Fourier-Summen

1. Fourier-Summen Überlagerung von harmonischen Schwingungen

2. Inhalt Summen aus harmonischen Schwingungen • Zwei „Harmonische“ mit ähnlicher Frequenz • „Schwebung“ • Harmonische mit Vielfachen einer Grundfrequenz • Summe von zwei bis zu fünf dieser Schwingungen

3. Summe aus zwei harmonischen Schwingungen mit ähnlichen Frequenzen Frequenz der blauen Funktion: 0,95 Hz Frequenz der schwarzen Funktion: 1,00 Hz

4. Resultierendes Signal: Schwebung Die Frequenz der Schwebung ist viel kleiner als die der einzelnen Schwingungen

5. Summe aus Harmonischen Funktionen mit Vielfachen einer Grundfrequenz

6. Harmonische Funktion der Grundfrequenz Amplitude: f(t) = cos 2πf·t

7. Zwei harmonische Funktionen Amplitude der zweiten Funktion: f(t) = cos 2π·2f·t

8. Drei harmonische Funktionen Amplitude der dritten Funktion: f(t) = cos 2π·3f·t

9. Vier harmonische Funktionen Amplitude der vierten Funktion: f(t) = cos 2π·4f·t

10. Fünf harmonische Funktionen Amplitude der fünften Funktion: f(t) = cos 2π·5f·t

11. Erster Summand: „Harmonische“ der Grundfrequenz f(t) = cos 2π·1·t

12. Summe aus zwei harmonischen Funktionen f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t

13. Summe aus drei harmonischen Funktionen f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t

14. Summe aus vier harmonischen Funktionen f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t + cos 2π·4·t

15. Summe aus fünf harmonischen Funktionen f(t) = cos 2π·1·t + cos 2π·2·t + cos 2π·3·t + cos 2π·4·t + cos 2π·5·t

16. Summe aus Harmonischen mit Vielfachen einer Grundfrequenz An Stellen der Maxima der Grundschwingung erscheinen: • Ausgeprägte Maxima • Verstärkt um die Anzahl der Summanden • Breite proportional zum Kehrwert der Anzahl der Summanden • Zwischen diesen schmalen, hohen Maxima ist die Amplitude praktisch verschwindend klein • Einem Paukenschlag kann deshalb keine einzelne Frequenz („Ton“) zugeordnet werden: Er ist die Summe aus harmonischen Schwingungen zu einem „breiten Frequenzband“

17. Zusammenfassung • Die Überlagerung von harmonischen Schwingungen ähnlicher Frequenz führt zu Schwebungen • Die Überlagerung von harmonischen mit Vielfachen einer Grundfrequenz zeigt an Stellen der Maxima der Grundfrequenz • Schmale, aber um die Anzahl der Summanden verstärkte Maxima • Ein in der Zeit kurzes, „schlagartiges“ Ereignis besteht demnach aus vielen Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu einem „breiten Frequenzband“ • Je kürzer das Signal, desto breiter ist das Band Quelle für die Rechnungen: Harmonische_Mappe1.xls

18. finis