Funções

1. Funções 1. Interpretação de Gráficos O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos Distância ( Km) Tempo (horas) Voltar

2. Ana Arromba - Instituto de Almalaguês Manuela Pedro - Instituto de Almalaguês Paula Curto - Escola Básica 2,3/Secundária de Condeixa-a-Nova Circulo de Estudos Desenvolvimento do Programa de 10º ano de Matemática B para o Ensino Secundário Janeiro e Maio 2002 Escola Secundária Martinho Árias

3. Funções 1. Interpretação de Gráficos •  A que distância de casa estava a Joana quando efectuou a primeira paragem? A Joana estava a 10m de casa. •  Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa? A distância máxima que a separou de casa foi 15m. •  Quanto tempo demorou a viagem? A viagem demorou 3h30m. •  Quanto tempo esteve parada a Joana? A Joana esteve parada 1h30m. •  A que horas chegou a Joana a casa? Voltar A Joana chegou ás 3h30m.

4. Funções 1.Noção de Função Considera os seguintes conjuntos A e B f B A C  5  6 7 8 9 1  2  3  4  Definição de Função: Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B. Voltar

5. Funções 1.Noção de Função • A esta correspondência chama-se _________. • Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { } • A todo o elemento de A chamamos _____________. • Ao conjunto B chamamos _______________________ da função. • Conjunto de chegada de f = { } • A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________. • Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A • Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se • por D’f = { } função Domínio 1, 2, 3, 4 Df Objectos Conjunto de Chegada 5, 6, 7, 8, 9 imagem contradomínio D’f 5, 6, 7 Voltar

6. Funções 1. Noção de Função Simboliza-se do seguinte modo: f: A B x y=f(x) • x é variável independente e y a variável dependente • Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df • Ao conjunto Bchamamos Conjunto de Chegada • Ao conjunto das imagens chama-se Contradomínio da função e representa-se por D‘f • A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y=f(x);

7. Funções 1. Interpretação de diagramas Exemplo 1: A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem. Exemplo 2: A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.

8. Funções 2. Representação gráfica de uma Função Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Temperatura º C Horas • Indique: • o domínio; • o contradomínio; • os intervalos de tempo onde a temperatura: - é positiva; - é negativa; 4 1 0;24] • os intervalos onde a temperatura: -aumenta; -aumenta e é positiva; - diminui; - diminui e é positiva; - é constante; 2 -3;6] 5 • as horas do dia em que se registou a temperatura 0ºC 3

9. Funções 2. Representação gráfica de uma Função • Como averiguar se se trata de uma função Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical. Não se trata de uma representação de uma função Trata-se de uma representação de uma função

10. Funções Interpretação gráfica do domínio Domínio O domínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos xx Voltar

11. Funções Interpretação gráfica do Contradomínio Contradomínio O Contradomínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos yy Voltar

12. Funções 3. Noções gerais de uma função • Zeros de uma função • Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula. • DDeterminação dos zeros de uma função: • Graficamente • Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para • os quais o gráfico da função intersecta o • eixo das abcissas ( xx ) • Analiticamente • Determinar os valores de x para os quais f(x)=0 • isto é, x: f (x)=0 zeros Voltar

13. Funções 3. Noções gerais de uma função • Sinal de uma função • Definição :Seja f uma função de domínio D, dizemos que : • - f é positivaem I (I D) se e só se f(x) > 0, para todo o xI. • - f é negativaem I (I D) se e só se f(x) < 0, para todo o xI. • DDeterminação do sinal de uma função: • Graficamente • A função é positivapara todos os valores de x cujas • imagens estão acima do eixo das abcissas. • A função é negativa para todos os valores de x • cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas. f(x) >0 f(x) < 0 Voltar

14. Funções f(b) g(b) g f(b) g(b) g f f g(a) f(a) f(a) g(a) O a b O a b a b a b Noções gerais de uma função • Monotonia de uma função A função f écrescente num intervalo E. A função g édecrescente num intervalo E. A função f éestritamente crescentenum intervalo E. A função g éestritamente decrescentenum intervalo E. Definição : Diz-se que f é crescente/estritamente crescente em EDf se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)f(b)/se a < b, então f(a)< f(b). Definição : Diz-se que g é decrescente/estritamente decrescenteem EDf se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b)/se a < b, então g(a)>g(b). Definição : Uma função crescenteou decrescente diz-se monótona. Observação:Umafunção constanteé considerada crescente e decrescente. Voltar

15. Funções Noções gerais de uma função • Monotonia de uma função Definição : Seja f uma função de domínio D. f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x) f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x) Definição : Seja f uma função de domínio D. f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a)  f(x),qualquer que seja ox  E  D f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x),qualquer que seja ox  E  D Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos/ mínimos relativos da função chamam-se maximizantes/ minimizantes Voltar

16. Funções Noções gerais de uma função • Injectividade de uma função • FDefinição : Uma função f é injectivanum intervalo EDf se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1  x2 então f(x1) f(x2). Definição : Uma função f é nãoinjectiva num intervalo EDf se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem. Voltar

17. Funções Noções gerais de uma função • Injectividade de uma função • Graficamente • Vê-se que uma função é não injectiva se existir pelo menos uma recta • horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto. f é função injectiva f é função não injectiva

18. Funções Noções gerais de uma função • Sobrejectividade de uma função • FDefinição : Uma função g é sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada. g é sobrejectiva f é não sobrejectiva

19. Funções t.v.m. = [a, b] Noções gerais de uma função • Taxa de Variação Média A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é: f(b) f f(b)-f(a) f(a) b-a f(b) - f(a) a b b - a

20. Funções Noções gerais de uma função • Observações • se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo • se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo. • se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo