Nepārtrauktā laika vienādojumu robežkopu īpašības.

1. Nepārtrauktā laika vienādojumu robežkopu īpašības. Definīcija. Punktu qM sauc par trajektorijas L jeb atbilstošā atrisinājumaj(t;x0) -robežpunktu, jat vērtību virkne (tk), tk+, j(tk,x0)q, k. Visu -robežpunktu kopu sauc par trajektorijas-robežkopu W. Analoģiski tk -, definē -robežpunktu un a-robežkopu A.

2. Definīcijas 1) Kopu AM sauc par plūsmasjtinvariantu (pozitīvi invariantu) kopu, ja xA, tR (tR+)jt(x)A. (xA (t,x)A). 2) Kopu NM sauc par neklejojošu, ja xN un katrai x apkārtnei U(x)tR  t10 : jt1(U(x)) U(x) 0. 3) Slēgtu, invariantu kopu A sauc par pievelkošu, ja eksistē tāda A pozitīvi invarianta apkārtne U, ka x0U limd(j(t, x0),A)=0, t+. 4) Pievelkošu kopu, kura satur kādu trajektoriju kā savu blīvu apakškopu, sauc par atraktoru.

3. Piemērs Vienīgie robežpunkti ir stacionārie punkti: sedlu punkts (0,0) trajektorijām, kurām x=0, asimptotiski stabilie mezgli (-1,0) trajektorijām, kurām x<0 un (1,0) tām trajektorijām, kurām x>0. Intervāls ir pievelkoša kopa, bet visi pārējie punkti, izņemot stacionāros punktus, ir klejojoši. Atraktori ir tikai asimptotiski stabilie mezgli.

4. Piemērs

5. Teorēma. Kopa ir slēgta, invarianta kopa, kura ir tukša tad un tikai tad, ja , kad t+. Kopa sastāv no viena punkta q tad un tikai tad, ja j(t,x0)q, kad t+. Pierādījums 1) Slēgta (kā punktu kopa telpā Rn). Pieņemsim, ka punktu virkne Pēc robežkopas definīcijas katram k eksistē laika momentu virkne

6. 2) Invarianta? 3) No pretējā: No ierobežotas virknes var izdalīt konverģentu apakšvirkni.

7. 4) Pieņemsim

8. Puankarē – Bendiksona teorēmas. Plaknes sistēmu atrisinājumu robežkopas. Plaknes sistēmu trajektoriju robežkopu specifiskās īpašības izskaidrojamas ar Žordāna teorēmu: Slēgta līnija plakni sadala divās daļās – attiecībā pret sevi iekšējā un ārējā. Teorēma 2. Ja plaknes sistēmas trajektorija satur kaut vienu savu robežpunktu, tad šī trajektorija ir vai nu slēgta, vai arī stacionārs punkts.

9. Pierādījums Pieņemsim, ka Ja ir stacionārs punkts, teorēma ir pierādīta. Pieņemsim, ka nav sistēmas stacionārs punkts. G G – Bendiksona maiss, trajektorija, kura tajā ieiet, netiek vairs laukā, līdz ar to nevar tuvoties robežpunktam.

10. Teorēma 3. Ja trajektorijai L ir robežpunkts q, kurš pieder slēgtai trajektorijai, tad vai nu L=Lq, vai arī L spirālveidīgi uztinas Lq. Pierādījums. Visa trajektorija Lqpieder L robežkopai. Ja patvaļīgam Lqpunktam p izveido apkārtni, U, ko ierobežo divu blakus esošu trajektoriju loki un divas pret Lq vilktas transversāles. U izvēlas tik mazu, lai visas trajektorijas šai apkārtnē ir praktiski paralēlas un iet vienā virzienā. Tā kā p ir L robežpunkts, pietiekoši lielam t trajektorija krusto (punktā a) punktā p vilkto normāli n pret L.

11. Pēc laika, kurš tuvs Lq apriņķojuma periodam, trajektorija L krusto normāli n vēlreiz punktā b. Ja d(b,p)=d(a,p), L ir slēgta un q nevar būt L robežpunkts. d(b,p)>d(a,p) veidojas Bendiksona maiss, kurā, t pieaugot, trajektorija netiek iekšā Tātad d(b,p)<d(a,p). Turpinot konstrukciju, uz normāles veidojas L punktu virkne, kura tiecas uz p. Tā kā p ir patvaļīgs Lq punkts, nepārtrauktās atkarības no sākuma nosacījumiem dēļ visa trajektorija L spirālveidīgi piekļaujas Lq.

12. Teorēma 4. Plaknē R2 ierobežotai pozitīvai pustrajektorijai, t+,var realizēties tikai viena no 5 iespējām: 1) trajektorija ir stacionārs punkts, (t;x0)=x0tR, ={x0}; 2) (t;x0)x0, t+,={x0}; 3) trajektorija ir slēgta, t.i., T0: tR(t+T;x0}=(t;x0}, kopasakrīt ar pašu trajektoriju; 4) trajektorija spirālveidīgi uztinas slēgtai trajektorijai, kura ir tās robežkopa; 5) trajektorija spirālveidīgi uztinas slēgtam grafam, kas veidots no stacionāriem punktiem un šos punktus savienojošām trajektorijām.

13. Piemērs.

14. Piemērs

15. Indeksu teorija L– orientēta gluda līnija plaknē ar gala punktiem A un B l– ass virziens leņķis, kuru veido punktā P sistēmas noteiktā lauka vektors ar asi l. Definīcija. Par sistēmas noteiktā vektoru lauka pagriezienu pa līniju L sauc lielumu

16. Ja l ir x1 ass, • Īpašības. • Mainot L orientāciju, pagrieziens maina zīmi. • Ja L sadala vairākos gabalos, pagriezieni summējas. • Ja L slēgta, pagrieziens ir vesels skaitlis. • Ja L nepārtraukti deformējas, neejot caur stacionārajiem punktiem, pagrieziens nemainās

17. 5. Ja slēgtas līnijas iekšpusē nav sistēmas stacionāru punktu, pagrieziens pa šo līniju ir vienāds ar 0. Sekas. Slēgtas trajektorijas iekšpusē (plaknē) ir vismaz viens stacionārs punkts. (Apejot slēgtu trajektoriju, lauka vektors izdara pilnu apgriezienu) Definīcija. Ja x0 ir izolēts stacionārs punkts un L patvaļīga gluda līkne, kas aptver stacionāro punktu, lauka pagriezienu pa līniju L sauc par stacionārā punkta indeksu. Indekss nav atkarīgs no L! Mezgls, centrs, fokuss – 1 sedli - -1.

18. Teorēma 5. Ja uz gludas slēgtas līnijas bez paškrustošanās L nav sistēmas stacionāru punktu, bet L iekšpusē ir galīgs skaits stacionāro punktu, lauka pagrieziens pa L (pretī pulksteņa rādītāja virzienam) ir vienāds ar visu iekšpusē esošo stacionāro punktu indeksu summu. Sekas. Ja slēgtas trajektorijas iekšpusē ir tikai vienkārši stacionārie punkti, to kopīgais skaits ir nepāru un sedlu punktu skaits ir par 1 mazāks kā mezglu, fokusu un centra punktu skaits kopā.

19. Bendiksona kritērijs Teorēma 6. (Bendiksona kritērijs). Ja plaknes sistēmai kompaktā, pozitīvi invariantā kopā D nav stacionāru punktu, tad šajā kopā katra trajektorija ir vai nu slēgta, vai arī spirālveidīgi uztinas uz slēgtas trajektorijas. Sekas. Ja G ir gredzenveida kopa, kurā nav sistēmas stacionāru punktu un kuras robežas sistēmas trajektorijas krusto tikai virzienā uz iekšpusi, tad kopā G ir vismaz viens šīs sistēmas robežcikls.

20. Piemērs V atvasinājums saskaņā ar sistēmu trajektorijas krusto virzienā uz āru Riņķa līniju Šo riņķa līniju trajektorijas krusto virzienā uz iekšu

21. Teorēma 7. (Bendiksona negatīvais kritērijs). Ja vienkārši sakarīgā apgabalā DR2 saglabā noteiktu zīmi, tad šajā apgabalā nav slēgtu līkņu, kas būtu veidotas no sistēmas trajektorijām. Teorēma 8. (Dilaka kritērijs). Ja vienkārši sakarīgā apgabalā DR2 eksistē nepārtraukti diferencējama funkcija q:R2R, kurai div(qf)(x)0xD, tad apgabalā D nav slēgtu līkņu, kas būtu veidotas no sistēmas trajektorijām. Piezīme. Teorēmu pierādījumi balstās uz Grīna formulu divkāršiem integrāļiem

