Proiect Fizica Oscilatii mecanice

1. Proiect FizicaOscilatii mecanice Elevi:- Cotoi Florin - Dragonea Ovidiu - Lefegiu Gina - Marinescu Cosmin - Orneata Daniel - Stama Emilian

2. OSCILATORUL LINIAR ARMONIC.

3. 10.1.1 Miscarea oscilatorieEXPERIMENTE 1. De un fir lung si inextensibil, suspendam un corp (bila) pe care-l lovim astfel incat sa nu-i imprimam o deviatie prea mare fata de pozitia de repaus (fig. 10.1,a). Un astfel de sistem mecanic este numit pendulul gravitational. 2. De un resort de otel, suspendam un corp si prin intermediul lui tragem resortul in jos (fig.10.1, b). Sistemul incepe sa se miste in sus si in jos. Un astfel de sistem este numit pendul elastic. 3. Fixam de o banda de otel la unul din capate si apoi o deviem din pozitia initiala ca in figura 10.1,c. Sistemul se numeste pendul cu arc lamellar. 4. Turnam apa intr-un tub indoit, din sticla, cu diametrul de citiva cm. Astupam unul dintre capete4 cu un dop de pluta si suflam aer la celalalt capat. In acest fel coloana de apa este pusa in miscare (fig. 10.1, d). 5. Pe marginea unui disc fixam intr-o pozitie oarecare o bila. Rotim discul cu viteza unghiulara constanta. Cu ajutorul unei lampi de proiectie, proiectam pe un ecran miscarea bilei de pe disc (fig. 10.1, e ). Vom constata ca umbra bilei are o miscare alternativa, dus-intrors. In toate cazurile studiate mai sus are loc o miscare continua de o parte si de alta (dus-intors) a pozitiei initiale (de repaus) a corpului (sau a umbrei sale in cazul experimentului 5). Aceasta miscare prezinta urmatorele caracteristici: Fig. 10.1 Exemple de oscilatori: a) pendul gravitational; b) pendul elastic; c) pendul cu arc lamellar; d) coloana de apa oscilanta; e) proiectia pe un ecran a unei miscari circulare uniforme.

4. a) dupa intervale de timp egale, procesul individual de miscare, se repeat, este un process periodic; b)miscarea are loc de fiecare data simetric fata de o anumita pozitie, pozitia de repaus sau de echilibru a oscilatorului. Miscarea unui corps au a unui sistem material care se repeta la intervale de timp egale si care se face simetric fata de o pozitie de repaus se numeste miscare oscilatorie sau oscilatie mecanica. Pentru studiul miscarii oscilatorii se definesc urmatoarele marimi fizice: Perioada miscarii oscilatorii T, reprezinta timpul necesar efectuarii unei oscilatii complete. Daca notam cu n numarul de oscilatii effectuate de un oscillator in intervalul de timp t atunci avem: T = Unitatea de masura in S.I. este: [T]S.I. = 1s. Frecventa miscarii este numarul de oscilatii efectuate in unitatea de timp: = Unitatea de masura pentru frecventa in S.I. este hertzul (Hz): [ ]S.I. = 1 s = 1 Hz Din relatiile de definite ale frecventei si perioadei rezulta relatia: T=1

5. Elongatia miscarii notata cu x sau y reprezinta deplasarea (departarea) oscilatorului fata de pozitia de repaus la un moment dat. Din definitia elongatiei rezulta ca ea variaza in timp. Aceasta marime are o directie, o valoare si un sens, deci poate fi reprezentata printr-un vector sau . In S.I. unitatea de masura pentru elongatie este metrul: [x]S.I. = 1 m. Amplitudinea miscarii A este elongatia maxima pe care o poate avea oscilatorul in cursul oscilatiei. Daca in experimentele anterioare 1, 2, 3, 4, se lasa sistemele (corpurile) sa oscileze un interval de timp mai mare, se observa ca amplitudinea miscarii oscilatorii nu ramane constanta in timp. In experimental 5, insa, amplitudinea miscarii (a proiectiei miscarii) ramane neschimbata. Distingem deci doua cazuri: a) miscarea oscilatorie (oscilatia) este neamortizata, aplitudinea ramane neschimbata de la o oscilatie la alta; b) miscarea oscilatorie (oscilatia) este amortizata, aplitudinea scade de la o oscilatiela alta.

