PREDIKATENLOGICA

1. PREDIKATENLOGICA §0. Inleiding

2. Kwantoren • (∀x) Universele kwantor Voor elke x geldt dat … • (∃x) Existentiële kwantor Er bestaat een x zodat … Voorbeelden: (∀x) (Mens(x) → Sterfelijk(x)) ¬ (∃x) (Mens(x) ∧ ¬ Sterfelijk(x))

3. Voorrangsregels Kwantoren binden sterker dan ¬ ∧ ∨ → ↔. Voorbeeld: (∃x) (Mens(x) ∧ Kanibaal(x)) heeft andere betekenis dan (∃x) Mens(x) ∧ Kanibaal(x) ((∃x) Mens(x))∧ Kanibaal(x)

4. Gebonden en vrije variabelen • Een variabele x (op een bepaalde plaats in een formule) heet gebonden indien ze voorkomt in het bereik van de kwantor (∀x) of (∃x)(of er deel van uitmaakt). • Het bereik van een kwantor is de deelformule waarop de kwantor betrekking heeft. Dit is de kleinste deelformule die erop volgt. • x is vrij(op een bepaalde plaats) indien niet gebonden. Voorbeeld: blauw is vrij: (∃x) Mens(x) ∧ Kanibaal(x) Mens(x) → (∃y) {Sterfelijk(x) ∧Vader(y,x)}

5. Interpretaties • Relatie-identifiers: bijvoorbeeld: Mens, Sterfelijk, Kanibaal, Vader, … • Een formule zonder vrije variabelen krijgt een waarheidswaarde (waar of vals) van zodra men vastlegt over welke verzameling de variabelen lopen (universum) en wat men precies bedoelt met de relatie-identifiers. Deze data noemt men een interpretatie. • Aan vrije variabelen moet men eerst waarden geven alvorens waarheidswaarde te bepalen.

6. Universums Voorbeeld: (∀x) {Mens(x) → (∃y) Vader(y,x)} • Universum = {nu levende wezens} Dan is de formule vals. • Universum = {wezens die ooit geleefd hebben} Dan is de formule waar. AFSPRAAK: een universum is niet leeg.

7. TARSKI-WERELDEN

8. Een Tarski-wereld bestaat uit figuren op een schaakbord • Minstens 1 figuur • 8x8 velden • Driehoek (Triangle) • Vierkant (Square) • Vijfhoek (Pentagon) • Groot, middelmatig of klein • Sommige figuren hebben een naam: a, b, … (hoogstens één)

9. De wereld 111.wld

10. … is een driehoek … is een vierkant … is een vijfhoek … is klein … is middelmatig … is groot … is (strikt) kleiner dan … … is (strikt) groter dan … Triangle (…) Square (…) Pentagon (…) Small (…) Medium (…) Large (…) Smaller (… , …) Larger (… , …) De relaties

11. … ligt links van … … ligt rechts van … … ligt voor … … ligt achter … … ligt tussen … en … LeftOf (… , …) RightOf (… ,…) FrontOf (…, …) BackOf (…,…) Between (…, …, …) De relaties (vervolg)

12. De Tarski-wereld-pred-taal • Relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, Small, Medium, Large, Smaller, Larger, LeftOf, RightOF, FrontOf, BackOf, Between. • Constanten: a, b, …, q (namen voor sommige figuren). • Variabelen: x, y, z, … • Gelijkheidssymbool: = • Kwantoren en connectieven:∀, ∃, ¬, ∧, ∨, →, ↔  Formules van de Tarski-Wereld-pred-taal. Universum = {de figuren op het schaakbord}

13. Vertaaloefeningen Vertaal de volgende uitspraak over Tarski-werelden naar de Tarski-wereld-pred-taal: Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggen.

14. Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggenOef 4 (1) demo1.utxt • ¬(∃x)(Pentagon(x) ∧ (∃y)BackOf(y,x)) • (∀x)(Pentagon(x) → ¬(∃y)BackOf(y,x)) • (∀x)(∀y)(Pentagon(x) → ¬BackOf(y,x)) 4. ¬(∃x)(Pentagon(x) → (∃y)BackOf(y,x)) Foutief. Dit is vals in elke wereld met een niet-vijfhoek.

15. Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggen. Maar laatste zin van vorige slide is vals in deze wereld.

16. Geen enkele vijfhoek heeft ietsachter zichliggen (*) (1) ¬(∃x)(Pentagon(x) ∧ (∃y)BackOf(y,x)) (2) ¬(∃x)(Pentagon(x) ∧ (∃y)FrontOf(x,y)) (1) is een trouwe vertaling van (*) (2) is een vertaling van (*) die niet trouw is

17. A is een vertaling van (*) asa A en (*) hebben zelfde waarheidswaarde in elke Tarski-Wereld Hier is (*) een bewering over Tarski-werelden in het Nederlands, en A een zin van de Tarski-pred-taal.

18. Een vertaling is een trouwe vertaling asa correctheid van de vertaling is onafhankelijk van precieze betekenis van de relaties en van hoe Tarski-werelden er uit zien. Trouwe vertalingen zijn logisch equivalent. Je eigen vertaling moet logisch equivalent met docent!!

19. Vertaaloefening 2 Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor de volgende uitspraak: Het aantal driehoeken die achter alle vierkanten liggen is hoogstens één.

20. Het aantal driehoeken die achter alle vierkanten liggen is hoogstens één. 1. ¬(∃x)(∃y){ x ≠ y ∧ Triangle(x) ∧ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(x,z) ∧ BackOf(y,z)) } 2. (∀x)(∀y){[ Triangle(x) ∧ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(x,z)∧BackOf(y,z))] → x = y } 3. (∃x)(∀y){[ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(y,z))] → y = x } Examen juni 2005, demo2.utxt

21. Vervolg Het aantal driehoeken die achter alle vierkanten liggen is hoogstens één. 3. (∃x)(∀y){[ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(y,z))] → y = x } 4. (∃x)(∀y){Triangle(y) → [(∀z)(Square(z) → BackOf(y,z)) → y = x ] } 5. (∃x)(∀y){ Triangle(y) → (∀z)[ (Square(z) ∧ BackOf(y,z)) → y =x ] } Foutief: ↔ aantal driehoeken die achter een vierkant liggen is hoogstens één. 2 driehoeken en 0 vierkanten →4 vals, 5 waar. Construeer een Tarski-wereld waarin 4 waar en 5 vals. (bv. 111.wld)

22. Software: Tarski’s World in LogicPalet • De tool kan nagaan of een zin al dan niet waar is in een gegeven Tarski-wereld. • De tool kan nagaan of jouw vertaling logisch equivalent is met die van de docent. (Ask Spass) • Oefeningen, bv: zoek wereld waarin een gegeven zin waar is. Je oplossing verifiëren! • Variabelen x, y, z, u, v, w, r, s, t • Twee soorten bestanden: .wld .utxt

23. Demonstratie • Open: Make TarskiWorld • Fig. verplaatsen en creëren /// bewerken /// size? • Waarheidswaarde • Open 111.wld • Open demo2.utxt • Exporteren. Copy-paste vanuit pdf. • Vertaaloefening 2 • AskSpass

24. §1. Structuren Een relatie op een verzameling D is een deelverzameling van Dn = {(x1, x2, …, xn) | x1, x2, …, xn∈ D}. n is het aantal argumenten van de relatie (n = 1, 2, 3, …). Voorbeeld: De relatie …is vader van …, op de verzameling D = { nu levende mensen }. Wiskundig bekeken is dit {(x1, x2) ∈ D2 | x1 is vader van x2}. Voor n = 1: relatie met 1 argument = een deelverzameling van D.