22. Piemērs. Divu populāciju savstarpējās mijiedarbības uzdevums, aprakstīts ar kvadrātisku polinomu. * Stacionārais punkts Definē lielumus Teorēma 9. Ja sistēmai * (x,y) plaknes pozitīvajā kvadrantā nav ciklu

23. x>0, y>0 definē Izmanto Dilaka kritēriju: Ciklu nav! Pierādījums detalizēti. Ja pieņem, ka ir cikls L ar periodu T, kurš ierobežo apgabalu R:

24. Žukovska uzdevums par planieri • Gaisa pretestība proporcionāla ātruma kvadrātam; • Leņķis, ko veido planiera ass ar horizontālo plakni, saglabājas konsants • Pie šiem nosacījumiem aerodinamiskie koefiienti C1 (gaisa pretestības spēkam) un C2 (spārnu cēlējspēkam) ir konstanti. • m – planiera masa, v kustības ātrums, S - spārnu laukums, - leņķis starp lidojuma trajektorijas pieskari un Ox asi - gaisa blīvums Planiera masas centra kustības vienādojumi projekcijās uz trajektorijas pieskari un normāli

26. Stāvokļi sakrīt, tāpēc sistēmas fāzu telpa ir cilindra virsma, kur pa veidotāju atlikts y bet pa vaduli – leņķis Aplūko y>=0 (planieris nelido ar asti uz priekšu). Sistēmas trajektorijas apmierina vienādojumu y=0 ir singulāra trajektorija, tā atbilst situācijai, kad planieris momentāni apmetas no stāvokļa stāvoklī un ātrums v=0.

27. Speciālgadījums a=0, pretestības spēka nav. Vienīgais stacionārais punkts Planieris lido horizontāli ar konstantu ātrumu Trajektorijas Singulāri punkti

28. Asīs Uz cilindra virsmas izklājuma

29. Slēgtas trajektorijas, kas aptver centru Slēgtas trajektorijas aptver fāzu cilindru Nodala abus tipus, sastāv no singulāro sedlu punktu separatrisēm

30. Vienīgais stacionārais punkts Stacionārajam stāvoklim atbilst planiera kustība pa lejupejošu taisni ar konstantu ātrumu y0. Stabilitāte? Vienmēr asimptotiski stabils

31. Nekādam a uz fāzu cilindra nav slēgtu trajektoriju Dilaka kritērijs Līdz ar to apgabalā y>0 slēgtu trajektoriju nav. Nav arī slēgtu līkņu, kas aptver fāzu cilindru. No pretējā: ja šāda trajektorija ir, ar vertikālu nogriezni savieno to ar y=0. Dabū slēgtu kontūru, kas ierobežo apgabalu starp trajektorijām. Integrālis pa kontūru ...

32. Pretpiemērs.Tora aptinums Diferenciālvienādojumu sistēma, kuras fāzu telpa ir tora virsma. Tora vienādojumi

33. Šādu vienādojumu sistēmu var uzdot formā kur f un g ir periodiskas funkcijas ar periodu 1. Katra trajektorija ir slēgta, sakrīt punkti

34. 2. Sistēmai nav slēgtu trajektoriju. iracionāls. Pēc patvaļīga skaita n apgriezieniem nevar būt vesels. Katra trajektorija visur blīvi piepilda visu tora virsmu. Katrs trajektorijas punkts ir arī tās robežpunkts. Pieņemsim Tora meridiānu trajektorija atkārtoti krusto punktos Šie punkti ir visur blīvi uz meridiāna.

35. Punkta nobīdi pa meridiānu raksturo lielums Ņem naturālu un intervālu ]0;1[ sadala p daļās Skaitļi visi savā starpā ir atšķirīgi, jo iracionāls. Vismaz divi no šiem skaitļiem nonāk vienā no dalījuma intervāliem: Definējam:

36. Izvēlamies Virknē starpība starp blakus stāvošiem skaitļiem ir mazāka par Attālums starp trajektorijas punktiem uz meridiāna ir mazāks par Attālums no līdz 0 arī ir mazāks par Līdz ar to katrs meridiāna punkts ir trajektorijas robežpunkts.

