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CAPÍTULO I- TEORIA DAS PROBABILIDADE. Axiomas da Probabilidade. Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade.
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Axiomas da Probabilidade Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade. Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas probabilidades)
As seguintes conclusões seguem dos axiomas: a. Se tem-se usando (ii) Mas e usando (iii), b. Similarmente, para qualquer evento A, Então segue que: Mas então, c. Supondo que A e B não são disjuntos, como se deve calcular a
A Para se calcular a deve-se expressar em termos de eventos disjuntos, da forma: onde A e são eventos disjuntos. Usando o axioma (iii), tem-se: Para calcular pode-se expressar B como e obs. e são eventos disjuntos
Probabilidade Condicional e Independência P(A|B) = Probabilidade do evento A dado que B ocorreu Define-se como: com 2. 3. Se Masentão Portanto,satisfaz todos os axiomas da probabilidade 1.
Propriedades da Probabilidade Condicional a. Se então Visto que se então a ocorrência de B implica automaticamente na ocorrência de A. b. Se, então: c. Se então,
Mas, B Chamado de teorema da probabilidade total c. Pode-se usar a probabilidade condicional para expressar a probabilidade de um evento em termos de outros eventos. Seja eventos disjuntos, cuja união é igual a . Assim, e
Eventos Independentes A e B são ditos serem independentes se Supondo que A e B são independentes, então Se A e B são independentes, o fato do evento B ter ocorrido, não fornece nenhuma informação a cerca do evento A. Não faz nenhuma diferença saber se A ou B ocorreu.
Exemplo 1: Uma caixa contém 6 bolas brancas e 4 bolas pretas. Retira-se duas bolas aleatoriamente sem reposição. Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca e a segunda seja preta? Seja W1 = “ a primeira bola é branca”, B2 = “a segunda é preta” Deseja-se calcular tem-se
São os eventos W1 e B2 independentes? Parece que não. Para verificar é necessário calcular P(B2). A primeira bola tem duas opções: W1 = “a primeira bola é branca” ou B1= “a primeira bola é preta”. Note que e Então W1 juntamente com B1 formam uma partição. Assim e Como esperado, os eventos W1 e B2 não são independentes.
Probabilidade Condicional ou Então: Esta última equação é conhecida como teorema de Bayes
Uma versão mais geral do teorema de Bayes envolve uma partição do espaço de amostras . B
Exemplo 2: Duas caixas B1 e B2 contem 100 e 200 lâmpadas respectivamente. A primeira caixa (B1) tem 15 lâmpadas defeituosa e a segunda, 5. Suponha que uma caixa é selecionada aleatoriamente e uma lâmpada é retirada. a) Qual é a probabilidade de que ela seja defeituosa? Solução: A caixa B1 tem 85 lâmpadas boas 15 defeituosas A caixa B2 tem 195 boas e 5 defeituosas. Seja o evento D = “uma lâmpada defeituosa é retirada”.
Uma vez que uma caixa é selecionada aleatoriamente, então elas são igualmente prováveis. Assim B1 e B2 formam uma partição, então: Portanto, a probabilidade de se tomar uma lâmpada defeituosa é de aproximadamente 9% .
(decisão: Máxima probabilidade a posterior) b) Supondo que se testa uma lâmpada e verifica-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela provenha da caixa B1? Sabe-se que a priori que toma-se então aleatoriamente uma caixa, testa-se Uma lâmpada e verifica-se que é defeituosa. Pergunta-se: Essa informação pode levar a alguma pista de que a caixa selecionada foi a caixa 1? Tem-se que :
