Lineární zobrazení

1. Lineární zobrazení Definice 46. Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad stejným tělesem T. Nechť A je zobrazení A : P -> Q. Říkáme, že A je lineární, právě když platí Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L(P,Q). Na L(P,Q) definujeme operace 1) součet zobrazení A,B z L(P,Q) definujeme jako 2) násobení zobrazení A z L(P,Q) číslem z T definujeme jako Pozn.: Množina L(P,Q) s výše uvedenými operacemi je vektorový prostor nad tělesem T s dimenzí dim L(P,Q) = dim Px dim Q (jsou-li obě dimenze konečné). Dokáže toto tvrzení někdo  ? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

2. Lineární zobrazení Definice 47. Věta 9. Nechť V je vektorový prostor nad T. Pak speciálně: • Lineární zobrazení V do Vnazýváme lineární operátor na V. Množinu • všech lineárních operátorů na V značíme krátce L(V). • Lineární zobrazení V do tělesa Tnazýváme lineární funkcionál na V. • Množinu všech lineárních funkcionálů na V značíme krátce V# a • nazýváme ji duální prostor k V. Pozn. : prosté zobrazení P na Q nazýváme izomorfní. prosté zobrazení V na V nazýváme regulární operátor. Základní věta o lineárních funkcionálech : Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze V. Potom soubor kde xi# jsou souřadnicové funkcionály, je bází duálního prostoru V# (duální báze k X). Duální prostor má tedy stejnou dimenzi. Dále pro každý funkcionál φ z V# platí, že souřadnice φ v bázi X# získáme jako

3. Lineární zobrazení Příklad Příklad Příklad Příklad Zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 Zobrazení z R3 do tělesa R Zobrazení z P2 do P2 Zobrazení z R3 do prostoru R3

4. Lineární zobrazení Definice 48. θ θ Nechť A je zobrazení z L(P,Q). Číslo dim A(P), tj dimenzi oboru hodnot, nazýváme hodností zobrazení a značíme h(A). Vzor jednoprvkové množiny {θ} nazýváme jádro zobrazení a značíme ker A. ker A Pozn. : vždy buď {θ}, nebo nekonečná množina. Množina ker A je podprostorem P. Číslo dim ker A(P), tj dimenzi jádra, nazýváme defektem zobrazení a značíme d(A). Pozn. : Lineární zobrazení převede podprostor (lineární obal nějakého souboru z P) opět na podprostor (lineární obal nějakého souboru z Q), tj. : Pozn. : Prosté zobrazení zachovává lineární závislost a nezávislost, tj. je-li vzor souboru LN, pak i jeho obraz je LN a obráceně.

5. Lineární zobrazení Příklad Určete jádro zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 Nejprve si uvědomme, co je nulový vektor v P1 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t . Určíme všechny vektory z R3, které se na něj zobrazí: To nás dovede na soustavu

6. Lineární zobrazení Příklad Určete jádro zobrazení z R3 do tělesa R Musí platit což nás vede na jednoduchou soustavu a řešením je tedy což lze ekvivalentně zapsat pomocí lineárního obalu dvou LN řešení:

7. Lineární zobrazení Příklad Určete jádro zobrazení z P2 do P2 Nulový vektor v P2 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t +0t2 . Určíme všechny vektory z P2, které se na něj zobrazí: kde se α0 vůbec nevyskytuje a může To nás dovede na soustavu tedy být libovolné. Jádro zobrazení je proto

8. Lineární zobrazení Příklad Nalezněte jádro zobrazení z R3 do R3 Řešíme rovnici tj. soustavu zjevně jen x = (0, 0, 0), tj. ker A = {θ}.

9. Lineární zobrazení Věta 10. Nechť P, Q jsou vektorové prostory nad T. Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze P, Y = (y1, y2, … , yn ) je libovolný soubor vektorů z Q. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení A z L(P,Q) takové, že Jinými slovy : lineární zobrazení lze určit tak, že předepíšeme obrazy vektorů z jedné libovolně zvolené báze P. Zobrazení má pak tvar Vektory z Y Souřadnice vektoru w v bázi X Pozn. : Toto je běžný způsob zadávání lineárního zobrazení – předepíšeme, na co se zobrazí soubory z nějaké báze (nejčastěji standardní, je-li zavedena).