38. Puankarē attēlojums. Aplūkosim plaknes vienādojumu sistēmu apgabalā QG, kurā nav šīs sistēmas stacionāru punktu. Definīcija.Saka, ka gludas līknes nogrieznis, ir nogrieznis bezkontakta, ja nevienā savā punktā šis nogrieznis nepieskaras sistēmas noteiktā lauka vektoriem. Bezkontakta nogriežņa l punktiem piekārto skaitliskas koordinātes, vispirms izvēloties atskaites – koordinātu sākuma punktu uz šī nogriežņa. Pieņemsim, ka kāda sistēmas trajektorija krusto nogriezni l punktā ar koordināti u0. Izsekosim, vai trajektorija krusto šo nogriezni tai pašā virzienā vēlreiz. Ja šāds krustpunkts eksistē, apzīmē to u1 un meklē nākošos krustpunktus u2,u3,…

39. Ja šādi krustpunkti eksistē, saka, ka sistēmai ir definēts Puankarēattēlojums (secības funkcija) cui+1=c(ui). Puankarē attēlojums ir nepārtraukts (nepārtrauktā atkarība no sākuma vērtībām), nepārtraukti diferencējams un (n=2) monotons. Eksistē nepārtraukti diferencējams inversais attēlojums c-1(kustība pretējā virzienā).

40. n>2. n=3 bezkontakta nogriežņa vietā aplūkojam trajektoriju krustpunktus ar gludu virsmu, kurai trajektorijas nepieskaras. Attēlojuma c monotonitāte vairs nepastāv. Puankarē attēlojums reducē nepārtrauktā laika sistēmas pētījumu uz diskrētā laika sistēmas analīzi

41. Diskrētā laika dinamiskas sistēmas MRn: xk+1=f(xk)

42. Definīcija.Stacionāro punktu x0 sauc par stabilu, ja >0 >0: d(x0;x0)<d(xk;x0)<kN. Definīcija.Ja x0 ir stabils stacionārais punkts un bez tam x0 sauc par asimptotiski stabilu stacionāro punktu. Definīcija Periodisku orbītu ar periodu N sauc par stabilu (asimptotiski stabilu), ja katrs tās punkts ir attēlojuma f N stabils (asimptotiski stabils) stacionārs punkts.

44. Ja x0 ir sistēmas stacionārs punkts, bet 1,.., n ir Jakobi matricas īpašvērtības. 1) j<1, punkts x0 ir asimptotiski stabils; 2) k: k>1,x0 ir nestabils. Sistēmas slēgtā trajektorija x0, x1, x2, ..., xN-1 ir asimptotiski stabila, ja kādā tās punktā Jakobi matricas visas īpašvērtības j ir pēc moduļa mazākas par 1. Ja turpretī k: k>1kaut vienā slēgtās trajektorijas punktā, tad šī trajektorija ir nestabila.

46. Periodiskā atrisinājuma stabilitātei Zīmējumā a) redzams, kā iterāciju virknes punkti attālinās no nestabilā stacionārā punkta un tuvojas stabilajai divu punktu x0,x1 veidotajai orbītai. Zīmējumā b) ir attēlojuma f(f) grafiks, x0 un x1 ir otrās iterācijas stabili stacionārie punkti, redzama iterāciju virknes konverģence uz punktu x1

47. Piemērs Fibonači skaitļi (trušu populācijas vairošanās, x- jaunie, y – vecie īpatņu pāri) Vai Sistēmas matrica īpašvērtības Stacionārais punkts (0;0) nestabils, populācija neierobežoti aug.

48. Arnolda attēlojums Aplūko sistēmu ik pēc diviem periodiem, pieņemot, ka īpatņu kopskaits ir fiksēts, neierobežots pieaugums nav iespējams. Matrica Sistēma Īpašvērtības Vektora u1 virzienā vienības kvadrāts tiek stiepts, u2 virzienā saspiests.

49. Var pierādīt, ka punkts (x,y) pieder periodiskai orbītai, ja x un y ir racionāli skaitļi.

50. Piemērs. Lampu ģenerators. Triode ar harakteristiku Ia=f(Ut),kondensators ar kapacitātiC,omiskā pretestībaR, spole ar pašindukcijas koeficientuL.Otra spole ir ieslēgta tīkliņa ķēdē. Ia ir anodstrāvas stiprums,Utir tīkliņa spriegums. Ipir piesātinājuma strāvas stiprums.