6. 10.1.2 Oscilatorul liniar armonic • Sa analizam un resort elastic care are lungimea l in stare nedeformata (fig. 10.2, a). Dupa legea lui Hooke deformarea unui resort elastic este proportionala cu forta care actioneaza asupra resortului. Forta elastica care ia nastere in resort este de asemenea proportionala cu deformarea resortului dar de sens opus acesteia. Avem, deci: =sau scalarF=-ky Unde sint considerate positive valorile citite incepand de la punctual cel mai de jos al resortului netensionat, in jos. • Daca se suspenda de resort un corp cu masa m, el se va alungi cu datorita fortei = (fig. 10.2, b) si de aici rezulta: === Aceasta relatie valabila pentru pozitia de repaus a pendulului elastic. Fig. 10.2. Oscilator armonic liniar.

8. Scotinad pendulul din pozitia de repaus el incepe sa oscileze vertical, forta indreptata in jos isi pastreaza valoarea, in timp ce forta elastica din resort variaza in functie de alungirea y a acestuia (fig. 10.2, c,d). Suma vectoriala a celor doua forte sau diferenta valorilor lor da ca rezultanta forta care la orice moment tinde sa aduca pendulul spre pozitia de repaus. Se obtine pentru aceasta forta expresia: = + = + = ( - ) sau = ( - ) Asadar forta care actioneaza asupra pendulului elastic in timpul oscilatiei este proportionala cu deplasarea (departarea) fata de pozitia de repaus, si de sens contrar acesteia adica este o forta de tip elastic. punct material care se misca rectiliniu sub actiunea unei fote de forma = (sau = ) se numeste oscillator liniar armonic. Miscarea sa de oscilatie este numita miscare oscilatorie armonica. Oscilatorul liniare armonic este un oscillator ideal.

9. Oscilatorul liniare armonic este un oscillator ideal Pentru a stabili legea miscarii oscilatorului armonic, depdenta elongatiei y de timp, y = y(t), ne vom folosi de miscarea circulara uniforma a unui punct material si de proiectia acestei miscari pe unul din diametrele traiectoriei. Sa urmarim, in acelasi timp, miscarea circulara uniforma cu viteza unghiulara pe un cerc de raza R = A, a unui punct material P de masa si miscarea proiectiei sale P’, proiectie ortogonala pe axa (diametrul in figura 10.3). In timp ce P face o rotatie completa plecind din in sensul indicat pe figura, proiectia sa P’ efectueaza o oscilatie cu aplitudine constanta A, plecind din O asa cum arata figura 10.4. Se observa: ca componenta pe axa y a deplasarii lui P este totdeauna aceeasi cu deplasarea lui P’; Fig. 10.3. Proiectia ortogonala a miscarii circulare uniforme a punctului pe unul din diametrele traiectoriei ( B1B2)

10. componenta pe axa y a vitezei lui P este totdeauna aceeeasi cu viteza lui P’; • component ape axa y a acceleratiei lui P este totdeauna aceeasi cu acceleratia lui P’. Deci miscarea oscilatorie a punctului P’ poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul a miscarii circulare uniforme a punctului P. Sa aratam ca aceasta miscare oscilatorie este o miscare oscilatorie armonica. Fig. 10.4. Miscarea concomitenta a punctului si a proiectiei sale P’ ’.

11. Se stie ca in miscare circulara uniforma acceleratia cetripeta are valoare .Componenta sa pe diametrul (fig 10.5) reprezinta acceleratia miscarii punctului P’ si are valoarea: a = (10.3) Fig. 10.5. Miscarea oscilatorie a punctului P’ poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul a miscarii circulare a punctului P. Din figura 10.5 se observa ca putem scrie: y = (10.4) In acest caz relatia (10.3) devine: a= sau = (10.5) . Unde semnul minus semnifica faptul ca acceleratia si elongatia au sensuri opuse.