10. Lineární zobrazení Příklad Příklad Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto: Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:

11. Lineární zobrazení Příklad Příklad Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto: Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:

12. Lineární zobrazení Příklad Příklad Zkonstruujte předpis operátoru na R3, víte-li, že na standardní bázi působí takto: Zkonstruujte předpis zobrazení R3 do P1, víte-li, že na standardní bázi působí takto:

13. Izomorfní vektorové prostory Definice 49. Nechť PaQ jsou vektorové prostory nad T. Existuje-li izomorfní zobrazení (tj. prosté a na) A : P -> Q, říkáme, že P a Q jsou izomorfní a značíme Pozn. : existuje-li mezi prostory zobrazení prosté a na, pak lze vektory obou prostorů přiřadit „jedna k jedné“ a prostory tudíž mají mnoho shodných vlastností. Zejména platí, že a dále, že každý vektorový prostor o konečné dimenzi n se chová stejně, jako prostor n-tic Tn. To zajišťuje izomorfní zobrazení tj. zobrazení, které převede libovolný vektor na n-tici jeho souřadnic v nějaké bází X = ( x1, x2, … , xn ). Tomuto zobrazení se někdy říká souřadnicový izomorfizmus.

14. Matice lineárního zobrazení Definice 50. bázi prostoru Pm , dimPm = m Označme si : bázi prostoru Qn , dimQn = n bázi prostoru Vs , dimVs = s Nechť A je zobrazení z L(P,Q).Matici XAY z prostoru Tmn, jejíž prvky budeme značit XAijY, definovanou nazýváme maticí zobrazení A v bázích X, Y. Speciálně pro zápis matice operátoru v té samé bázi značíme matici jednodušeji jako XA Matici konstruujeme následovně. Necháme zobrazení působit na první bazický vektor z prostoru P. Výsledkem je nějaký vektor z prostoru Q. Najdeme jeho souřadnice v bázi Y a zapíšeme je jako první sloupec hledané matice. Pak vezmeme další bazický vektor P, postup zopakujeme, výsledek zapíšeme do druhého sloupce a tak dále. Pozn. : odsud plyne, že dim L(Pm , Qn) = mxn.

15. Matice lineárního zobrazení Věta 11. Věta 12. Nechť A je zobrazení z L(Qn, Vs),B je zobrazení z L(Pm, Qn). Pro matici složeného zobrazení platí tj. že skládání zobrazení je ekvivalentní vynásobení jejich matic, pokud si v „prostředním přestupném“ prostoru zvolíme společnou bázi: Pm -> Qn -> Vs báze prostoru Qn Nechť A je zobrazení z L(Pm, Qn). Potom platí, že obraz vektoru z z Pm lze získat vynásobením sloupce jeho souřadnic ve zvolené bázi X a matice zobrazení. Výsledek je sloupec souřadnic obrazu ve zvolené bázi Y. Matice zobrazení A v bázích X, Y XAY = x Souřadnice Az v Y Souřadnice z v X

16. Lineární zobrazení Příklad Nalezněte matici zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 ve standardních bázích Takto působí A na standardní bázi R3 Jelikož standardní báze P1 jsou polynomy 1 a t, budou souřadnice p1, p2 a p3 v této bázi Pozn. : zkuste zobrazením „prohnat“ vektory (1,-1,2) a (3,2,1) nejprve normálně a pak přes matici. Výsledky srovnejte. Utvořte matice od dalších zobrazení a ověřte na bazických vektorech. Tato čísla napíšeme do sloupců a získáme matici

17. Souvislost se soustavami rovnic Vektorovou lineární rovnicí nazýváme rovnost kde A je zobrazení z L( P, Q) , x vektor z P a b vektor z Q. Rovnice má zjevně řešení pouze v tom případě, že b leží v oboru hodnot A . Pokud je b nulový vektor, nazýváme rovnici homogenní, je-li nenulový, nazýváme rovnici nehomogenní. Množinou všech homogenních řešení je množinu nehomogenních řešení značíme Homogenní lineární rovnice má vždy alespoň jedno řešení – nulový vektor. Pokud A je prosté, pak homogenní i nehomogenní rovnice má právě jedno řešení. Zapíšeme-li zobrazení maticí a vektor souřadnicemi, pak je vektorová rovnice převedena na soustavu číselných lineárních rovnic. Pozn. : vlastnosti matic a zobrazení jsou svázány, například hodnost zobrazení můžeme definovat jednoduše jako hodnost jeho matice (která zůstává stejná nehledě na volbu bází).

18. Souvislost se soustavami rovnic Věta 12. ker A řešení homo-genní s. všechna řešení partikulární řešení w Nechť A je zobrazení z L(P, Q),b je vektor z Q. Nechť existuje vektor w z P tak, že splňuje rovnici Aw = b. Potom platí, že množina všech řešení rovnice Ax = b se dá zapsat jako Zde vidíme souvislost s Frobeniovou větou. Množina ker A není nic jiného, než množina všech řešení homogenní soustavy Ax = θ, tj. řešení homogenní soustavy číselných lineárních rovnic tvořené maticí zobrazení. Vektor w je pak partikulární řešení negomogenní soustavy. Hledání řešení vektorové lineární rovnice (v prostoru konečné dimenze ovšem) se tak dá vždy převést na hledání řešení soustavy číselných lineárních rovnic.

