Økonometri 1

1. Økonometri 1 Heteroskedasticitet 27. oktober 2006 Økonometri 1: F12

2. Dagens program: Heteroskedasticitet (Wooldridge kap. 8.3-4) • Sidste gang: • Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS • Korrektion af variansen af OLS estimatoren • Generelle hypotesetest under heteroskedasticitet • I dag: • Test for heteroskedasticitet • Grafiske test • Formelle test: Breusch-Pagan test, White test • Efficiente estimatorer, når der er heteroskedasticitet: Vægtning af observationerne (tilfældet med kendte vægte) Økonometri 1: F12

3. Konsekvenser af heteroskedasticitet • Ved heteroskedasticitet gælder (givet MLR.1-4): • OLS estimaterne er middelrette og konsistente • Det sædvanlige estimat af OLS variansen er ikke middelret eller konsistent • Gyldige test baseret på OLS estimatoren ved brug af robuste variansestimater • Men: Uheldige konsekvenser af heteroskedasticitet, som ikke bliver afhjulpet ved robust estimation af variansen: • OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians • OLS er ikke længere asymptotisk efficient Økonometri 1: F12

4. Hvorfor giver heteroskedasticitet inefficiente estimatorer? • Intuitivt: OLS giver samme vægt til alle observationer/-residualer (minimerer den simple sum af de kvadrerede residualer) • Ved heteroskedasticitet i fejlleddet: Observationerne/ fejlleddene er trukket fra fordelinger med forskellig varians. • En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet for hver enhed. Økonometri 1: F12

5. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Heteroskedasticitet af en kendt form (op til en multiplikativ faktor) • antages at være en kendt funktion af de forklarende variable • for alle mulige værdier af x’erne (varianser er altid positive) • er en ukendt parameter • Et specialtilfælde af den generelle form af heterosk. Økonometri 1: F12

6. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Eksempel: Opsparing- indkomst • Model: • I dette tilfælde er h(x)=h(inc)=inc (variansen er positiv, hvis indkomsten er positiv for alle i): Variansen er proportional med indkomsten. • Standard afvigelsen på u (betinget på indkomsten) er • Hvordan kan informationen om (##) bruges til at estimere en udgave af opsparings-indkomstrelationen, som er uden heteroskedasticitet? Økonometri 1: F12

7. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Eksempel: opsparing-indkomst • Transformerer modellen: • To forklarende variabler, intet konstantled: Samme parametre • Fejlled med konstant varians: Økonometri 1: F12

8. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Ved at bruge information om formen for heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heteroskedasticitet. • Generelt: Antag følgende multiple regressionsmodel (som opfylder antagelserne MLR.1- MLR.4) • Givet at h er en kendt funktion kan dens værdi beregnes for hver observation: Økonometri 1: F12

9. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Hvis man nu konstruerer et nyt fejlled som vil den betingede middelværdi stadig være nul: og den betingede varians vil være konstant: Økonometri 1: F12

10. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Regressionsmodel med dette fejlled ved at dividere igennem med • Den transformerede model er • Bemærk at modellen generelt ikke længere indeholder noget konstantled • De nye forklarende variabler har sjældent en meningsfuld fortolkning • Parametrene er de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den. Men kan estimeres efficient fra den transformerede model. Økonometri 1: F12

11. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? • Den transformerede model opfylder nu antagelsen MLR.5 (homoskedasticitet) ifølge (§§). • Antagelsen MLR.1 er også opfyldt, da modellen er lineær i parametrene. • Antagelsen MLR.2 er også stadig opfyldt (hvis stikprøven er udtaget tilfældigt til den oprindelige model, gælder det også for den transformerede model). • Antagelsen MLR.3 er stadig opfyldt. • Antagelsen MLR.4 er også stadig opfyldt . (§) • (Mindre vigtigt: Hvis antagelsen MLR.6 er opfyldt for den oprindelige model, gælder antagelsen stadig) Økonometri 1: F12

12. Weighted Least Squares (WLS) • I den transformerede model gælder MLR.1-MLR.5 • OLS estimatoren i den transformerede model vil være BLUE • F- og t-test er gyldige for den transformerede model • R2 er sjældent meningsfuld (ny venstresidesvariabel!) • Estimatoren som korrigerer for heteroskedasticitet kaldes for Weigted Least squares (WLS) • Navnet hentyder til at estimaterne opnås ved at minimere de vægtede kvadrerede residualer. Økonometri 1: F12

13. Weighted Least Squares (WLS) • WLS er et eksempel på Generalized Least Squares (GLS) • Estimaterne vil generelt være forskellige fra OLS i den oprindelige model • GLS estimatoren er mere efficient end OLS • Parametrene skal stadig fortolkes som i den oprindelige model Økonometri 1: F12

14. Weighted Least Squares (WLS) • Eksempel: • Afhængige variabel er et gennemsnit (hvor de grupper af enheder der tages gennemsnit over, er af forskellig størrelse) • I disse modeller er heterosk. ofte relateret til gruppens størrelse • I dette tilfælde skal vægtningen være Økonometri 1: F12

15. NB’er • En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet. • Ved at bruge information om formen for heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heteroskedasticitet. • Den transformerede ligning kan estimeres efficient. • Parametrene er de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den. Økonometri 1: F12

16. Næste gang: • Mandag den 30. oktober • WLS når variansfunktionen er ukendt: FGLS • Mere om den lineære sandsynlighedsmodel Økonometri 1: F12