad comienza siempre por un suceso o evento de donde se concluye fácilmente que ninguna actividad puede comenzar hasta que hayan terminado las que le preceden. • de la anterior regla se puede concluir: • El evento inicio de una o varias actividades solo puede ocurrir cuando el evento finalización de actividades sucesoras debe haberse cumplido para que cualquiera de ellas pueda empezar. Recuerde que: un nodo marca dos eventos: finalización de una(s) actividad(es) y comienzo de la actividad(es) siguiente(s)

20. Método PERT • Reglas de construcción: • Regla 3: Las flechas denotan precedencia lógica, la longitud de la flecha y su dirección angular carecen de significado. • Regla 4: Una red no puede Duplicar el numero de identificación de los nodos, exceptuando casos especiales donde se manejen sub-proyectos. • Regla 5: El número de identificación de un Nodo sucesor no puede ser inferior al numero de identificación del nodo predecesor, por tanto la numeración de los nodos del proyecto se hacen de izquierda a derecha en orden ascendente.

21. Método PERT • Reglas de construcción: • Regla 6: • Sobre le uso de actividades ficticias: • Cuando existe más de una actividad entre los mismos sucesos: Activ. ficticias Sucesos ficticios

22. Método PERT • Reglas de construcción: • Cuando dos o más actividades tengan algunas precedentes comunes pero no todas • A y B preceden a C • B precede a D Suceso ficticio

23. Método PERT • Reglas de construcción: • Restricciones de tipo potencial, que suponen que una actividad o más no pueden comenzar antes de una determinada fecha, lo cual se indica con un suceso ficticio para el que las fechas más temprana y más tardía coinciden y son iguales a la fecha antes mencionada. Este suceso ficticio se liga a las actividades correspondientes mediante actividades ficticias Suceso ficticio

24. Método PERT • Metodología: • Una vez segmentado el proyecto en actividades, hecha la valoración de las mismas y establecidas las dependencias, se procede a diseñar el proyecto siguiendo los siguientes pasos: • Se identifican en primer lugar la actividad o actividades iniciales del proyecto, que son aquellas que no tienen ninguna actividad precedente (a partir del vértice 1, suceso inicial, se trazan los arcos correspondientes a dichas actividades). • A continuación se representan aquellas actividades de las cuales son precedentes las anteriormente mencionadas y se repite el proceso hasta completar todas las actividades del proyecto, estableciéndose el suceso llamado fin de proyecto. Los vértices se numeran a medida que se traza la red según las reglas antes mencionadas.

25. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos: • Cálculos hacia delante: • Una vez construido el grafo, se procede a indicar, sobre las actividades, representadas por los arcos, las duraciones estimadas a través de los cálculos estadisticos. • El cálculo de tiempos comienza con el de las fechas más tempranas o “early”, y para ello, se asocia al suceso inicial un tiempo más temprano de 0. • El tiempo “early” de cada suceso i se calcula sumando a los tiempos “early” de los sucesos de comienzo de actividades que concluyen en el suceso i, las duraciones de las respectivas actividades, y tomando la mayor de dichas sumas.

26. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos: • Se prosigue con el cálculo de dichas fechas más tempranas hasta llegar al suceso “fin de proyecto”, el cual nos indica el tiempo mínimo necesario para realizar el proyecto. • Regla: Cuando dos o mas actividades entran en un nodo, el tiempo mas temprano en el que puede conseguirse ese suceso es la mas larga de las duraciones en los caminos que entran en el nodo, esto es consecuencia de la regla de redes que establece que el trabajo que sigue a un suceso no puede comenzar hasta que se haya completado todo el trabajo que da origen al suceso. El camino más largo es el que determina la ocurrencia más temprana de un evento.

27. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos: • Cálculos hacia atrás: • una vez se calculan las ocurrencias tempranas hasta llegar al suceso “fin de proyecto”, esto nos indica el tiempo mínimo necesario para realizar el proyecto y por tanto la duración que tendrá. • Para calcular el tiempo más tardío o “last”, se parte del suceso “fin de proyecto”, al que se asocia el tiempo más tardío igual al tiempo más temprano previamente calculado.

28. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos: • Se calculan acto seguido los tiempos “last” correspondientes a los sucesos en que comienzan actividades que terminan en el suceso “fin de proyecto”, restando para ello, del tiempo “last” del suceso final, la duración de dichas actividades; cuando en un suceso dan comienzo varias actividades, para fijar su tiempo “last” se toma la menor de dichas diferencias. • El tiempo “last” de un suceso i se calcula hallando las diferencias de los tiempos last en que terminan las actividades que nacen en el suceso i y las duraciones de las respectivas actividades, tomando la menor de estas diferencias, hasta llegar al suceso inicial.