19. Inverzní operátor a matice Definice 51. Věta 13. Definice 52. Věta 14. Zobrazení E : V -> V definované vztahem nazýváme identita (identické zobrazení). Pro libovolný operátor z L(V) platí AE = EA = A. Pro regulární A z L(V) existuje operátor A-1 tak, že A-1A = AA-1 = E. Pozn.: pouhá prostota operátoru takovou existenci nezajišťuje (V může mít i nekonečnou dimenzi). Dále platí (A-1)-1 = A. Nechť A a B jsou regulární operátory L(V). Potom AB je také regulární a platí (AB)-1 = B-1A-1. Matici A z Tnn nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Čtvercovou matici řádu n nazveme regulární, právě když její hodnost h(A)=n. Pokud h(A)<n, nazýváme ji singulární. Matici E z Tnn, kde nazýváme jednotkovou. Pozn.: pro čtvercové matice libovolného řádu platí A.E = E.A = A. Operátor je regulární právě tehdy, je-li regulární jeho matice (na Vn). Nechť A je operátor z L(Vn), X je báze Vn. Potom platí Tj. matice identity v libovolné bázi je jednotková matice.

20. Inverzní operátor a matice Věta 15. Věta 16. Věta 17. Buď A regulární matice z Tnn. Potom existuje právě jedna regulární matice B z Tnn tak, že platí A.B = B.A = E. Tuto matici nazýváme inverzní k A a značíme ji A-1. Buď A regulární operátor z L(V), XA jeho matice v bázi X. Potom platí, že matice inverzního operátoru je inverzní matice operátoru původního, tj. : Neplatí to ale pro matici v různých bázích. Gaussova metoda k nalezení inverzní matice : Každou regulární matici A z Tnn lze ekvivalentními řádkovými úpravami převést na jednotkovou. Převedeme-li ( A | E ) ekvivalentními řádkovými úpravami na tvar ( E | B ), pak matice B je inverzní k A.

21. Vlastní čísla a vektory Definice 53. Nechť V je vektorový prostor nad T, nechť A je operátor z L(V), nechť λ je číslo z tělesa T. Říkáme, že λ je vlastním nebo charakteristickým číslem operátoru A, právě když existuje vektor x ≠ θ takový, že tj. že operátor A protáhne (zkrátí) vektor x na λ-násobek. Vektor x pak nazýváme vlastním nebo charakteristickým vektorem operátoru A. Množinu všech vlastních čísel operátoru nazýváme spektrum a značíme σ(A). Pozn. : Pro vlastní číslo λ a vlastní vektor x operátoru A platí

22. Vlastní čísla a vektory Věta 18. Nechť a je operátor z L(V),λ je vlastní číslo A. Vlastních vektorů příslušejících k vlastnímu číslu λ je nekonečně mnoho a po přidání nulového vektoru tvoří podprostor prostoru V (nějaký lineární obal). Nechť λ1, λ2, …, λkjsou navzájem různá vlastní čísla operátoru A, nechť x1, x2, …, xk jsou k nim příslušné vlastní vektory. Potom soubor vektorů ( x1, x2, …, xk ) je lineárně nezávislý. Důkaz první části : Buďte x1,x2 navzájem různé vlastní vektory příslušné k vlastní-mu číslu λ. Potom platí, že tj., vektor αx1 je rovněž vlastní vektor příslušný k λ, a zároveň tj., vektor x1 + x2je rovněž vlastní vektor příslušný k λ. Podmnožina všech vlastních vektorů příslušných k λ je tedy uzavřená vůči vektorovým operacím a sama je vektorovým prostorem.

23. Vlastní čísla a vektory Definice 54. Nechť A je operátor z L(V). Determinant matice operátoru (A – λE) jakožto funkce proměnné λ je polynom stupně právě n: Rovnici det (A – λE) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí operátoru A. Její kořeny tvoří spektrum operátoru A (jsou-li z tělesa). Pozn. : v prostorech nad komplexním tělesem má každý operátor alespoň jedno vlastní číslo – to plyne ze základní věty algebry. Pozn. : vlastní čísla operátorů jsou důležitá zejména pro kvantovou mechaniku. Tam ovšem pracujeme s operátory na prostorech nekonečné dimenze a charakteristický polynom vytvořit nelze – pro hledání vlastních čísel je potřeba použít jiné metody.

