Download
1 / 17
170 likes | 367 Views
Profesor coordonator Sorina Cretu. SIRURI RECURENTE. Grupa 3. Cum pot utiliza matematica pentru a descoperi noi proprietati si relatii ?. Scopul proiectului. observa rea legatur ii inductiv e dintre siruri si numerele reale ca baza de plecare pentru a identifica noi proprietati .
E N D
ProfesorcoordonatorSorinaCretu SIRURI RECURENTE Grupa 3
Cum pot utilizamatematicapentru a descoperinoiproprietatisirelatii ?
Scopulproiectului • observarea legaturii inductivedintre siruri si numerele reale ca baza de plecare pentru aidentifica noi proprietati. • descoperireamoduluiin care pot fiinterpretatesirezolvatesituatiirealesirezolvarea de situatiiinduse. • dezvoltareacompetentelorde autonomiesi de comunicareeficienta in grupsi individual- competentenecesarepentrulumeareala.
Sirurirecurente= functii in care un termen din sir se exprima cu ajutorulcelui anterior, incepand de la al doileatermen la care intervincantitatiegalenumiteratii
Am formulat termenul general si am folosit procedeul inductiei matematice pentru sirurile:
Am identificatdescrierile din dreaptasi le-am atribuitformulele din stanga.
Ne-am interesatsi am aflatcasunetelechitarei se obtinprincorzilemasurate de noiastfel: daca o coarda de lungime L emite un sunet, de exemplu “mi”, atunci o coarda cu L/2 emitesunetul cu o octavamaisus. Notele mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si, do, do#, re, re#, mi, se obtin cu corzi de lungimiL0, L1,....,L12. • Asa ne-am convinscaL0, L1,....,L12formeaza o progresiegeometrica. • OareRadustieacestlucru?
Proprietati privind coardele vibrante si definitia gamei temperate • In antichitate Ptolemeu, cunoscut pentru sistemul cosmologic propus, a ramas in istorie pentru tratatul sau “Armoniile”, unde prezinta sistemul pitagorician, potrivit caruia notele trebuie sa fie reprezentate ca rapoarte de numere intregi. Principalele rapoarte sunt: patrimea – quarta asociata cu 3/4 si quinta asociata cu raportul 2/3 . • Calculand raportul dintre quinta si quarta am regasit valoarea 0,88 • Am demonstrat ca distantele d1, d2,.....d12, din desenul anterior, formeaza termeni egali ai unei progresii geometrice cu aceeasi ratie. Problema preluata din revista Pour la science, nr 151, PP108-114, mai 1990, articolul Calculs bien temperes de Ian Stewart
Sirullui Fibonacci este un sir de numereizvorat din ”celebraproblema a iepurilor de casa”, in jurulcaruia s-a dezvoltat o intreagateoriesi care ramaneunul din celemaiatractivecapitole ale matematiciielementare . In problema se ceresă se afle: “Cateperechi de iepuri se nascîntr-un an dintr-o singurapereche de iepuri ?” Pentru a aflacâteperechi de iepuri se nascîntr-un an, cineva a asezat o pereche de iepuriîntr-un locîngraditcu un zid, stiind ca, dupa o luna, o pereche de iepuriaducepelume o altapereche, iariepuriiîncepsădeanaştere la pui la varsta de o luna. Raspunsul problemei este 1; 1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5;.... Lucrarea “Liber abacci”, scrisa de renumitulmatematician Leonardo din Pisa (sec. XIII), cunoscutprinporecla Fibonacci (fiulluiBonacci) si care cuprindeaproapetoatecunostintele de aritmeticasi algebra din aceaperioada a evuluimediu, esteilustrataprintr-un mare numar de probleme, intre care şiceaanalizată.
Este o progresiearitmeticasaugeometrica? • Am demonstratca= = 1,61803398874 Numarul de aur =Ø-1=0,61
Spiralaeste o fascinantafigurageometrica. Cuvantulprovine din greacaavandcaradacina “spar” cesemnificaraspandire, extensieceeace ne duce cu gandul la ideea de a teextindeprincunoastere, de a disimina Spiralaeste o curbaplanacedescriemiscarea de revolutie in jurulunuipunct fix sau pol, micsorandu-se din ce in cemaimult. Caracteristicaprincipala a spiraleiestefaptulcaraza de curburavariaza in timpulrotatiei tipuri de spirala Spiralalogaritmicasauequiunghiulara= se caracterizeazaprinfatulcavectorulrazaestetaiat de spirala sub acelasiunghi, numitunghi polar. Razelespiraleicresc in progresiegeometrica, iarlogaritmulrazei in progresiearitmetica Spiralalituus = are forma asemanatoarevarfului de capitoliu a colaneiionica, precumsi a nebuloaselorastronomice SpiralaluiArhimede= fiecarerotatieindeparteazacurba de centru, in mod uniform, iarspatiudintredouarotatii consecutive este constant NUMARUL DE AUR PREZENT IN SPIRALA =
Natura ne ajuta sadescoperimproprietatinoi ! • in gheataformata din apacecontinebule de aerregasimspirala; • parafinacristalizeaza in forma de spirala • SpiralaluiArhimede • Spiralalituus • Spiralalogaritmica • o regasim in varful de capitoliu al coloaneiionice • forma nebuloaselorastonomice • apare in organizareaconului de pin • ananas • floareasoarelui, undesemintelesuntdispuseastfelincatdeterminaspirale in sensuriopuse • cochiliamelcului
Am inteles ca diverse plante, flori si fenomenele din natura nu se dezvolta intamplator, ci dupa anumite legi ce pot fi exprimate matematic. Expresia matematica devine un sir recurent iar acest sir are limita finita sau infinita. Valoarea acestei limite a fost o preocupare pentru oamenii de stiinta. AM RASPUNS LA INTREBARE ! Ca importanta practica am vazut ca prin simulari, optimizari si modelari se pot face previziuni privind dezvoltarea bacteriilor, se pot imbunatatii tehnicile de chirurgie estetica folosind proportia de aur. Acest instrument matematicoferit de siruri se aplica in probleme concrete, din viata, din arta, arhitectura, pictura.
