Modelli e Algoritmi della Logistica STUDENTE :

1. 2 a 1 2 3 C 3 0 3 f D 6 1 3 1 0 B b A e 4 3 1 2 3 E 2 c 1 3 d 1/3 1 1 0 0 1 s 2/3 1/3 1/3 2/3 0 0 t 0 1/3 0 Modelli e Algoritmi della Logistica STUDENTE: Prova Scritta del 15/12/2003AMATRICOLA: 1. ( punti 7)Siano dati un insieme di localizzazioni potenziali (nodi grandi) ed un insieme di clienti da servire (nodi piccoli). Il costo di afferenza di un cliente ad un impianto è indicato sul corrispondente arco mentre il costo di attivazione è indicato accanto alla localizzazione potenziale. Determinare, utilizzando l’algoritmo di ascesa duale, un “lower bound” del valore della soluzione ottima (che minimizza la somma dei costi di attivazione ed afferenza), una soluzione euristica e il corrispondente “gap”. 2. (punti5)Descrivere e dimostrare la correttezzadi un oracolo di separazione per le disequazioni “cover” di un problema di “knapsack”. 3. ( punti 7)Applicare poi l’oracolo di separazione e verificare se il punto (1/2,2/3,2/3,0,0) viola una disequazione associata ad un “cover” del seguente “knapsack” (indicando l’eventuale cover violato): 4. ( punti 4)Descrivere la formulazione ottima e l’oracolo di separazione per il problema del minimo grafo connesso s-t. 5. (punti 4) Applicare l’oracolo descritto sopra e individuare una disequazione (appartenente alla formulazione ottima) violata dalla soluzione frazionaria mostrata a fianco (accanto ad ogni arco è indicato il valore della corrispondente componente della soluzione frazionaria) 6. ( punti 3)Derivare la formula dell’EOQ e Calcolare l’EOQ per un problema di scorte con i seguenti parametri: Domanda annuale 30; Costo unitario del bene 1200; MARR= 2% ; Costo fisso = 40

2. 2 a 1 2 3 C 3 0 3 f D 6 1 3 1 0 B b A e 4 3 1 2 3 E 2 c 1 3 d Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 1. ( punti 7)Siano dati un insieme di localizzazioni potenziali (nodi grandi) ed un insieme di clienti da servire (nodi piccoli). Il costo di afferenza di un cliente ad un impianto è indicato sul corrispondente arco mentre il costo di attivazione è indicato accanto alla localizzazione potenziale. Determinare, utilizzando l’algoritmo di ascesa duale, un “lower bound” del valore della soluzione ottima (che minimizza la somma dei costi di attivazione ed afferenza), una soluzione euristica e il corrispondente “gap”. SOLUZIONE 1. Definisco i costi (afferenza e attivazione) Costi di afferenza [c] Costi di attivazione [f]

3. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 2. Calcolo i vettori  e  3. Calcolo Vk/|m(k)|   4. Massimo in corrispondenza della riga a . Incremento di Va le u corrispondenti ai minimi della riga a (uno solo!)

4. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 5. Aggiorno i vettori  e  6. Aggiorno Vk/|m(k)|   7. Massimo in corrispondenza della riga c. Incremento di Vcle u corrispondenti ai minimi della riga c (uno solo)

5. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 8. Aggiorno i vettori  e  9. Aggiorno Vk/|m(k)|   10. Massimo in corrispondenza della riga c. Incremento di Vcle u corrispondenti ai minimi della riga c (due)

6. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 11. Aggiorno i vettori  e  12. Aggiorno Vk/|m(k)|   13. Massimo in corrispondenza della riga f. Incremento di Vfle u corrispondenti ai minimi della riga f (uno solo)

7. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 14. Aggiorno i vettori  e  15. Aggiorno Vk/|m(k)|   16. Tutte le righe sono bloccate. L’algoritmo si arresta.

8. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 1 20. Calcolo del vettore z(minimi di riga della matrice aggiornata) z LB=15 UB=Z({A,B,C})=12+7=19  “gap”=19-15 = 4 Osservazione:A è inutile e può essere eliminato. In tal caso, la soluzione diviene {B,C}, UB=15 e il “gap”=0

9. Valutazione Esercizio 1: • -2 punti: se non viene scritta in modo corretto la matrice dei costi (con ∞ al posto giusto) • -2 punti: se non viene calcolato l’UB come nelle pagine precedenti • -2 punti: per errori nell’applicazione dell’algoritmo • Ignorata la soluzione euristica calcolata con il “greedy” o con altro metodo

10. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003A SOLUZIONE ESERCIZIO 2 2. (punti5)Descrivere e dimostrare la correttezzadi un oracolo di separazione per le disequazioni “cover” di un problema di “knapsack”. La dimostrazione è quella riportata nelle pagine 7,8 e 9 della Lezione 9

11. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 3 3. ( punti 7)Applicare poi l’oracolo di separazione e verificare se il punto (1/2,2/3,2/3,0,0) viola una disequazione associata ad un “cover” del seguente “knapsack” (indicando l’eventuale cover violato): Risposta: 1. Definire il “knapsack” duale per la separazione approssimata: max (x*1 -1) u1 +(x*2 -1)u2 +(x*3 -1)u3 + (x*4 -1) u4 + (x*5 -1) u5 u1 + 4u2 + 6u3 +u4 + 4u5>8 max (1/2-1) u1 +(2/3-1)u2 +(2/3 -1)u3 + (0-1) u4 + (0-1) u5 u1 + 4u2 + 6u3 +u4 + 4u5>8 max -1/2u1 -1/3u2 -1/3u3 -u4 -u5 min1/2u1+ 1/3u2 + 1/3u3 + u4 +u5 u1 + 4u2 + 6u3 +u4 + 4u5> 8

12. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 3 2. Ordinamento delle variabili (rapporti valore/ingombro crescenti) max -1/2u1 -1/3u2 -1/3u3 -u4 -u5 min1/2u1+ 1/3u2 + 1/3u3 + u4 +u5 u1 + 4u2 + 6u3 +u4 + 4u5> 8 ordinamento 3. Soluzione del “knapsack duale” -1/3-1/6=-1/2>-1 4. Valore della soluzione (nel problema di massimizzazione!): Il vettore dato è esterno alla formulazione “cover”

13. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 3 5. Arrotondamento della soluzione: Arrotondamento 6. Valore della soluzione associata ad u°: (nel problema di massimizzazione!): u° è il vettore di incidenza di un “cover” violato -1/3-1/3=-2/3>-1 7. Il “cover” violato è: x2+x3< 1 Valutazione Esercizio 3: -2 punti: se non viene calcolato l’ordinamento -2 punti: per errori nell’applicazione dell’oracolo

14. å xe>1 K taglio s-t xe>0 e Î E PS = { eÎK ORACOLO DI SEPARAZIONE ^ • Assegna pesoce=xe a ciascun arcoe Î E ^ xÎ Rn ^ xÎ PS • Seå ce > 1 å xe>å xe>1 ^ ^ eÎK* eÎK* eÎK ^ xÏPS • Se å ce < 1 å xe< 1 ^ eÎK* eÎK* Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 4 4. ( punti 4)Descrivere la formulazione ottima e l’oracolo di separazione per il problema del minimo grafo connesso s-t. Risposta: • Calcola il taglio s-t di peso minimo K*

15. C 1/3 G B 1 1 0 1 0 D 2/3 s 2/3 0 1/3 1/3 0 0 A F 0 1/3 1/3 1 E 1 0 0 1 s 2/3 1/3 1/3 2/3 0 0 t 0 1/3 0 Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 5 5. (punti 4) Applicare l’oracolo descritto sopra e individuare una disequazione (appartenente alla formulazione ottima) violata dalla soluzione frazionaria mostrata a fianco (accanto ad ogni arco è indicato il valore della corrispondente componente della soluzione frazionaria) Soluzione: Bisogna trovare il taglio di capacità minima nel grafo dato. Le capacità sono le componenti della soluzione frazionaria Il taglio ({s,A,B,C,D,E} ,{F,G,t}) è il taglio minimo (2/3) La disequazione violata è: xCG+xDG+xDF+xEF > 1 t Valutazione: punteggio massimo solo a chi ha verificato la minimalità del taglio (applicando Ford e Fulkerson o mostrando un flusso di valore 2/3)

16. 24030 2400   0.021200 24 Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003ASOLUZIONE ESERCIZIO 6 6. ( punti 3)Derivare la formula dell’EOQ e Calcolare l’EOQ per un problema di scorte con i seguenti parametri: Domanda annuale 30; Costo unitario del bene 1200; MARR= 2% ; Costo fisso = 40 1. La derivazione è quella descritta nelle pagine 6 e 7 della Lezione 17 2. L’EOQ desiderata è: 24030 = = = 10 Valutazione Esercizio 6: -1 punto: se non viene dimostrata la formula in modo chiaro ed esplicativo