24. Skalární součin Definice 55. Buď V prostor nad T, buď h zobrazení V x V -> T následujících vlastností: Zobrazení h nazveme skalárním součinem na prostoru V, výraz nazýváme normou na prostoru V a značíme jej ||x||. Příkladem skalárního součinu je kde x = (α1, α2, … , αn) a y = (β1, β2, … , βn) jsou souřadnice vektorů x, y ve standardní bázi. Součin nazýváme překvapivě standardní skalární součin.

25. Skalární součin Pro skalární součin a normu lze dokázat následující vlastnosti: Schwarzova nerovnost Trojúhelníková nerovnost

26. Ortogonalita Definice 56. Buď V prostor nad T se skalárním součinem. Vektory x, y z V nazveme ortogonální (kolmé), právě když jejich skalární součin x∙y = 0. Soubor vektorů x1, x2, …, xn nazýváme ortogonální, právě když Soubor nazveme ortonormální, právě když Pozn. : pro ortogonální vektory x, y platí Pythagorova věta ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 a opačně – platí-li pro vektory Pythagorova věta, jsou ortogonální. Pozn. : každý ortogonální (a tím spíše ortonormální) soubor vektorů je lineárně nezávislý Pozn. : pro každý lineární obal [x1, x2, …, xn]λ lze najít ortonormální soubor takový, že [x1, x2, …, xn]λ = [y1, y2, …, ym]λ - tj. vždy existuje ortonormální báze. Například v prostorech se standardním součinem jsou standardní báze ortonormální.

27. Riezsova věta Věta 19. Riezsova věta : Mějme vektorový prostor V se skalárním součinem. Zvolme pevně vektor y. Přiřadíme-li pak každému vektoru x z V číslo předpisem získali jsme lineární funkcionál na V: ke každému vektoru y z V jsme tak našli lineární funkcionál. Na prostorech konečné dimenze (a v dalších speciálních prostorech) to jde i obráceně – ke každému funkcionálu existuje vektor y takový, že tj. : Pozn. : vektorový prostor a příslušný duální prostor jsou touto větou velmi těsně svázány : jeden vektor – jeden funkcionál. Možnost zaměnit funkcionál a vektor je opět zhusta využíváno v kvantové mechanice.

28. Sdružený operátor Definice 57. Buď A operátor na prostoru konečné dimenze V. Potom existuje právě jeden operátor označený A* takový, že platí Operátor A* nazýváme sdružený k operátoru A. Pro sdružené operátory platí: Je-li A regulární, pak i A* je regulární a platí (A*)-1 = (A-1)*.

29. Sdružený operátor Definice 58. Ve speciálních případech operátory nazýváme: normální samosdružený symetrický hermitovský izometrický ortogonální unitární Pozn. : „hvězdičkování“ operátorů je do jisté míry analogie „pruhování“ komplexních čísel – tj. vytváření komplexně sdružených čísel. Například samosdružené operátory hrají roli reálných čísel v komplexní rovině.

30. Sdružený operátor Definice 59. Nechť A je matice řádu n. Matici A* řádu n definujme jako (A*)ij = Aji a nazýváme ji sdruženou k A. Podle vlastností A pak nazýváme normální samosdružená symetrická hermitovská izometrická ortogonální unitární Pozn. : matice operátoru v ortonormální bázi X (např. standardní) mají stejné vlastnosti jako sám operátor – tj. normální operátor má normální matici, hermitovský operátor má hermitovskou matici (a tak podobně) a platí

31. Sdružený operátor Věta 20. Buď A operátor na prostoru konečné dimenze se skalárním součinem V. Potom platí: 1) Je-li A samosdružený, pak det A je reálný. 2) Je-li A izometrický, pak det A = 1. 3) Je-li A ortogonální, pak existuje ortonormální báze, ve které má A matici ve tvaru

32. Sdružený operátor Důsledek - na prostorech dimenze 2 jsou jen čtyři možnosti, jak zkonstruovat ortogo-nální operátor: operátor identity (E) operátor překlopení podle osy operátor souměrnosti podle počátku operátor rotace o úhel φ

33. Shrnutí • Lineární zobrazení, operátor a funkcionál • Duální prostor • Jádro zobrazení, předpis zobrazení bazickými vektory • Izomorfizmus • Matice lineárního zobrazení • Souvislost lineárních zobrazení a soustav rovnic • Inverzní operátor a matice • Vlastní čísla a vektory • Skalární součin a norma • Ortogonalita • Riezsova věta • Sdružené operátory