Colloque Autosimilarité et Applications Self Similarity And Applications

1. Colloque Autosimilarité et Applications • Self Similarity And Applications Technique d'estimation multi-résolutions des paramètres dans les images auto-similaires.Ancuta Natalita PourtierMembre IEEE Computer SocietyE-mail: apourtier@wanadoo.fr

2. But: • Analyse des images qui représentent des scènes naturelles: segmentation et reconnaissance de régions dans les photographies aériennes. Application possible: occupation du sol. Problèmes: .les images ne contient pas des régions avec un seul type de caractéristiques. .les scènes sont photographiées aux différentes échelles. . les images sont ambiguës: même la perception humaine sur une image diffère en fonction de la personne et du moment de l’analyse de l’image.

3. Exemple: La Cascade Niagara à deux échelles différentes.

5. Idées: • méthode d’analyse avec plusieurs type de caractéristiques, • plusieurs phase de segmentation de l ’image, • éventuellement, des algorithmes de sélection des caractéristiques « intelligentes ». Objectif de l’article: • Estimation de paramètres des régions avec des caractéristiques auto-similaires.

6. Méthode: Analyse multi - échelles des images par leurs texture. Model de l’image: Le mouvement brownien multi-fractionnaire (fBm), décrit par un modèle basé sur la décomposition en ondelettes de l’image, le Modèle en Couches [A.Benassi et all]. Caractéristiques: -le paramètre de Hurst (la dimension fractale) -le paramètre d’intermittence (la percolation).

7. Estimateurs:-issus du Modèle en Couches, appliqué sur des coupes dans la variante en niveaux de gris de l’image. Observation: si l’image est représentée par un fBm 2D, alors les coupes sont des fBm 1D. -extension sur la transformée en ondelettes de Haar des accroissements du fBm. Idées principales: . Analyse multi - résolutions de l’ image sur des sections (coupes) 1D . . Extension de paramètres du Modèle en Couches, dont les estimateurs respectives offrent une analyse multi-résolutions « horizontale », vers la transformation effective en ondelettes de Haar de l ’image, qui assure une analyse multi-résolution « verticale ».

8. Exemple de coupes:

9. Rouge: eau , Vert: forêt

10. Motivation: • Les propriétés d’auto-similarité du processus stochastique brownien multi-fractionnaire, décrit par le Modèle en Couches [A.Benassi et all]. • La capacité des ondelettes, en particulier dans les coefficients de détail, de mettre en évidence la texture des images. • La propriété des ondelettes de Haar de « blanchir » le bruit Gaussien Fractionnaire Discret, en particulier les accroissements du processus stochastique représentant les images. • Réduction du temps de calcul par la méthode des coupes.

11. Base Mathématique I. Le Modèle en Couches représente un processus gaussiens auto-similaires (pGas) écrit sur une base d'ondelettes adaptées, {Fj,k}, sous la forme suivante : où x R ,0<H<1 etYj,k v.a. iid

12. Les paramètres du Modèle en Couches: [A.Benassi et all] Soit N = et L le pas des accroissements du processus X(x) (multi - résolution horizontale) . Soit 1. Le paramètre de Hurst H, lié à la dimension fractale, estestiméavec la relation: H log( ) = 0.5 log ( )

13. 2.Le paramètre d’intermittence d=2P, ou la percolation: si une branche reste dans l’arbre T, qui représente le processus X(x), avec la probabilité p, au niveau j de l’arbre on a feuilles. dest estimé avec la relation: log = log( )

14. II. La transformée de Haar des accroissementsdu mouvement Brownien fractionnaire 1D d’index H, BH(t), représentant les coupes dans l’image originale, avec 0<H<1: accroissements de BH(t) (les coupes) a0(t) set de sous-images d1(t) a1(t) multi-résolution verticale. a2(t) d2(t)

15. les coefficients d’approximations, am(t) et les coefficients de détail, ou les différences, dm(t), sont définis par les relations suivants: a0(t)=BH(t+1)-BH(t) am(t)=am-1(2t) + am-1(2t+1) dm(t)=am-1(2t) - am-1(2t+1)

16. Propriétés importantes: Les relations (1) et (2) permettent le calcul des variances des coefficients. La relation (3) montre la pertinence de l hypothèse de la présence des informations de texture dans les coefficients de détail: la différence entre l énergie de l ’image initiale et sa variante plus lisse se conserve dans les coefficients de détail.