25. Structuren (vervolg) Een structuur D bestaat uit: • Een niet lege verzameling D (universum). • Een eindig aantal relaties op D. • Een eindig aantal functies van Dn naar D. • Een eindig aantal elementen van D (constanten). Voorbeeld: • Universum D = { mensen die ooit geleefd hebben } • Relaties: … is ouder dan … , … is mannelijk • Functies: de vader van … , de moeder van … • Constanten: Madonna, Britney Signatuur:<2,1;1,1;2>(geeft aantal argumenten, en aantalconstanten)

26. §2. Predikatenlogicatalen Vertrekkende van een eindig aantal relatie-identifiers, functie-identifiers, en constante-identifiers vormen we een formele taal (een pred-taal). Een identifier is een rij bestaande uit letters en cijfers die start met een letter. Voorbeeld: • Relatie-identifiers: • ouderDan (met 2 argumenten) • mannelijk (met 1 argument) • Functie-identifiers: • vader (met 1 argument) • moeder (met 1 argument) • Constante-identifiers: • MADONNA • BRITNEY Signatuur:<2,1;1,1;2>

27. Termen • De variabelen van onze taal zijn x, y, z, … of eender welke identifiers die geen relatie-, functie-, of constante-identifier zijn. • De termen: • Elke variabele is een term. • Elke constante-identifier is een term. • Als G een functie-identifier voorstelt met n argumenten, en als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is G(t1, t2, …, tn) ook een term.Ook voor [ ] { }. Voorbeelden: • vader(moeder(Madonna)) • moeder(moeder(x))

28. Formules en zinnen • Als P een relatie-identifier voorstelt met n argumenten, en als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is P(t1, t2, …, tn) een formule. • Als t1 en t2 termen zijn, dan zijn t1 = t2 en t1 ≠ t2 formules. • Als A en B formules zijn, dan zijn ook de volgenden formules: ( A ∧ B ) ( A ∨ B ) ( A → B ) ( A ↔ B ) ¬ AOok voor [ ] { } • Als A een formule is en x een variabele dan zijn (∀x) A en (∃x)A ook formules. • Een zin is een formule zonder vrije variabelen. Voorbeeld: (∃x) { ouderDan[moeder(MADONNA), vader(moeder(x))] ∧ mannelijk(x) }

29. ASCII versus Unicode-syntax • ASCII-karakters = karakters op Amerikaanse toetsenborden + enkele controle karakters. • ∀ ∃ ∧ ∨ ¬ → ↔ ≠zijn geen ASCII, maar wel Unicode karakters. Niet ondersteund door alle tekstverwerkers en email clients. • Daarom ASCII-syntax: A x in plaats van (∀x), E x in plaats van (∃x) / \ \ / ~ -> <-> <>

30. §3. Interpretaties van pred-talen • Zij L een pred-taal, bepaald door het geven van zijn relatie-, functie- en constante-identifiers. • Zij Deen structuur met zelfde signatuur als L. • Elke zin A van L kan geinterpreteerdworden in D op voor de hand liggende wijze: • De relatie-identifiers interpreteren door de relaties van D. • De functie-identifiers interpreteren door de functies van D. • De constante-identifiers door de constanten van D. • (∀y) … ‘voor elk object y in het universum van D geldt …’ • (∃x) … ‘er bestaat een object y in het universum van D zodat …’ • x = y steeds interpreteren door ‘ x is gelijk aan y ’ • Ofwel is A waar in D,notatie D ⊨A , ofwel vals: D⊭A.

31. Bedelingen • Zij D het universum van de structuur D. • Een bedeling s voor D is een functie s: {variabelen} → D. • Zij B een formule van L met vrije variabelen. • B is waar in D onder de bedeling s, als B waar is in D nadat men de vrije variabelen vervangen heeft door wat de bedeling s er aan associeert. • Notatie: D,s ⊨B • Anders is B vals in D onder de bedeling s.

32. Zeer belangrijke definities • Zij A en B formules van een pred-taal L. • A is logisch waar asa A waar is in elke structuur D (met zelfde signatuur als L) onder elke bedeling voor D. Notatie⊨A Dit betekent dat A waar is in elke interpretatie. • A en B zijn logisch equivalent asa A ↔ B logisch waar is. Dit wil zeggen dat A en B dezelfde waarheidswaarde hebben in elke interpretatie. • Een theorie in L is een verzameling van zinnen van L. Een model voor een theorie T is een structuur waarin de zinnen van T waar zijn.

