Lineāras vienādojumu sistēmas

1. Lineāras vienādojumu sistēmas Sistēmas ar konstantiem koeficientiem

2. Lineāra nehomogēna 2 vienādojumu sistēma, ja (1) Lineāra homogēna sistēma (2)

3. Sistēmai atrisinājumu meklē formā Ievietojot sistēmā, iegūstam vienādojumu l noteikšanai: (3) (3) ir matricas Aharakteristiskais vienādojums, l jābūt matricas A īpašvērtībām, bet a atbilstošajiem īpašvektoriem.

4. Praktiski 2 vienādojumu sistēmu gan homogēnu, gan nehomogēnu var risināt ar izslēgšanas metodi. Piemērs. Reducējam sistēmu par vienu otrās kārtas vienādojumu, izslēdzot y: Iegūts vienādojums Atrodam x(t): Ievietojot sistēmas pirmajā vienādojumā, atrodam y(t):

5. Divi lineāri neatkarīgi sistēmas atrisinājumi ir, piemēram, vektori: Sistēmas vispārīgais atrisinājums ir šo vektoru lineāra kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem. Risinot ar izslēgšanas metodi, iegūstam vispārīgo atrisinājumu.

6. x(t) y(t) Trajektorijas (x,y) plaknē

7. 2.piemērs. Atvasinot otro vienādojumu, nav iespējams izslēgt funkciju x, tāpēc šoreiz noteikti jāatvasina pirmais vienādojums un jāizslēdz y: No pirmā vienādojuma, ievietojot: Lineāri neatkarīgie atrisinājumu vektori:

8. Plaknes lineāras sistēmas trajektoriju klasifikācija Sistēma (2) vai ir autonoma. Plaknē (x,y) izdarot lineāru transformāciju, kuras rezultātā koordinātu asis tiek vērstas matricas A īpašvektoru virzienos, sistēmu (2) iespējams reducēt iespējami vienkāršā formā. Iegūtās lineārās sistēmas matrica ir līdzīga matricai A. Turpmāk pieņemsim Sistēmai ir viens pats stacionārs punkts x=y=0.

9. 1) Šādās koordinātēs sistēma iegūst izskatu kur koordinātu asis ir vērstas matricas īpašvektoru virzienos. Sistēmas trajektorijas ir taisnes u=0,v=0, bet pārējās atrodam no vienādojuma

10. a) Ja , sistēmas trajektorijas ir parabolu loki. Šādu stacionāro punktu sauc par mezgla punktu. Piemērs. Īpašvektori:

11. Piezīmes. 1) Kustības virzienu pa trajektorijām nosaka lauka vektoru virziens. Šo pašu virzienu var noteikt pēc īpašvērtību zīmēm: ja abas īpašvērtības ir negatīvas, visas trajektorijas, t pieaugot, tiecas uz stacionāro punktu, turpretī pozitīvām īpašvērtībām trajektorijas tiecas uz bezgalību. 2) gandrīz visas trajektorijas tiecas pieskarties tam īpašvektoram, kurš atbilst pēc moduļa mazākajai īpašvērtībai.

12. b) Ja , trajektorijas ir hiperbolu loki. Stacionāro punktu sauc par sedlu punktu. Piemērs: skat. 4., 5., 6.slaidu 2) a) Matrica var būt formā Sistēmai trajektorijas ir visi stari, kas iziet no koordinātu sākuma punkta. Stacionāro punktu sauc par dikritisku mezglu.

13. b) Ja matricai ir tikai viens īpašvektors. Sistēmas trajektorijas ir vērstas īpašvektora virzienā v=0, bet pārējās atrod, atrisinot vienādojumu Trajektoriju izvietojumu skat. nākošā piemērā.

14. diff(x(t),t)=-x(t)+4*y(t) • diff(y(t),t)=-x(t)-5*y(t) Īpašvektors Stacionāro punktu sauc par deģenerētu mezglu. Kustība, t pieaugot, notiek virzienā uz stacionāro punktu.

15. 3) Ja Koordinātu asis vēršot kompleksi saistīto īpašvektoru reālās un imaginārās daļas virzienā, sistēmu iespējams reducēt reālā kanoniskā formā Pārejot uz polārajām koordinātēm iegūstam sistēmu izskatā

16. Tātad: a) Ja stacionāro puntu sauc par fokusu. Piemērs. • diff(x(t),t)=-x(t)+13*y(t) • diff(y(t),t)=-x(t)-5*y(t)

17. b) Ja a=0, r=C, stacionāro punktu sauc par centru. Piemērs. • diff(x(t),t)=5*x(t)+13*y(t) • diff(y(t),t)=-2*x(t)-5*y(t) Ievērot: centra punkta gadījumā kustības virzienu pa trajektorijām īpašvērtības nenosaka. Piemērā: x aug, y dilst.

18. Plaknes lineāras autonomas sistēmas x‘=Ax stacionāro punktu tipi Mezgls Dikritisks mezgls Fokuss Deģenerēts mezgls Centrs Sedli 1 īpašvektors

19. Lineāras nehomogēnas sistēmas. Ja, mir naturāls vai 0, C ir kompleksa konstante, sistēmas partikulāro atrisinājumu var meklēt ar nenoteikto koeficientu metodi. Atrisinājuma komponentes ir formā: Qm(t)et, ja nav matricas A īpašvērtība, kur Qm(t) ir polinomi, kuru pakāpe nepārsniedz m; Qm+k(t)et, ja sakrīt ar matricas Aīpašvērtību ar kārtu k.

20. Piemērs. Matricai ir divkārša reāla īpašvērtība Sistēmai Partikulāro atrisinājumu meklējam izskatā

21. Ievietojot sistēmas vienādojumos, dabū: Salīdzinot koeficientus pie vienādām t pakāpēm abu vienādojumu labajās un kreisajās pusēs, atrodam:

22. Sistēmai Partikulāro atrisinājumu meklējam formā Konstantes m,cpaliek brīvas (kāpēc?) Tātad var ņemt un sistēmas vispārīgais atrisinājums ir

23. Ja, =i.Atrisinājuma komponentes ir ja =inav matricas īpašvērtības, Pm(t), Qm(t)ir polinomi ar pakāpēm ne augstākām par m. Ja=iir matricas A īpašvērtības, polinomu pakāpe atrisinājumā var par 1 vienību palielināties, atrisinājuma komponentes ir meklējamas formā .