17. 1.Extension des paramètres du Modèle en Couches à la transformée de Haar des accroissements: .Le paramètre de Hurst, HA, calculé sur les coefficients d’approximations, avec la relation: Var(am(t))=22mH s2 .Le paramètre d’intermittence, dA,, calculé sur les coefficients d’approximations,avec la relation:

18. Soit M le niveau maximal de décomposition en ondelettes de Haar de l’image, 2M < N, avec N le nombre de pixels dans la courbe analysée. Soit N(m) le nombre de coefficients de détail, respectif d’approximation, de la décomposition de niveau m. Soit (Xm1,Xm2,…,XmN(m)) les coefficients de détail au niveau m. 2.Le paramètre de Hurst, HD, calculé sur les coefficients de détail, par la méthode de la vraisemblance maximale [L.Kaplan et all]:

19. Après le calcul, avec la notation b=22H , on obtient b, respectif H, comme étant une solution de l’équationsuivante: est la variance au niveau m.

20. Mise en œuvre informatique Système de programmes écrits sous Matlab avec l’interface graphique réalisée au Cemagref. Apprentissage image Calcul de paramètres Classification

21. Calcul de paramètres • Les paramètres H et P du Modèle en Couches: calculés sur les coupes, avec la méthode du Laplacien, sur des voisinages de (x-L,x+L), L=1..8 pixels. • La transformée de Haar est appliquée sur les accroissements du fBm qui représente les coupes sur 4 niveaux. • Les paramètres HA et PA sont calculésau niveau m=1. • Le paramètre HD est calculé avec la méthode de la vraisemblance maximale. • Comme valeurs qui caractérisent l’image globale sont retenues les valeurs moyennes des paramètres. l’analyse « horizontale »:

22. Conditions des tests: • images de synthèse, pour vérifier la validité des paramètres. • set d’images numériques représentant des scènes de la nature, photographiées sans conditions spéciales de positionnement et d’illumination. • images d’apprentissages:une seule image pour chaque type de scène. • classification: distance euclidienne.

23. Les images analysées: 256x256 pixels, 256 niveaux de gris Les coupes: droits horizontales Xt={z=I(.,t), t=16(y-1)+1} Images d’apprentissage.

24. Valeurs des paramètres pour les images d’apprentissage

25. Résultats des expériences: Cas d’images classifiées correctement par tous les paramètres.

26. Valeurs des paramètres pour les images classifiées correctement.

27. Cas d’images d’eau et de forêt mal classifiées.

28. Valeurs des paramètres pour les images mal classifiées

29. Conclusions: La technique d’analyse des images proposée dans cet article est une utilisation conjointe des deux méthodes d’analyse: • la méthode proposée par A.Benassi et ses collaborateurs, qui suppose l’image modelée par un processus gaussien auto-similaire, représenté par une décomposition sur une base d'ondelettes (le Modèle en Couches). • la méthode qui utilise la transformée effective en ondelettes de Haar de l’image. Dans ce travail nous proposons une extension ‘naturelle ’ des paramètres issus du Modèle en Couches aux coefficients d ’approximation des accroissements.

30. Les deux méthodes offrent une analyse multi-résolutions de l’image: • Le Model en Couches, par les estimateurs misent en place pour le calcul des paramètres, permettent une estimation globale et multi-résolutions « horizontales » . • La transformée de Haar, permet la séparation des informations contenues dans les coefficients d’approximations et les coefficients de détail, qui conservent les différences entre l’image originale et ses variantes plus lisses. Elle assure aussi l ’analyse multi-résolutions « verticale »

31. Pour l'analyser des images bidimensionnelles, dans le but d'éviter l'augmentation démesurée du temps de calcul, nous proposons une analyse de similarité directionnelle, basée sur des coupes de dimension topologique 1. Dans cet article sont présentés les résultats des expériences effectuées sur des coupes horizontales à une distance fixe, de 16 pixels.Les résultats obtenus dans la classification des images sont comparables avec les résultats obtenus en calculant les paramètres sur l’image entière (2D).

32. [1] Albert Benassi ,''Analyse de textures d'images'', Cours de DEA, Informatique - Productique - Imagerie Médicale, Option 3: Traitement d'images-Applications médicales,1998-1999. • [2]L.M.Kaplan, C.-C. Jay Kuo, ''Texture Segmentation via Haar Fractal Feature Estimation'', Journal of Visual Communication and Image Représentation, Vol.6, No.4, December, pp.387-400,1995 • [3]M. J. Y. Reveilles, ''Les ondelettes en imagerie'', Cours de DEA, Informatique - Productique - Imagerie Médicale, Option 3: Traitement d'images-Applications médicales,1998-1999.