Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 27 oktober 2009

Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 27 oktober 2009

Traagheid van gasdruk • SRT: hoe hoger de gasdruk, des temoeilijker is het om het gas teversnellen (traagheidneemt toe) • Oefenkracht F uit, versnel tot snelheidv << c Volume V Dichtheidr Druk P • SRT: lorentzcontractiemaakt de dooskleiner v • Energienodigom gas teversnellen extra traagheid van gasdruk

Energie – impuls tensor: `stof’ • Energienodigom gas teversnellen • Afhankelijk van referentiesysteem • 0 – component van vierimpuls • Beschouw `stof’ (engels: dust) • Verzamelingdeeltjes in rust ten opzichte van elkaar • Constant viersnelheidsveld Flux viervector • Rustsysteem • n en m zijn 0-componenten van viervectoren deeltjesdichtheid in rustsysteem massadichtheid in rustsysteem energiedichtheid in rustsysteem • Bewegendsysteem • N0 is deeltjesdichtheid • Nideeltjesflux in xi – richting is de component van de tensor Er is geengasdruk!

Energie – impuls tensor: perfectevloeistof diagonaal, met • Perfectevloeistof (in rustsysteem) • Energiedichtheid • IsotropedrukP • In rustsysteem • In tensorvorm (geldig in elkesysteem) We hadden Probeer We vinden Verdergeldt

Kromlijnigecoördinaten t f(t2) Afgeleidescalairveld 2 f(t1) 1 raakvector (tangent vector) De waarde van de afgeleide van f in de richting • Afgeleide van scalairveldlangsraakvector

Voorbeeld Transformatie Plaatsvector Basisvectoren Metriekbekend Natuurlijke basis Nietorthonormaal Inverse transformatie Duale basis

Tensorcalculus a is 0 - 3 stel b is 0 Afgeleide van een vector Notatie Covarianteafgeleide met componenten

Voorbeeld: poolcoördinaten Bereken Berekenchristoffelsymbolen Divergentie en Laplace operatoren

Christoffelsymbolen en metriek Covarianteafgeleiden In cartesischecoördinaten en euclidischeruimte Dezetensorvergelijkinggeldt in allecoördinaten Neemcovarianteafgeleide van Direct gevolg van in cartesischecoördinaten! De componenten van dezelfde tensor voorwillekeurigecoördinatenzijn Opgave: bewijsdatgeldt Connectiecoëfficiëntenbevattenafgeleidennaar de metriek

Lokaallorentzframe – LLF We bespreken in het volgende de gekromderuimtetijd Op elkegebeurtenisP in ruimtetijdkunnen we een LLF kiezen: - we zijnvrij-vallend (geeneffecten van gravitatievolgensequivalentieprincipe) - in LLF geldt de minkowskimetriek Lokaaleuclidisch LLF in gekromderuimtetijd Op elk punt is raakruimtevlak

Kromming en parallel transport Parallellelijnensnijden in eengekromderuimte (Euclidesvijfdepostulaatgeldtniet) Parallel transporteren van een vector - projecteerraakvectornaelkestap op het lokaleraakvlak - rotatiehangtaf van kromming en grootte van de lus Wiskundigebeschrijving - interval PQ is curve met parameter - vectorveldbestaat op deze curve - raakvectoraan de curve is - we eisendat in een LLF de componenten van constant moetenzijn Parallel transporteren

Geodeten Parallel transporteren Geodeet: lijn, die zorechtalsmogelijk is Componenten van de viersnelheid Geodetenvergelijking Viergewonetweede-ordedifferentiaalvergelijkingenvoor de coördinaten en Gekoppeld via de connectiecoëfficiënten Twee randvoorwaarden Ruimtetijdbepaalt de beweging van materie

Riemanntensor Beschouwvectorvelden en Transporteerlangs Vector verandert met Transporteerlangs Componenten van de commutator Commutator is eenmaatvoor het nietsluiten Krommingstensor van Riemann meet het nietsluiten van dubbelegradiënten Beschouwvectorveld

Riemanntensor: eigenschappen Metrische tensor bevat de informatie over intrinsiekekromming EigenschappenRiemanntensor Antisymmetrie Symmetrie Biancchiidentiteiten Onafhankelijkecomponenten: 20 Krommingstensor van Ricci Riccikromming (scalar) Huiswerkopgaveomditallestedemonstreren Beschrijving van het oppervlak van eenbol

Getijdenkrachten Laateentestdeeltjevallen. Waarnemer in LLF: geenteken van gravitatie Laat twee testdeeltjesvallen. Waarnemer in LLF: differentiëlegravitatieversnelling: getijdenkracht Volgens Newton Definieer Gravitationelegetijdentensor

Einsteinvergelijkingen t Twee testdeeltjeszijninitieel parallel Door kromming van ruimtetijdbewegenzenaarelkaar toe Initieel in rust in LLF Op geldt P Q Tweede-ordeafgeleideongelijkaannulvanwegekromming x Ergeldt Volgtuit Beschrijftrelatieveversnelling Newton

Einsteinvergelijkingen Wellichtverwachten we datgeldt Echtergeentensorvergelijking (geldig in LLF) asym. R Wellichtdienttegelden Einstein 1912 – fout tensor scalar Stelsel van 10 p.d.v. voor 10 componenten van Probleem: Vrijekeuze: Einsteintensor Biancchiidentiteiten Einsteinvergelijkingen Energie – impuls tensor Materieverteltruimtetijd hoe tekrommen

Zwakkegravitatievelden ART gaat over in SRT voor LLF Zondergravitatiegeldt de minkowskimetriek Voorzwakkegravitatieveldengeldt Neemaandatmetriekstationair is Neemaan het deeltjelangzaambeweegt Wereldlijn van vrij-vallenddeeltje Christoffelsymbool Metriekstationair Newtoniaanselimiet van ART Newton Aarde Zon Witte dwerg

Kromming van de tijd Ruimtetijdkrommingzorgtvoorkromming van de tijd Klok in rust Tijdintervaltussen twee tikken Beschrijftbanen van deeltjes in ruimtetijd Ruimtetijdinterval Baan van een bal en eenkogel Ruimtelijkekromming is zeerverschillend

Kromming in ruimtetijd In werkelijkheidzijn de banen (geodeten) volledigrecht, en is ruimtetijdgekromd

Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 27 oktober 2009