33. Al dan niet logisch waar ??? • (∀y){(∀x)R(x,y) → (∃x)R(x,y)} • (∃x)(∀y) x = y • ¬(∃x)(∀y) x = y • (∀x){Small(x) ∨ Medium(x) ∨ Large(x)} • (∃x){W(x) → (∀y)S(y)} → {(∀x)W(x) → (∀y)S(y)} • {(∀x)W(x) → (∀y)S(y)} → (∃x){W(x) → (∀y)S(y)} Oplossing: Alleen 1,5,6 zijn logisch waar.

34. Deca-werelden • Een DecaWorld is een structuur met • universum {1,2,…,N}, met 1 ≤ N ≤ 9, • hoogstens 4 relaties met 1 argument, • hoogstens 5 relaties met 2 argumenten, • hoogstens 1 relatie met 3 argumenten, • geen functies, • willekeurig aantal constanten. • Software-tool: DecaWorld in LogicPalet!!!

35. Oefening Zij A de zin: (∀x)(∃y){ (Triangle(y) ∧ Square(x)) → ((∀z)Triangle(z) ∧ (∀z)Square(z)) } 1. Is A waar in elke Tarski-wereld? Ja, want als er een niet-triangle ligt neem die dan voor y, else ¬Square. • Is A logisch waar? Nee, vals in Deca-wereld met: Triangle altijd waar, Square waar voor sommige maar niet voor alle. Bv: Universum = {1,2}, Triangle = {1,2}, Square = {1}. 3. Geef een zin B met slechts 1 kwantor zodat: • B is waar in elke Tarski wereld, • A is een logisch gevolg van B. Oplossing: Neem voor B: ¬(∃x){Triangle(x) ∧ Square(x)}.

36. §4. Logische Equivalenties ¬(∀x)A ↔ (∃x)¬A ¬(∃x)A ↔ (∀x)¬A

37. Doorschuiven kwantoren I (∃x)(A ∨ B) ↔ (∃x)A ∨ (∃x)B (∀x)(A ∧ B) ↔ (∀x)A ∧ (∀x)B (∃x)(A → B) ↔ ((∀x)A → (∃x)B)kwantor klapt om Bewijs (3): (∃x)(A → B) equiv (∃x)(¬A ∨ B) equiv (∃x)¬A ∨ (∃x)B equiv ¬(∀x)A ∨ (∃x)B equiv (∀x)A → (∃x)B

38. Doorschuiven kwantoren II Zij S formule waarin x niet vrij voorkomt. Zij A(x) formule waarin x vrij mag voorkomen. (∃x)S ↔ S , (∀x)S ↔ S (∃x)(A(x) ∧ S) ↔ ((∃x)A(x) ∧ S) (∀x)(A(x) ∨S) ↔ ((∀x)A(x) ∨ S) (∀x)(A(x) → S) ↔ ((∃x)A(x) → S) kwantor klapt om (∀x)(S → A(x)) ↔ (S → (∀x)A(x))

39. Verwisselen van kwantoren Logisch waar : (∀x)(∀y)A ↔ (∀y)(∀x)A (∃x)(∃y)A ↔ (∃y)(∃x)A (∃x)(∀y)A → (∀y)(∃x)A Niet logisch waar voor sommige formules A : (∀y)(∃x)A → (∃x)(∀y)A bv. Voor A de formule x = y

40. Gebonden variabele van naam veranderen Zij x,t variabelen, A(x) formule. Zij A(t) bekomen uit A(x) door substitutie van t voor x. (Vrije voorkomens x vervangen door t) Veronderstel: t komt niet voor in A(x). Dan: (∃x)A(x) ↔ (∃t)A(t) (∀x)A(x) ↔ (∀t)A(t)

41. t mag niet voorkomen in A(x) Want anders, bijvoorbeeld: • Neem voor A(x): ¬x = t Dan is (∃x)A(x)↔(∃t)A(t) de formule: (∃x)¬x = t ↔ (∃t)¬t = t • Neem voor A(x): (∀t)x = t Dan is(∃x)A(x)↔(∃t)A(t) de formule: (∃x)(∀t)x= t ↔ (∃t)(∀t)t= t

42. Prenex normaalvorm Rij kwantoren, gevolgd door een formule B zonder kwantoren, met geen buitenste haakjes weggelaten in B. (∀x)(∃y)(Square(x) → RightOf(x,y))prenex (∀x)Square(x) ∧ Larger(x,a)geen prenex Eigenschap:Elke formule is logisch equi-valent met een prenex normaalvorm. Werkwijze: zie cursustekst!!!