12. Punctul P’ se misca la fel ca si cind ar fi un punct material de masa m si asupra lui ar actiona o forta F care sa-i imprime acceleratia data de (10.5). Deci: F=ma= (10.6) Pentru valori determinate ale masei m si ale vitezei unghiulare constante , produsul = k si relatia (10.6) devine: F=-ky (10.6’) Asadar miscarea punctului P’ se face ca si in cazul in care forta sub actiunea careia are loc miscarea este o forta de tip elastic si deci acest punct material descrie o miscare oscilatorie armonica. Stiind ca = si ca R = A este amplitudinea miscarii oscilatorii, relatia (10.4), devine: y= (10.7) Aceasta relatie reprezinta ecuatia elongatiei oscilatorului liniar armonic, adica reprezinta legea, de miscare a oscilatorului, dependenta y=y(t)

13. Daca proiectia miscarii punctului P se face pe diametrul atunci se obtine pentru ecuatia elongatiei expresia: x= Putem formula acum o alta definitie a miscarii oscilatorii armonice: orice punct material care se misca rectiliniu, fata de un SR, astfel incat legea de miscare de forma: y= sau x= descrie o miscare oscilatorie armonica. Tinand seama de relatia (10.7) si de relatia (10.5) expresia acceleratiei devine acum: a= (10.5’) Componenta vitezei tangentiale =, pe diametrul reprezinta viteza de miscare a lui P’, adica viteza miscarii oscilatorii armonice: v= (10.8)

14. Faza si perioada miscarii oscilatorii armonice. Argumentrul functiei y= , = , se numeste faza miscarii oscilatorii. Faza se masoara in radiani si este una dintre marimile de stare ale oscilatorului. Daca in figura 10.3 oscilatorul P’ ar fi fost la momentul initial in ‘( corespunzator punctului de pe cerc),Faza la momentul =0 ar fi fost . Atunci, la momentul t faza este = + . Ecuatia elongatiei se va scrie in acest caz:y= ( + ) (10.9) Pentru miscarea oscilatorie marimease numeste pulsatie si reprezinta viteza de variatie a fazei. Aceasta marime se masoara in S.I. in rad/s. Ca si miscarea circulara frecventa ,perioada T si pulsatia , marimi caracteristici miscarii oscilatorii, sint valabile relatiile: = , = (10.10) Din relatia k= tinind seama de relatia (10.10) obtinem: k=m ∙ / de unde rezulta: T= (10.11)

15. Aceasta relatie reprezinta perioada oscilatorului liniar armonic si ea arata ca perioada unui oscillator depinde de proprietatile sale inertiale, prin masa , si de cele elastice, prin constata elastica sin u depinde de conditiile initiale in care se afla oscilatorul. 10.1.3 Energia oscilatorului armonic. Dupa cum stiti, un punct material de masa m, sub actiunea unei forte elastice F=-ky, descrie o miscare armonica. . La un moment dat t, elongatia este y=iar viteza miscarii = (considerind ca =0). Cum energia de pozitie in cimpul fortelor elastice este = , pentru oscilatorul liniar armonic avem: = = (10.12) iar pentru energia cinetica a oscilatorului: = = = (10.13) (pentru ca =k).

16. Fig. 10.6. a) Spectrul unei oscilatii; b) schema nivelelor de energie a doua oscilatii. Energia mecanica totala a oscilatorului liniar armonic este: E= + = ( + ) = = = (10.14) Din relatia 10.14 deducem ca energia totala a oscilatorului liniar armonic este constanta in timp – este un invariant. Se folosesc doua moduri de reprezentare a energiei unui oscillator: a) se reprezinta grafic energia in functie de frecventa ( enrgia pe ordonata si frecventa pe abscisa). Se obtine astfel un spectru al procesului respective. O oscilatie armonica se reprezinta printr-o linie spectrala (fig. 10.6, a); b) printr-o schema de nivele de energie. Intr-o schema de nivele de energie, energia oscilatorului se reprezinta printr-o dreapta orizontala situate la o inaltime corespunzatoare valorii energiei (fig. 10.6, b). Se spune ca oscilatorul se afla pe un anumit nivel de energie.

18. 10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA 10.2.1. Pendulul gravitational. Un pendul gravitational este un corp idealizat ( experimental 1) redus la un punct material de masa , suspendat de un fir inextensibil si de masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din pozitia sa de echilibru si este lasat liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei de greutate. In figura (10.12) este reprezentat un pendul de lungime l , masa m , care formeaza cu verticala un unghi numit elongatie unghiulara.Fortele care actioneaza asupra lui sunt: = , forta de greutate si tensiunea din fir. Componenta lui G pe directia razei este =mg iar componenta tangentiala = . Componenta tangentiala este forta de restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-l readuce in pozitie de echilibru. Asadar forta de restabilire este: F= = (10.21)

19. Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui pendul gravitational. Remarcam ca forta F nu este proportionala cu elongatia unghiulara ci cu Miscarea pendulului nu este deci o miscare oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai poate vorbi de o perioada proprie de oscilatie. Doua oscilatii cu amplitudine diferita au perioade diferite, oscilatiile nu mai sint izocrone. Daca unghiurile sint mai mici atunci este foarte apropiat de exprimat in radiani. Analizaind tabelul urmator observam ca pentru unghiuri sub 5° putem scrie ca in radiani.

