第三节 Taylor 级数

1. 第三节 Taylor级数 1 Taylor级数展开定理 2 将函数展开成Taylor级数

2. 3.1 Taylor级数展开定理 实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是 非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质 以及进行数值计算的一种工具. 对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛 圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析 函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —Taylor级数. 这是解析函数的重要特征.

3. 定理4.10 (Taylor展开定理)设 在区域D 内解析, 为D内的一点, R为 到D边界的距离 则 在 内可 其中 在 点的Taylor级数. (D是全平面时, R=+), 可展开为幂级数 R . 系数cn按上述表示的幂级数称为

4. 证明 对 内任意一点z, 使得 并且 作正向圆周 . 因为当 时, 存在 r>0, 以z0为圆心, r为半径 由 R . C .

5. 从而 下面证明积分号下的级数可在C上逐项积分.

6. 因为 是 D上的解析函数, 所以 在C 上有界, 即存在 使得当 时, 因此, 在 上, 其中, 可知在C上是一致收敛 前面积分号下的级数可在C上逐项积分.

7. 再根据 定理4.10给出了函数在 z0点的邻域内展开成 Taylor级数的公式, 同时给出了展开式的收敛半 径R=|z0-a|, 其中a是离z0最近的 f (z)的奇点.

8. 是 D上的解析函数, 是 定理4.11　设 内可展成幂级数 D内的点，且在 在 则这个幂级数是 点的Taylor级数，即 Taylor展开式的惟一性定理 注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接 方法奠定了基础.

9. 证明　因为在 内， 取 则由 收敛， 得 有界, 即存在 于是 使得 则 其中 所以 是收敛的正项级数. 绝对收敛.

10. 级数 在 上 将上式在 上逐项积分，利用 以及 可以逐项积分. 又因为 因此, 解析函数在一点展开成幂级数的结果惟一.

11. 3.2 将函数展开成Taylor级数 将函数展开为Taylor级数的方法: 1. 直接方法; 2. 间接方法. 1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数 然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.

12. 在 的Taylor展开式. 例3.1 求 因为 在复平面上解析，且 所以它在 处的Taylor级数为 并且收敛半径

13. 2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .

14. 本例利用直接方法也很简单 并且收敛半径 例3.2　利用 同理

15. 例3.3　求 在 点邻域内 是 的惟一奇点, 且 故收敛半径 的Taylor级数. 解　 逐项求导，得

16. 展开为z的幂级数. 例3.4　将 根据例3.3， 令 则

17. 例3.5 求对数函数的主值 在z=0点 函数 在复平面中割去从点-1沿 的Taylor级数. 负实轴向左的射线的区域内解析. 因为

18. 所以 把上式逐项积分，得

19. (a为复数)的主值 例3.6　求幂函数 显然, 在复平面中割去从点-1沿负 因此在 内, 可展开为z的幂级数. 在z=0点的Taylor展开式. 实轴向左的射线的区域内解析. 根据复合函数求导法则, 按照直接方法展开如下:

20. 令z=0, 有

21. 于是

22. 例3.7　将函数 在 处展开 当 即 时, 成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.

23. 附: 常见函数的Taylor展开式