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Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wil

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (N FT II) / Lecture / Vorlesung Mo. 10.07.2006, 0 8:15-10:00, R. 2104. Dr.-Ing. René Marklein marklein@uni-kassel.de http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

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Presentation Transcript

  1. Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II)Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /Lecture / VorlesungMo. 10.07.2006, 08:15-10:00, R. 2104 Dr.-Ing. René Marklein marklein@uni-kassel.de http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  2. Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen CG Method – Conjugate Gradient (CG) Method M. R. Hestenes & E. Stiefel, 1952 BiCG Method – Biconjugate Gradient (BiCG) Method C. Lanczos, 1952 D. A. H. Jacobs, 1981 C. F. Smith et al., 1990 R. Barret et al., 1994 CGS Method – Conjugate Gradient Squared (CGS) Method (MATLAB Function) P. Sonneveld, 1989 GMRES Method – Generalized Minimal – Residual (GMRES) Method Y. Saad & M. H. Schultz, 1986 R. Barret et al., 1994 Y. Saad, 1996 QMR Method – Quasi–Minimal–Residual (QMR) Method R. Freund & N. Nachtigal, 1990 N. Nachtigal, 1991 R. Barret et al., 1994 Y. Saad, 1996 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  3. MATLAB Function CGS – Conjugate Gradient Squared / MATLAB-Funktion CGS – Konjugierte Gradienten Quadriert cgs Conjugate Gradients Squared method Syntaxx = cgs(A,b) cgs(A,b,tol) cgs(A,b,tol,maxit) cgs(A,b,tol,maxit,M) cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2) cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) cgs(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) [x,flag] = cgs(A,b,...) [x,flag,relres] = cgs(A,b,...) [x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,...) [x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,...) Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  4. Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 10– Induced Electric Surface Current/ Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 10– Induzierte elektrische Flächenstromdichte Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  5. … – Normalized Induced Electric Surface Current/ … – Normierte induzierte elektrische Flächenstromdichte Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  6. Convergence Rate of ka = 1 and N = 10/ Konvergence Rate bei ka = 1 und N = 10 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  7. Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 10– Induced Electric Surface Current/ Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 10– Induzierte elektrische Flächenstromdichte Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  8. Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall Separation of Variables Analytic Solution in Terms of Eigenfunctions / Separation der Variablen Analytische Lösung in Form von Eigenfunktionen J. J. Bowman, T. B. A. Senior, P. L. E. Uslenghi (Editors): Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes.   Taylor & Francis Inc, New York, 1988. Plane Wave / Ebene Welle 2-D Case / 2D-Fall PEC Cylinder with Radius a / IEL Zylinder mit dem Radius a Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  9. Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen Electric Field Strength of the Incident Wave / Elektrische Feldstärke der einfallenden Welle Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder Electric Field Strength of the Scattered Wave / Elektrische Feldstärke der gestreuten Welle Solution / Lösung Neumann Function / Neumann-Funktion Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  10. Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder Induced Electric Surface Current Density at / Induzierte elektrische Flächenstromdichte bei Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  11. MATLAB Programme / MATLAB-Programm MATLAB Program / MATLAB-Programm for nka=1:N_max_kas ka = max_kas(nka); % max_kas = {1, 5, 10} a = ka / k; legend_matrix(nka,:) = sprintf('ka = %2d',ka) for nphi=1:Nphi phi(nphi) = (nphi-1)*2.0*pi/(Nphi-1); phi_deg(nphi) = (nphi-1)*2.0*pi/(Nphi-1)*180.0/pi; Hphi(nphi,nka) = 0.0; for n = 0:N Hphi(nphi,nka) = Hphi(nphi,nka) + epsilon_n(n+1) * (complex(0,-1))^n / besselh(n,1,ka) * cos(n*(phi(nphi)-phi_in)); end % Magnetic field strength component / Magnetische Feldstärkekomponente Hphi(nphi,nka) = Hphi(nphi,nka) * 2.0/M_PI * Y0/ka; % Normalized magnetic field strength component / Normierte magnetische Feldstärkekomponente Hphi_Z0(nphi,nka) = Hphi(nphi,nka) * Z0; end end Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  12. Induced Electric Surface Current Density for Different Order N, ka = 1 / Induzierte elektrische Flächenstromdichte für verschiedene Ordnungen N, ka = 1 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  13. Induced Electric Surface Current for Different Order N, ka = 1 / Induzierte elektrische Flächenstrom für verschiedene Ordnungen N, ka = 1 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  14. Induced Electric Surface Current for Different ka = {1, 5, 10} and N = 128/ Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = {1, 5, 10} und N = 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  15. Induced Electric Surface Current for Different ka = {1, 5, 10} and N = 128/ Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = {1, 5, 10} und N = 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  16. Induced Electric Surface Current of Different ka = 1 and N = 10 / Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = 1 und N= 10 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  17. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Rectangular Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen Elements of the Impedance Matrix / Elemente der Impedanzmatrix Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  18. Induced Electric Surface Current of Different ka = 1 and N = 128 / Induzierter elektrischer Flächenstrom für verschiedene ka = 1 und N= 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  19. Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 128 / Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  20. Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 128 / Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  21. Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 128 / Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  22. Scattering Cross Section of ka = 1 and N = 128 / Streuquerschnitt bei ka = 1 und N = 128 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  23. Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  24. Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  25. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: … / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: … Calculation of the Scattered Field / Berechnung des Streufeldes Calculation of the Total Field / Berechnung des Gesamtfeldes Integer Counter / Ganzzahliger Zähler PEC Cylinder / IEL Zylinder Source / Quelle Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  26. Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall Imaginary Part / Imaginärteil Real Part / Realteil Magnitude / Betrag Incident Field / Einfallendes Feld Scattered Field / Streufeld Total Field / Gesamtfeld Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  27. Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen CG Method – Conjugate Gradient (CG) Method M. R. Hestenes & E. Stiefel, 1952 BiCG Method – Biconjugate Gradient (BiCG) Method C. Lanczos, 1952 D. A. H. Jacobs, 1981 C. F. Smith et al., 1990 R. Barret et al., 1994 CGS Method – Conjugate Gradient Squared (CGS) Method (MATLAB Function) P. Sonneveld, 1989 GMRES Method – Generalized Minimal – Residual (GMRES) Method Y. Saad & M. H. Schultz, 1986 R. Barret et al., 1994 Y. Saad, 1996 QMR Method – Quasi–Minimal–Residual (QMR) Method R. Freund & N. Nachtigal, 1990 N. Nachtigal, 1991 R. Barret et al., 1994 Y. Saad, 1996 Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  28. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung Non-singular Matrix / Nicht singuläre Matrix Solution Vector / Lösungsvektor Right-hand Side / Rechte Seite Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  29. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt) ℓ2-Norm / ℓ2-Norm ℓ1-Norm / ℓ1-Norm Used Vector Norms in Linear Algebra – Special Cases of the Hölder Norm / Verwendete Vektornormen in der Linearen Algebra – Spezialfälle der Hölder-Norm ℓ2-Norm / ℓ2-Norm ℓ∞-Norm / ℓ∞-Norm Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  30. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt) ℓ2-Norm / ℓ2-Norm Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  31. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung Iterative Method / Iterative Methode Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l lth Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  32. Conjugate Gradient Method (CG Method) /Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Iterative Method / Iterative Methode Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l l-th Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum Geometric Interpretation / Geometrische Interpretation Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  33. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Error Functional / Fehlerfunktional Scalar Coefficient, which Minimizes the Error Functional / Skalarer Koeffizient, welcher das Fehlerfunktional minimiert with the Residual Vector / mit dem Fehlervektor Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  34. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung Iterative Method / Iterative Methode Solution in Form of a Finite Sum / Lösung in Form einer endlichen Summe {p}(i) and {p}(j) are Mutually Conjugate if / {p}(i) und {p}(j) sind gegenseitig konjugiert Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  35. Conjugate Gradient Method (CG Method) – Convergence / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) – Konvergenz Wichtige Eigenschaft der CG Methode: Für eine beliebige nicht-singuläre N  N-Matrix [A], der CG-Algorithmus produziert in höchstens N-Iterations-schritten (bei unendlich genauer Arithmetik). Dies ist eine direkte Konsequenz des Faktum, dass L = N {p}-Vektoren den Lösungsraum aufspannen. Dass die Lösung in einer endlichen Anzahl von Iterationsschritten generiert wird, ist ein entscheidender Vorteil der KG-Methode gegenüber anderen iterativen Algorithmen. Important Property of the CG Method: For an arbitrary non-singular N  N Matrix [A], the CG algorithm produces in at most N iteration steps (assuming infinite-precision arithmetic). This is a direct consequence of the fact that L = N {p} vectors span the solution space. Finite-step termination is a significant advantage of the CG method over other iterative algorithms. Convergence: Yes or No? / Konvergenz: Ja oder Nein? Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  36. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Initialization / Initialisierung Guess / Schätze Iterate / Iteriere Stop here, if the error falls below some predefined value! Polak-Ribière Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  37. Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) Guess / Schätze Initialization / Initialisierung Iterate / Iteriere Stop here, if the error falls below some predefined value! Fletcher-Reeves Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  38. EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate Magnitude / Betrag Im Re Incident Field / Einfallendes Feld Scattered Field / Streufeld Total Field / Gesamtfeld Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  39. PEC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE / IEL Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE Boundary condition for / Randbedingung für Null field inside the scatterer / Nullfeld innerhalb des Streuers Direct scattering problem for PEC scatterer / Direktes Streuproblem für IEL Streuer Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ): Franz version / Franz-Version: Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version: Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version: Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  40. PMC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE / IML Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE Boundary condition for / Randbedingung für Null field inside the scatterer / Nullfeld innerhalb des Streuers Direct scattering problem for PEC scatterer / Direktes Streuproblem für IEL Streuer Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ): Franz version / Franz-Version: Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version: Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version: Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  41. PEC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IEL Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall Boundary condition for / Randbedingung für Null field inside the scatterer / Nullfeld innerhalb des Streuers Direct scattering problem for a PEC scatterer / Direktes Streuproblem für einen IEL Streuer Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ): TM Case / TM-Fall: EFIE MFIE TE Case / TE-Fall EFIE MFIE with / mit Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  42. PMC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IML Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall Boundary condition for / Randbedingung für Null field inside the scatterer / Nullfeld innerhalb des Streuers Direct scattering problem for a PMC scatterer / Direktes Streuproblem für einen IML Streuer Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ): TM Case / TM-Fall: EFIE MFIE TE Case / TE-Fall EFIE MFIE with / mit Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  43. EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: MFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: MFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen 2-D Case / 2D-Fall PEC Cylinder / IEL Zylinder Source / Quelle 2-D PEC TM MFIE / 2D-IEL-TM-MFIE This is a Fredholm integral equation of the 2. kind in form of a closed line integral for the unknown electric surface current density for a known incident field. / Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art in Form eines geschlossenen Linienintegrals für die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld. Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  44. PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE Internal Resonance Problem / Probleme mit internen Resonanzen Ill-Conditioned Matrix Equation – The Matrix Operator has a Null Space at these Resonance Frequencies / Schlechtgestellte Matrixgleichung – Der Matrixoperator besitzt einen Nullraum bei den Resonanzfrequenzen Non-Uniqueness Due to Internal Resonance Problem / Nichteindeutigkeit wegen den internen Resonanzen Remedy of the Non-Uniqueness / Lösung der Nichteindeutigkeit CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  45. PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE Antilla, G., N. G. Alexopoulos: Scattering from Complex Three-Dimensional Geometries using a Curvilinear Hybrid Finite-Element-Integral Equation Approach, Optical Soc. America, Vol. 11, pp. 1445-1457, April 1994. Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  46. PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  47. PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

  48. End of Lecture /Ende der Vorlesung Dr.-Ing. René Marklein - NFT II - SS 2006 - Lecture / Vorlesung - Mo. 10.07.2006

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