20. Daca exprimam unghiul in radiani avem = si vom obtine inlocuind cu : F= = = x= , unde, semnul minus indica faptul ca aceasta forta este totdeauna de sens opus elongatiei. Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip elastic ( forta cvasielastica) si miscarea pendulului gravitational poate fi considerata in acet caz o miscare oscilatorie armonica. Cum =k, perioada proprie de oscilatie a pendulului devine: T= = = (10.22) Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitational este independenta de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp. Pendulul gravitational ofera o metoda simpla pentru determinarea valorii acceleratiei gravitationale g, masurind cu eroare cit mai mica lungimea l si perioada proprie T a pendulului.

21. 10.2 PENDULUL GRAVITATIONAL. REZONANTA 10.2.1. Pendulul gravitational. Un pendul gravitational este un corp idealizat ( experimental 1) redus la un punct material de masa m , suspendat de un fir inextensibil si de masa neglijabila. Daca pendulul este deplasat din pozitia sa de echilibru si este lasat liber, el oscileaza intr-un plan vertical datorita fortei de greutate. In figura (10.12) este reprezentat un pendul de lungime l , masa m, care formeaza cu verticala un unghi numit elongatie unghiulara. Fortele care actioneaza asupra lui sunt Gn=mg forta de greutate si tensiunea din fir. Componenta lui G pe directia razei este =mg , iar componenta tangentiala Gt= . Componenta tangentiala este forta de restabilire sau de revenire care actioneaza asupra pendulului spre a-l readuce in pozitie de echilibru. Asadar forta de restabilire este: F=Gt= (10.21) . Fig. 10.12. Fortele care actioneaza asupra unui pendul gravitational

23. Remarcam ca forta F nu este proportionala cu elongatia unghiulara ci cu . Miscarea pendulului nu este deci o miscare oscilatorie armonica. In acest caz nu se mai poate vorbi de o perioada proprie de oscilatie. Doua oscilatii cu amplitudine diferita au perioade diferite, oscilatiile nu mai sint izocrone. • Daca unghiurile sunt mai mici atuncieste foarte apropiat de exprimat in radiani. • Analizaind tabelul urmator observam ca pentru unghiuri sub 5° putem scrie ca in radiani.

24. Daca exprimam unghiu in radiani avem = si vom obtine inlocuind cu : F= = = x = -kx, unde,semnul minus indica faptul ca aceasta forta este totdeauna de sens opus elongatiei. Asadar pentru unghiuri mici forta de revenire spre pozitia de echilibru este aproximativ de tip elastic ( forta cvasielastica) si miscarea pendulului gravitational poate fi considerata in acet caz o miscare oscilatorie armonica. Cum =k, perioada proprie de oscilatie a pendulului devine: T= = = Din relatia (10.22) retinem ca perioada pendulului gravitational este independenta de masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitational este independenta de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.

25. EXPERIMENT De un fir lung si subtire cu lungimeal=1 m, suspendat la un capat, se atirna o mica sfera de plumb (otel sau bronz) cu un diametru de 2-3 cm. Se scoate pendulul astfel format din pozitia de echilibru, deplasindu-l fata de verticala cu un unghi care sa nu depaseasca 5° si se lasa apoi liber. Sistemul incepe sa oscileze. Se noteaza un anumit numar n de oscilatii t corespunzator acestora. Perioada de oscilatie se determina din relatia T=t/n.Considerand sistemul bila – fir un pendul gravitational, din expresia perioadei T= ,obtinem g= , relatie din care putem determina valoarea acceleratiei gravitationale locale. Rezultatele unui numar mare de determinari se trec intr-un table de forma:

26. Ce observatii puteti face ? Coincid rezultatele determinarilor ? De ce ? Care sint erorile pe care credeti ca le-ati facut ? Cum s-ar putea inlatura sau micsora aceste erori ? ______________________ * Am notat cu distanta de la pozitia de echilibru masurata pe cerc astfel: x > 0 in dreapta pozitiei de echilibru si x < 0 in stinga pozitiei de echilibru.