T E S E L A C I O N E S

1. T E S E L A C I O N E S

2. COLOQUIALMENTE TESELAR ES CUBRIR UN PLANO FINITO O INFINITO CON POLIGONOS REGULARES O IRREGULARES SIN QUE ESTOS SE TRASLAPEN UNOS CON OTROS Y SIN DEJAR HUECOS. ¿ QUÉ ES TESELAR ?

3. MATEMÁTICAMENTE TESELAR ES CUBRIR UN CONJUNTO MAYOR CON UNA COLECCIÓN NUMERABLE DE CONJUNTOS CERRADOS MENORES LLAMADOS TESELAS ( T ).

4. UNA CUBIERTA  DE A ES UNA COLECCIÓN { Ui }DE CONJUNTOS CUYA UNIÓN CONTIENE AL CONJUNTO A.  ES UNA CUBIERTA ABIERTA SI CADA Ui ES ABIERTO. QUE  SEA NUMERABLE SIGNIFICA QUE  SE PUEDE PONER EN CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA CON ℕ.

5. DECIMOS QUE DOS T E S E L A S SON CONGRUENTES SI SON DEL M I S M O T A M A Ñ O Y DE LA M I S M A F O R M A.

8. CONJUNTO GENERADOR TABLERO DE AJEDREZ

9. CONJUNTO GENERADOR PARED DE TABIQUES

10. CONJUNTO GENERADOR COLMENA

11. TESELACIÓN CON INFINITOS GRUPOS GENERADORES

12. SI Ŧ ES UNA TESELACIÓN, SIEMPRE EXISTE UNA COLECCIÓN (ŧ) MÁS PEQUEÑA DE TESELAS, TAL QUE CADA TESELA DE Ŧ ES CONGRUENTE CON ALGUNA TESELA DE ŧ. LAS TESELAS DE ŧ SE LLAMAN PROTOTESELAS Y LA COLECCIÓN COMPLETA DE TESELAS DE ŧ SE LLAMA CONJUNTO GENERADOR. TEOREMA 1

13. SI P Y Q SON DOS COLECCIONES DE CONJUNTOS GENERADORES, ENTONCES DEBEN TENER EL MISMO NÚMERO DE TESELAS. TEOREMA 2

15. (1) (2)

16. DE MANERA INFORMAL SE DICE QUE UNA FIGURA EN EL PLANO ES SIMETRICA SÍ SE PUEDE TOMAR UNA COPIA DE ELLA Y MOVERLA A UNA NUEVA POSICIÓN DEL PLANO Y REGRESARLA A SU POSICIÓN ORIGINAL Y AMBAS SE ADAPTEN PERFECTAMENTE. SIMETRÍA

17. LA SIMETRIA, QUE ES UNA CARACTERÍSTICA DE LA FORMA, PERMANECE CONSTANTE BAJO MOVIMIENTOS EN EL PLANO. UN MOVIMIENTO EN EL PLANO ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA DEL PLANO EN SÍ MISMO QUE MANTIENE CONSTANTE LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS DE UNA FIGURA.

18. UN MOVIMIENTO EN EL PLANO SERÁ DENOTADO POR T(P) DONDE P ES UN PUNTO. SI TENEMOS UN PAR DE MOVIMIENTOS EN EL PLANO ( T Y S ), PODEMOS APLICAR UN MOVIMIENTO A CONTINUACIÓN DEL OTRO ( POR EJEMPLO PRIMERO T Y LUEGO S ), PARA OBTENER OTRO MOVIMIENTO, EL CUAL SE DENOTARÁ POR ( S ° T ) Y SE LLAMA LA COMPOSICIÓN DE S CON T.

19. EL CONJUNTO DE LOS MOVIMIENTOS EN EL PLANO CON ESTA OPERACIÓN DE COMPOSICIÓN ES UN GRUPO. TEOREMA 3

20. UNA TRASLACIÓN EN EL PLANO ES UNA TRANSFORMACIÓN QUE MUEVE A TODOS LOS PUNTOS EN UNA DIRECCIÓN FIJA. T ES DE LA FORMA T ( x , y ) = ( x + a, y + b ) TRASLACIÓN

21. T ( C ) TRASLACIÓN C C

22. ROTACIÓN ( C ,  ) Q q P C

23. UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A UNA RECTA L ES UN MOVIMIENTO DEL PLANO QUE ACTÚA DE FORMA SIGUIENTE: CADA PUNTO P DEL PLANO ES ENVIADO A OTRO PUNTO Q, TAL QUE EXISTE UN ÚNICO PUNTO SOBRE LA RECTA L ( P´ TAL QUE LA RECTA QUE UNE A P Y Q ES PERPENDICULAR A LA RECTA L, Y ADEMÁS d ( P , P´ ) = d ( P´ , Q ) REFLEXIÓN

24. REFLEXIÓN L P P´ Q

25. ESTE MOVIMIENTO CONSISTE EN UNA REFLEXIÓN, SEGUIDA DE UNA TRASLACIÓN EN LA DIRECCIÓN DEL EJE DE REFLEXIÓN. SIMETRIA DE DESLIZAMIENTO

26. TODO MOVIMIENTO DEL PLANO SE PUEDE OBTENER MEDIANTE EL PRODUCTO DE UNA TRASLACIÓN, SEGUIDA DE UN GIRO Y LUEGO UNA REFLEXIÓN. POR LO TANTO EL GRUPO DE LOS MOVIMIENTOS EN EL PLANO ESTÁ GENERADO POR LAS TRASLACIONES, LAS ROTACIONES Y LAS REFLEXIONES. TEOREMA 4

27. EXISTEN 17 GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS NO ISOMORFOS. ESTOS SE CLASIFICAN DE ACUERDO AL GRUPO DE ROTACIONES: GRUPOS SIN ROTACIONES: W1 , W11 , W12 , W13 . GRUPOS CON ROTACIÓN DE ORDEN 2: W2 , W21 , W22 , W23 , W24 . GRUPOS CON ROTACIÓN DE ORDEN 3: W3 , W31 , W32 . GRUPOS CON ROTACIÓN DE ORDEN 4: W4 , W41 , W42 . GRUPOS CON ROTACIÓN DE ORDEN 6: W6 , W61 . TEOREMA DE FEDOROV