29. Método PERT • Cálculo de Holguras: • Hay holguras de las actividades y holguras de los eventos o sucesos. Las actividades presentan varias holguras, las mas usadas son: • Holgura Total de una actividad, que es l tiempo que se puede retrasarse dicha actividad, sin afectar a la fecha final o terminación del proyecto, aunque si afecta a las actividades siguientes. • Holgura Libre de una actividad, que es el tiempo que se puede retrasar dicha actividad, sin afectar a la fecha final del proyecto, pero fundamentalmente sin afectar el inicio temprano de las actividades siguientes.

30. Método PERT • Metodología: • Cálculo de holguras de actividades: • La holgura total de cada actividad se calcula restando del tiempo “last” correspondiente al suceso final, la suma del tiempo “early” correspondiente al suceso inicial y la duración de la actividad. • La holgura libre de cada actividad se calcula restando del tiempo “early” correspondiente al suceso final, la suma del tiempo “early” correspondiente al suceso inicial y la duración de la actividad

31. Método PERT • Metodología: • Camino crítico: • El camino crítico es el que determina la duración del proyecto y esta formado por el conjunto de actividades que determinan el camino más largo. Estas actividades tienen como característica que su holgura total es “cero” y los eventos o sucesos que las relacionan también tiene una holgura total “cero”. Se les llamaran actividades y sucesos críticos. • En el caso PERT la suma de los tiempos de las actividades críticas representa la duración del proyecto y dado que los tiempos de estas actividades son medias la suma de ellas también se le debe considerar una media o tiempo estimado.

32. Método PERT • Camino crítico: • Como el tiempo que se haya es una media, este deberá tener una varianza y una desviación estándar. La varianza de la ruta critica estará dada por la suma de las varianzas de las actividades críticas, y la desviación estándar por la raíz cuadrada de la varianza de la ruta crítica. • Y dado que la ruta critica tiene una media y una varianza deberá poderse asociar a una distribución de probabilidad y basándonos en el teorema central del límite de probabilidades podemos afirmar que cualquier proyecto PERT presentara un comportamiento normal, lo que nos permite asociar el proyecto a la distribución normal y con base en ella poder hacer estimaciones de riesgo

33. Método PERT • Camino crítico: • Dado que es una una distribución normal entonces: • Y con base en esto se podrán calcular todo los niveles de riesgo asociados al proyecto, solo para este curso se le llamará  (lambda) • Importante: PUEDEN EXISTIR UNO O MAS CAMINOS CRITICOS

34. Método PERT • Metodología: • Ejemplo:

35. Método PERT • Metodología: • Ejemplo:

36. Método PERT • Metodología: • Ejemplo:

37. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos por la matriz de Zaderenko: • Por medio de la matriz podemos calcular los tiempos más temprano y más tardío de un proyecto, sin necesidad del diseño. • Para aplicar este procedimiento se construye una matriz cuadrada con tantas filas/columnas como vértices tenga el grafo; los elementos de la matriz tomarán como valor numérico las duraciones de las actividades que corresponden al suceso inicial indicado por el número de fila y suceso final indicado por el número de columna correspondiente a dicho elemento. • A la matriz así construida, se yuxtapone una fila en la parte inferior, donde se anotarán los tiempos “last” de cada suceso identificado por la columna correspondiente, y una columna en la parte izquierda donde se registran los tiempos “early” correspondiente a los sucesos indicados por las respectivas filas.

38. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos por la matriz de Zaderenko: • Se comienza por el cálculo de los tiempos “early”, anotando 0 en la posición correspondiente al suceso inicial. • Para calcular el tiempo “early” correspondiente a un suceso i cualquiera, se suma la columna i y la columna donde se anotan los tiempos “early”, elemento a elemento, y se toma la mayor de las sumas obtenidas, considerando solo aquellas que corresponden a valores existentes en la columna i, anotándose en la posición correspondiente de la columna adicional (fila i). • Para calcular los tiempos “last”, se comienza por asignar al suceso final un tiempo “last” igual al tiempo “early” previamente calculado. • El tiempo “last” correspondiente a un suceso j se calcula hallando la diferencia, elemento a elemento, entre la fila donde se anotan los tiempos “last” y la fila j, úni-camente para aquellos elementos que tienen valor numé-rico definido; el tiempo “last” viene dado por la menor de dichas diferencias, y se anota en el elemento de la fila adicional, en la posición correspondiente al vértice j.

39. Método PERT • Metodología: • Cálculo de tiempos por la matriz de Zaderenko:

40. Método PERT • Ventajas: • Es un método sencillo, idóneo para proyectos complejos. • Proporciona varios planes de ejecución. • Desventajas: • Solo admite relaciones del tipo final/comienzo, con demora nula. • Es conveniente utilizar un método de represen-tación gráfica como complemento. Ver Ejercicio