PROIECT LA INFORMATICA

1. PROIECT LA INFORMATICA VECTORII IN MATEMATICA CLASA a x-a A

2. Ceeste un vector ? • Vectoruleste un element geometric, care are un sens, directiesimodul (lungime). • Vectorulestereprezentat geometric printr-un segment de dreaptaorientat. • Modululsaulungimeavectoruluiestedistantadintrecapetelevectorului ,iardirectiavectorului se refera la directia de parcurs de la A la B .

3. Vectori • Marimile vectoriale (vectorii) sunt marimile complet caracterizate de modul (valoare absoluta), de directie si de sens. • Directia si sensul dau orientarea vectorului. Daca una din caracteristilice vectorului se modifica avem de a face cu un alt vector. Elementele unui vector: punct de aplicatie, varful vectorului si dreapta suport.

4. SEGMENTE ORIENTATE Fie A, B douapunctediferite in planul P. Celedouapuncte determinapedreapta d=AB douasemidreptediferite: s1=(AB si s2=(BA. Celedouasemidrepte au sensuridiferite. O perecheordonata (A,B) de puncte ale pla- nuluidetermina in mod unic: • Un segment [AB] cu lungimea l=d(A,B) ; • O directie in plan, directiedaca de dreapta AB; • Un sens dat de semidreapta s1 =(AB. Perecheaordonata (B, A) determinaacelasi segment [AB], aceeasidirectie ca si perechea (A, B) iarsensuldeterminat de ea estesensul opus sensuluideterminat de perechea (A, B). DEFINITIE: O perecheordonata de puncte (A, B) din plan se numestesegment orientatsau vector legat.

5. Definitii: • Punctul A se numesteoriginea (punctul de aplicatie), iar B extremitatea(varful) segmentuluiorientat AB. • Lungimeasegmentului [AB] se numestemodululsegmentuluiorientat AB si se noteaza |AB|. • Dreapta AB se numestesuportulsegmentuluiorientat AB, iardirectiaei se numestedirectiasegmentuluiorientat AB. Douasegmente orientate AB si CD suntegaledacasinumaidaca A=C si B=D. Douasegmente orientate AB si CD au aceeasidirectiedacadreptele AB si CD au aceeasi directie. Douasegmente care au aceeasidirectie se numesccoliniare. Douasegmente orientate AB si CD au acelasi sens dacasemidreptele (AB si (CD au acelasisens. Segmentulorientatpentru care originea coincide cu extremitatea se numeste segment nul (vector nul)si se noteaza cu 0.

6. VECTORUL DE POZITIE AL UNUI PUNCT IN PLAN Pentrufixareapozitieiunuipunct in plan sau in spatiu s-au consideratdiferitesisteme de referinta: • Axele de coordonate-punctulestedeterminat prin coordonatele sale carteziene; • Laturileunuitriunghi-punctulestedeterminat prim coordonatele sale triliniare (normale, baricentrice, etc.); • Axapolarasioriginea-punctulestefixat prin coordonatelepolare (distanta, unghiuri). Folosindcalculul vectorial, pozitiaunuipunct A in plan estebinedeterminatadaca se alege un punct O al planuluisi se cunoastevectorul OA. Intr-adevar, punctul A esteextremitateavectorului OA, care are originea O. VectorulOa care determinapozitiapunctului A in plan, se numestevectorul de pozitie al punctului A si se noteaza cu rA .

7. Adunarea vectorilor in plan Adunareasegmentelor orientateRelatialuiChasles Fie AB si BC douasegmenteorientate.Sumacelordouasegmente orientate estesegmentulorientat s=AC. B A B C A C B C A Asadar,pentruoricarepuncte A,B,C din plan are loc egalitatea: AB+BC=AC(relatialuiChasles) Vomspune ca vectorulsreprezintasumavectorilor a si b sivomscrie s=a+b.

