Izvodi višeg reda

1. Izvodi višeg reda • Drugi izvod je prvi izvodprvog izvoda f ’’(x)= f ’(f’(x)) • Treći izvod je prvi izvod drugog izvoda f ’’’(x)= f ’(f ’’(x)) • Uopšteno: n-ti izvod je prvi izvod (n-1)-izvoda za proizvoljan prirodan broj n veći od 1, tj. f (n)(x)= f ’(f (n-1)(x))

2. Izvodi višeg reda - primeri • (ex) (n) = ex za proizvoljno n iz N • (ax) (n) = (ln a)n ax za proizvoljno n iz N • (e-x) (n) = e-x za parno n • (e-x) (n) = -e-x za neparno n • (sin x) (n) = cos x za n=4k+1 , k iz N0 (sin x) (n) = -sin x za n=4k+2 , k iz N0 (sin x) (n) = -cos x za n=4k+3 , k iz N0 (sin x) (n) = sin x za n=4k , k iz N

3. Prvi izvod i monotonost funkcije • Ako je f ’(x)>0 za x iz (a,b) koji je podskup D, tada f(x)raste na (a,b) • Ako je f ’(x)<0 za x iz (a,b) koji je podskup D, tada f(x)opada na (a,b)

4. Prvi izvod i ekstrem funkcije interval (a,b) je podskup D Ako prvi izvod funkcije menja znak u tački e iz (a,b), tada funkcija u e ima ekstrem i to: minimum ako je f’ (x)<0 za x iz (a,e) i f’ (x)>0 za x iz (e,b) ; maksimum ako je f’ (x)>0 za x iz (a,e) i f’ (x)<0 za x iz (e,b) ;

5. Izvodi i ekstrem funkcije • e je iz (a,b) koji je podskup D i važi f ’(e)=0 i f ’’(e) nije 0, tada funkcija f u e ima ekstrem i to: • minimum ako jef ’’(e) > 0 • maksimum ako jef ’’(e) < 0

6. Izvod i ekstrem funkcije f ’(e)=0 je potreban (a nije dovoljan) uslov da diferencijabilna funkcija f(x) u tački e iz (a,b) koji je podskup D, ima ekstrem.

7. Konveksnost, konkavnost i drugi izvod • Ako je f ’’(x)>0 za x iz (a,b) koji je podskup D, tada je f(x)konveksna (udubljena) na (a,b) • Ako je f ’’(x)<0 za x iz (a,b) koji je podskup D, tada je f(x)konkavna (ispupčena) na (a,b)

8. Prevoj funkcije i drugi izvod interval (a,b) je podskup D Ako drugi izvod funkcije menja znak u tački p iz (a,b), tada funkcija u p ima prevojnu tačku. f ’’(p)=0 je potreban (nije dovoljan) uslov da dva puta diferencijabilna funkcija f(x) utački p iz (a,b), ima prevoj.

9. Функције-изводи • Табела првих извода елем. функција • Правила за изводе неелементарних функција • Изводи вишег реда • Примена извода на испитивање: • Раста и опадања • Локалних екстрема • Конкавности и конвексности • Превојних тачака