Șiruri recurente

1. Șiruri recurente Capitol 3

2. Definiția recurenței • Un șir este o infinitate de numere, distincte sau nu, scrise unul după altul. • Relația de recurență a șiruluiesterelația ce se stabilește între doi sau mai mulți termeni consecutivi ai unui șir. • Relația de recurență poate fi definită: • sub formă explicită: • de ordinul 1: an+1=f(an), • de ordinul 2 an+2=f(an+1,an) • sub formă implicită: • de ordinul 1 f(an+1,an)=0, • de ordinul 2 f(an+2, an+1, an)=0

3. Relația de recurență de ordin 1 • Progresia aritmetică se definește prin: • Primul termen x1=p • Formula de calcul xn+1=xn + rație Exemplu: 2, 4, 6, 8, 10, .......... • Progresia geometrică se definește prin: • Primul termen x1=p • Formula de calcul xn+1=xn * rație Exemplu: 2, 4, 8, 16, 32.....

4. Date cunoscute: primul termen și rația Citeste n Citeste x, r ┌Pentru d2 to n executa │xx+r │ scrie x └■ Date cunoscute: primii doi termeni Citeste n Citeste x, y ry-x ┌Pentru d2 to n executa │xx+r │ scrie x └■ Relația de recurență de ordin 1 Să se genereze primii n termeni ai unei progresii aritmetice.

5. Fibonacci – date din istorie • Fibonacci (1170 - 1240) este considerat ca unul dintre cei mai mari matematicieni europeni ai Evului Mediu. • Este unul dintre primii care au introdus cifrele arabe în Europa, cifre pe care le folosim și în zilele noastre : 0, 1, 2, 3, ... , 9.  • S-a nascut în Pisa, oraș italian faimos pentru turnul său înclinat, care parcă stă să cadă. Datorită tatălui său care lucrea ca ofițer vamal în orașul Bougie, Fibonacci a crescut în mijlocul civilizației nord-africane, făcând însă multe călătorii pe coastele Mediteranei. • A cunoscut astfel mulți negustori arabi și indieni și a deprins știința lor aritmeticăși scrierea cifrelor arabe.

6. Fibonacci și natura • Numere, precum cele analizate de Fibonacci, sunt des întâlnite în natură • Urmând secvența lui Fibonacci, frunzele unor plante pot fi dispuse astfel încât să ocupe un cât mai mic spațiu și să obținăcât mai mult soare.  • Plante au aranjamentul frunzelor dispus într-o secvența Fibonacci în jurul tulpinei, asemeni și floarea soarelui

7. Fibonacci și natura • Anumite conuri de pin, inelele de pe trunchiurile palmierilor, cochilia unor melci, respectă o dispunere dată de numerele lui Fibonacci • Plantele nu cunosc numerele lui Fibonacci, dar se dezvoltăîn cel mai eficient mod • Motivul este realizarea unui optim, a unei eficiente maxime.

8. Șirul lui Fibonacci • Șirul lui Fibonacci este o secvență de numere în care fiecare număr se obține din suma precedentelor două din șir. • Se definește prin: • Primii 2 termeni x1=0 și x2=1 • Formula de calcul xn=xn-1+xn-2 • Exemplu: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,.... • Această secvențăde numere a fascinat de-a lungul istoriei mulți oameni de știință, matematicieni, fizicieni, biologi

9. Aplicație • Generați și afișați primii n termeni ai Șirului lui Fibonacci • Algoritm • Citeste n • a11, a21 • Scrie a1, a2 • ┌Pentru i3 to n execută • │ aa1+a • │ scrie a • │ a1a2 • │ a2a • └■ • Se afișează primii doi termeni ai șirului • Se generează apoi fiecare termen nou a șirului, ca sumă a celor doi termeni anteriori • Se reactualizează valorile penultimilor doi termeni din șir