8. Vectorii a si b se numesccomponente, iar s vectorulsumasauvectorulrezultant al vectorilor a si b. Regula de adunaredescrisa anterior se numesteregulatriunghiului. B s=a+b A C Regulaparalelogramului: Fie vectorii a, b datiprinreprezentantiilor AB si BC. Considerandpunctul D astfelincatAD~BC, se observa ca patrulaterul ABCD este un paralelogram in care AC, reprezentant al vectoruluisuma s, estediagonalapentruparalelogram. B C A D

9. Inmultirea cu scalari a vectorilor Definitie: Fie aєR si v un vector din plan. Vectorulα∙v esteprindefinitie un vector care are aceeasidirectie cu v, modululegal cu lαl∙lvl, acelasisens cu v dacaα>0 sausenscontrarlui v dacaα<0 sieste vector nuldacaα=0. Proprietati ale inmultirii cu scalari: 1. Vectorii v siαv suntcoliniari; 2. α∙v=0 dacasinumaidacaα=0 sau v=0; 3.1∙v=v si(-1) ∙v=-v.

10. Reper cartezian in plan Un repercartezianortogonal in planestedefinit de o perecheordonata de axe perpendiculare, avandaceeasiorigine O. Punctul O se numesteorigineareperului. Prima axa,notata Ox, se numesteaxaabsciselor, iar a douaaxa, notataOy, se numesteaxaordonatelor. Notatiauzualapentru un repercartezianortogonal in plan estexOysau (O,i,j) ,unde I, j suntversorii (vectoriiunitate)pentruceledoua axe. y Doivectori a si b suntcoliniaridacasinumaidacacoordonatelelor in reperulcartezianortogonal (O,i,j) suntproportionale. M1 M j O i M2

11. Descompunerea unui vector dupa doua directii date Fie (∆1),(∆2) douadirectii date de dreptele d1respectiv d2sivectorul v datprinreprezentantulsau AB. Prinpunctele A si B se ducdrepteparalele cu d1 si d2 . Se obtineastfelparalelogramul ABCD. Folosindregulaparalelogramului se obtinerelatiaAB=AC+AD. Vectorii a=AD si b=AC se numesccomponentelevectorului v dupadirectiile (∆1) si (∆2). d1 C B A d2 D

12. Descompunereaunui vector dupadoivectorinecoliniari Fie a ,b doivectorinecoliniari. A descompune un vector v din plan dupavectoriia,binseamna a descompunevectorul v ca suma de doivectoricoliniari cu a si b. Procedeuldescompuneriiesteasemanator cu cel al descompuneriivectorului v dupadouadirectii date. A a C O b B

13. Tipuri de vectori • Tipurile de vectorisunt : • Vectorialunecatorisuntvectorii care au dreaptasuportfixasipunctul de aplicatiepoatealunecapedreaptasuport. • Vectoriliberisuntvectorii la care punctul de aplicatiepoatefiioriunde in spatiu. • Vectorilegatisuntvectorii a carorpunct de aplicatieeste fix. • Vectorirotitorisuntvectorii a carorpunct de aplicatieeste fix darorientarea se modifica. Vectoriconcurentisuntvectorii a carordreptesuport se intalnesc. • Vectoriparalelisuntvectorii a carordreptesuportsuntparalele. Vectoricoliniarisuntvectorii care au aceeasidreaptasuport. • Vectoricoplanarisuntvectorii a carordreptesuportsunt in acelasi plan.

14. Bibliografie • - Marius Burtea, GeorgetaBurtea-Manual de MatematicaClasa a IX-a, EdituraCarminis, Pitesti • - www.wikipedia.org • Carmen Mincă-Informatică, Caiet de laborator pentru clasa a X-a, Editura L&S Infomat, Bucureşti, 2006 • Grupa Nr.1 • Gheorghe Aura • Popescu Patricia • PopescuAlina • Trandafir Georgiana • Vlad Dana • Colegiul National “Vladimir Streinu” • Gaesti-Dambovita