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ROCK. A Robust Clustering Algorithm for Categorical Attributes Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim. Presentazione di Sara Liparesi e Francesco Nonni. Sistemi Informativi per le Decisioni a.a. 2005/2006. Prof. Marco Patella. ROCK Clustering Algorithm RObust Clustering using linKs.

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Presentation Transcript

  1. ROCK A Robust Clustering Algorithm for Categorical Attributes Sudipto Guha, Rajeev Rastogi, Kyuseok Shim Presentazione di Sara Liparesi e Francesco Nonni Sistemi Informativi per le Decisioni a.a. 2005/2006 Prof. Marco Patella

  2. ROCK Clustering AlgorithmRObust Clustering using linKs • Sviluppato da Sudipto Guha, Rajeev Rastogi e Kyuseok Shim nel 1999 • Algoritmo gerarchico agglomerativo • Adatto allo studio dei dati categorici • Basato su misure di similarità non metriche

  3. Dati categorici ???? dati dati dati MARKETING Limiti degli algoritmi di clustering tradizionali • Algoritmi partizionanti: • Non adatti ad attributi categorici • Algoritmi gerarchici: • Non sempre adatti a trattare attributi categorici • La distanza fra i centroidi dei cluster, nel caso di attributi categorici, è una povera stima della similarità fra i clusters • Ripple Effect • Alcuni algoritmi usano delle misure di distanza diverse da quelle euclidee (es. Jaccard coefficient), ma si concentrano solo su due punti per volta ignorando il vicinato dei punti stessi (approccio locale)

  4. Concetti fondamentali • Neighbors • Links • Criterion Function • Goodness Measure

  5. Neighbors I vicini di un punto sono quei punti che possono essere considerati ragionevolmente simili ad esso: • Dove: • sim è una generica funzione di similarità che indica la vicinanza tra coppie di punti; • Θ è un valore di soglia. Esempio: Market Basket Data Date due transazioni T1, T2 una possibile funzione di similarità è:

  6. Links Il concetto di links viene introdotto per definire il numero di vicini in comune fra una coppia di punti pi, pj. • Tale numero viene espresso da link(pi,pj). • Questa proprietà permette all’algoritmo di individuare le coppie di punti che potenzialmente possono essere unite in un unico cluster. • In generale, punti appartenenti a un singolo cluster avranno un grande numero di vicini in comune e conseguentemente un alto numero di links. Esempio

  7. Links: esempio Fonte: Blockbuster.it

  8. T1 T2 T4 T2 T1 T3 T4 T5 T6 T3 T2 T5 T6 T4 T1 T2 T5 T6 T5 T2 T3 T4 T6 T6 T2 T3 T4 T5 Links: esempio (2) Ponendo θ=0,5 i vicini sono: Link(T3,T4)=3 Link(T1,T5)=2 …

  9. Criterion Function • Obiettivo: • Massimizzare il numero di links tra i punti appartenenti allo stesso cluster • Minimizzare il numero di links tra punti appartenenti a cluster diversi • Dove: • k = n° di clusters, • ni = n° di punti nel cluster Ci • (ni)1+2f(θ) è il numero atteso di links tra coppie di punti in Ci

  10. Goodness Measure • La criterion function misura la bontà della soluzione trovata: il clustering migliore è quello che ha il più alto valore della funzione obiettivo. • Ad ogni step è però necessaria una indicazione su quali sono i migliori 2 clusters da fondere. • Per la coppia di cluster Ci,Cj si definisce la goodness measure g(Ci,Cj) Intuitivamente possiamo pensare di unire due cluster che hanno molti vicini in comune

  11. Goodness Measure (2) • E’ necessario anche un denominatore che rappresenti il numero atteso di cross-links fra clusters. • Dove: • (ni+nj)1+2f(θ) è il numero di links atteso tra coppie di punti nel cluster unione dei singoli cluster Ci e Cj e composto da ni+nj elementi.

