Ökonometrie I

1. Ökonometrie I Annahmen des lineare Regressionsmodells

2. Liste der Annahmen Ökonometrie I

3. Linearität (A1) • Die Beobachtung Yt ist eine lineare Funktion Yt = xt' b + ut der Beobachtungen der erklärenden Variablen Xti, i=1, …, k und der Störgröße ut • Ist Linearität eine Einschränkung? • Linearität bringt Vorteile für die statistische Analyse • in vielen Situationen sind lineare Modelle adäquat oder zumindest näherungsweise adäquat • Beispiele für lineare Modelle: • Y = a + bX + u • Y = a + b X2 + u • Y = a + b log X + u • Y = a + b/X + u Ökonometrie I

4. Linearisieren • Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Y = g Ka Lb eu • Logarithmieren ergibt lineares Modell log Y = g* + a log K + b log L + u • Log-lineare Form log Y = b1 + b2 log X2 + … + bk log Xk + u liefert konstante Elastizitäten (relative Änderung von Y bei einer relativen Änderung von X um eine Einheit): Ökonometrie I

5. Regressoren (A2, A3, A4) • Voller Rang von X • Spalten sind linear unabhängig • Spalten sind nicht hoch korreliert • Reguläre Matrix Q = lim Xn‘Xn/n • Das durchschnittliche Quadrat der beobachteten Werte der Xi bleibt endlich • Meist problemlos • Bei Trends zu streng • Exogenität: jede Beobachtung ist unabhängig von aktuellen, vergangenen und künftigen Störgrößen Ökonometrie I

6. Störgrößen (A6, A7) • Die Annahme E{u} = 0 bedeutet: Y wird modelliert als Summe aus • systematischer Komponente x'b plus • Störgröße u • Die Annahme Var{u} = s2I bedeutet: • Homoskedastizität • Serielle Unkorreliertheit • Mit der Annahme normalverteilter Störgrößen schreiben wir u ~ N(0, s2I) Ökonometrie I

7. 1200 1000 800 600 400 200 70 75 80 85 90 95 00 PYR PCR Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Ökonometrie I

8. Einkommen und Konsum: Zuwachsraten Ökonometrie I

9. Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 Ökonometrie I

10. Konsumfunktion, Forts. Ökonometrie I

11. Residuen y = x‘b + u = x‘b + e = ŷ + e Residuen: e = y - x‘b = y – ŷ = y – X(X‘X)-1X‘y = y - Py = [I – X(X’X)-1X’]y = My P: Projektionsmatrix M: residuenerzeugende Matrix Eigenschaften: • iei = 0 Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression voraus! Ökonometrie I

12. Schätzer der Varianz s2 ist ein erwartungstreuer Schätzer Der ML-Schätzer unterschätzt; der Bias beträgt Ökonometrie I