43. §5. OefeningenAl dan niet logisch waar Notatie: Zij Deen structuur met signatuur <2,1>. Zij a,b elementen van het universum van D. Zij s een bedeling voor D met s(v1) = a, s(v2) = b. In plaats van D,s⊨ (∃v1)(P(v1,v2) ∧ R(v2)) mogen we ook schrijven D⊨ (∃v1)(P(v1,b) ∧ R(b)). Maak alle oefeningen van §5 in de cursustekst!!!

44. §6. Logische gevolgen • Zij T een verzameling zinnen en B een zin. • Definitie: B is een logisch gevolg van T asa B waar is in elke structuur waarin alle zinnen van T waar zijn. • Zij T = {A1 , A2 , A3 , …, An}, dan geldt: B is een logisch gevolg van T asa ⊨ A1∧ A2 ∧…∧ An → B Maak alle oefeningen van §6 in de cursustekst!!!

45. Logische gevolgen: motivatie 1. Britney is een ster. • Elke ster heeft talent of heeft een slimme manager. • Elke ster haat minstens één knappe ster zonder talent. • Christina haat alle sterren die een jaloerse manager hebben. • Slimme managers van knappe sterren zijn altijd jaloers. • Britney en Christina haten beiden een zelfde ster. Is (6) een logisch gevolg van (1),(2),…,(5) ?

46. Vertalen naar pred-taal ster(Britney) (∀x)(ster(x) → talent(x) ∨ (∃y)(manager(y,x) ∧ slim(y))) (∀x)(ster(x) → (∃y)(haat(x,y) ∧ ster(y) ∧ ¬talent(y) ∧ knap(y))) (∀x)(ster(x) ∧ (∃y)(manager(y,x) ∧ jaloers(y)) → haat(Christina,x)) (∀x)((∃y)(manager(x,y) ∧ ster(y) ∧ knap(y) ∧ slim(x)) → jaloers(x)) (∃x)(ster(x) ∧ haat(Britney,x) ∧ haat(Christina,x)) Zo kan een computer dit probleem behandelen! Toepassing: deductieve databanken.

47. §7. De Peano Axioma’s • L+. is de pred-taal met 2 functie-identifiers PLUS en MAAL met elk 2 argumenten, en 2 constante-identifiers ZERO en ONE. We kunnen in deze taal over ℕspreken. • PA is de verzameling der Peano axioma’s. Dit zijn zinnen van L+. die de meest fundamentele eigenschappen van ℕ weergeven: • Commutativiteit en associativiteit van + en • • (∀x) 0+x = x , (∀x) 1 • x = x • Distrubitiviteit van • ten op zichte van + (zin 3 in cursustekst). • (∀x)(∀y)(∀z) ( x + y = x + z → y = z ) , (∀x) x + 1 ≠ 0 • Principe van de inductie (zie cursustekst). • Alle klassieke eigenschappen van ℕ zijn logisch gevolg van PA.

48. §8. Waarheidsbomen: doel Zij A1 , A2 , A3 , …, An , B zinnen. Doel: aantonen dat B een logisch gevolg is van A1 ,…,An. Werkwijze: Bewijs uit ongerijmde: • Hypothesen: {A1 , A2 , A3 , …, An , ¬B} = Σ • Gevolgtrekkingen maken. (Strikte regels.) • Gevalsonderscheidingen maken. • Totdat je contradictie bekomt in elk geval. Zo ontstaat een boom: De gevalsonderscheidingen leveren de takken van de boom.

49. Waarheidsbomen: voorbeeld A Dus (¬2) is logisch gevolg van (1)

50. Waarheidsbomen: Definitie Zij Σ een verzameling zinnen, bijvoorbeeld: Σ = {A1 , A2 , A3 , …, An , ¬B}. Een waarheidsboom voor Σ is een boom waarbij aan elk knooppunt een zin geassociëerd is, en die opgebouwd is door toepassing van een aantal regels. De zinnen mogen nieuwe constante-identifiers bevatten die niet voorkomen in L.