  12. ROCK Clustering Algorithm • Le fasi principali di questo algoritmo sono: • L’algoritmo ROCK non lavora su tutti i punti del data set, ma ne estrae un campione e esegue il clustering solo su di essi • E’ necessario fornire a ROCK diversi parametri, tra cui il numero di clusters desiderati • La nozione di links tra punti permette un approccio globale al problema del clustering • I restanti punti sono inseriti nei clusters trovati da ROCK in un secondo momento

  13. ROCK Clustering Algorithm (2) Dati di input: (k,S) • Viene richiamata la proceduracompute-links(S)

  14. Procedura compute-links • Con questa procedura viene calcolato, per ogni coppia di punti, il numero di vicini in comune • L’idea di base è che se considero un punto (A) e calcolo quali sono i suoi vicini (ad esempio B e C) allora ogni coppia di vicini (B e C in questo caso) avrà sicuramente un vicino in comune che è il punto stesso (A) • La procedura deve essere ripetuta per ogni punto campionato e il contatore deve essere incrementato per ogni coppia di vicini

  15. Ponendo θ=0,5 i vicini sono: T1 T2 T4 T2 T1 T3 T4 T5 T6 T3 T2 T5 T6 T4 T1 T2 T5 T6 T5 T2 T3 T4 T6 T6 T2 T3 T4 T5 Procedura compute-links : esempio 2 1 Link(T2,T4)= 1 Link(T5,T6)= Link(T1,T3)= 1 Link(T2,T5)= 1 1 Link(T2,T6)= Link(T1,T4)= 1 Link(T1,T5)= 1 Link(T1,T6)= 1 Link(T3,T4)= 1 Link(T3,T5)= 1 Link(T3,T6)= 1 Link(T4,T5)= 1 Link(T4,T6)= 1

  16. For each-loop Per ogni valore campionato sviene costruita una pila locale q[s] contenente tutti i punti j con link[s,j]≠0,ordinati in maniera decrescente secondo la goodness measure rispetto a s. ROCK Clustering Algorithm (2) Dati di input: (k,S) • Viene richiamata la proceduracompute-links(S) • Viene inoltre costruita una pila globale Qcontenente tutti i clusters/punti ordinati in modo decrescente secondo la loro miglior goodness measure.

  17. ROCK Clustering Algorithm (3) • While-loop • Mediante questo loop si effettua la vera e proprio operazione di clustering. • Vengono identificati i clusters u e v come clusters che più si prestano a diventare un unico cluster. • Viene creato un nuovo cluster w che contiene tutti i punti di u e v. Esempio

  18. Q q[3] Q Q 1 3 3 4 v q[u] 4 1 1 1 5 q[4] 2 2 2 1 1 4 4 3 u u 4 5 5 5 1 5 2 v Q w 2 4 1 U 3 5 3 Esempio: scelta dei miglior clusters da unire 1 3 5 4 2 …

  19. ROCK Clustering Algorithm (4) • for each sub-loop • E’ ora necessaria una fase in cui viene considerato il cluster unico w invece che i singoli clusters u e v. • Tutti i clusters x che precedentemente avevano relazioni con i singoli clusters u o v devono ora prendere in considerazione il cluster unico w. • Infine viene aggiornato Q con il nuovo custer w in base alla sua miglior goodness measure (locale). Inoltre vengono deallocate le memorie che contenevano i local heap dei singoli cluster u e v.

  20. Labeling dei dati • Non tutti i punti del data set sono stati forniti in input a ROCK • Sono stati generati dei cluster a partire da un sottoinsieme del data set • Come assegnare i punti che sono sul disco ai clusters individuati? • Estraggo da ogni cluster i un frazione dei punti (Li) • Per ogni punto p del data set letto da disco calcolo per ogni cluster i: • Il punto p è assegnato al cluster i dove la funzione precedentemente calcolata assume valore massimo

  21. Complessità spaziale e temporale Nel caso peggiore la complessità temporale dell’algoritmo ROCK è: • Dove: • n è il numero di punti in input • mm è il numero massimo di vicini • ma è il numero medio di vicini La complessità spaziale è:

  22. Risultati Sperimentali L’algoritmo ROCK è stato testato su diversi data set: Sono stati confrontati i risultati dell’algoritmo ROCK e di altri algoritmi di clustering gerarchico, applicati agli stessi data set.

  23. RisultatiSperimentali

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