Wykład 22

1. Wykład 22 • Ruch drgający • 10.1 Oscylator harmoniczny 10.1.1 Człony nieliniowe w równaniu oscylatora harmonicznego 10.1.2 Wahadło torsyjne 10.1.3 Ciekłe wahadło 10.1.4 Elektryczny układ drgający 10.1.5 Średnia energia swobodnego oscylatora harmonicznego 10.1.6 Wpływ tarcia na ruch 10.2 Oscylator harmoniczny tłumiony 10.3 Współczynnik dobroci oscylatora harmonicznego Reinhard Kulessa

2. Ruch drgający • 10.1 Oscylator harmoniczny Drgania harmoniczne spotykamy w wielu dziedzinach fizyki klasycznej i kwantowej. Na tym wykładzie rozważaliśmy już przykłady ruchów harmonicznych. W oparciu o siłę sprężystości sprężyny może również drgać masa w kierunku poziomym. Innym przykładem ruchów harmonicznych są wszelkiego rodzaju wahadła. Reinhard Kulessa

3. Do postaci matematycznej równania opisującego ruch harmoniczny możemy dojść w różny sposób. Ogólnie właściwości oscylatora harmonicznego możemy scharakteryzować następująco: • Jeśli układ oscyluje, to przechodzi on przez stan w którym w spoczynku jest w równowadze. • Częstość drgań oscylatora nie zależy od amplitudy wychyleń, • Jeżeli na drgający oscylator działa wiele sił, to zmiany nimi wywołane sumują się liniowo. Przypomnijmy sobie równanie oscylatora harmonicznego na przykładzie drgającej sprężyny stosując zasadę zachowania energii. . Reinhard Kulessa

4. Oznaczyliśmy . Różniczkując drugie równanie na poprzedniej stronie po czasie otrzymujemy; Pamiętając, że , oraz że , otrzymujemy, , skąd otrzymujemy, . (10.1) Reinhard Kulessa

5. z   l lsin p mg y x Rozwiążmy teraz problem ruchu wahadła matematycznego. Ruch odbywa się w płaszczyźnie zy. Istnieje więc x-owa składowa momentu siły grawitacji, która ma następująca wartość; . Otrzymujemy, że . Z kolei moment pędu względem punktu zawieszenia wynosi; Reinhard Kulessa

6. , gdzie wartość pędu jest równa; . Ponieważ szybkość zmian pędu jest równa momentowi siły działającej, możemy napisać; Dla bardzo małych kątów wychylenia sin  . Możemy więc napisać; . (10.2) . Częstość drgań wahadła jest zgodnie z równaniem (10.2) równa . Reinhard Kulessa

7. Ogólnym rozwiązaniem równania (10.2) jest dowolna liniowa kombinacja funkcji sin 0t, oraz cos 0t. Możemy więc znaleźć rozwiązanie przy pomocy formuły Eulera; . Obierzmy ogólną postać rozwiązania równą; . (10.3) Liczymy odpowiednie pochodne i wstawiamy do równania (10.2). . Reinhard Kulessa

8. Ostatnie z ostatnich równań ma postać daną wzorem (10.2), jeśli . Rozwiązanie (10.3) jest rozwiązaniem niefizycznym. Musimy więc wziąć albo część urojoną tego równania, albo część rzeczywistą. 10.1.1 Człony nieliniowe w równaniu oscylatora harmonicznego W dotychczasowym rozwiązaniu równania oscylatora harmonicznego założyliśmy że wychylenia są tak małe, że możemy napisać sin  . Jeśli tak nie jest , musimy uwzględnić dalsze człony w rozwinięciu funkcji sinus. . Reinhard Kulessa

9. Równanie (10.2) przyjmuje wtedy postać: . (10.4) Jest to równanie ruchu oscylatora anharmonicznego. Przewidujemy rozwiązanie postaci; . Podstawiając to wyrażenie do równania (10.4), zaniedbując człony z 2oraz 3, oraz korzystając z tożsamości , Stwierdzamy, że podane  jest rozwiązaniem naszego równania pod warunkiem, że Reinhard Kulessa

10. . Ostatnie równanie można przybliżyć wyrażeniem; . (10.5) • Nie rozważając pozostałych członów, z których można wyliczyć np. , widzimy, że •  0 gdy   0 • zależy od amplitudy dla dużych amplitud. Należy również zaznaczyć, że w ruchu wahadła występują tylko nieparzyste harmoniczne. Reinhard Kulessa

11. A A 10.1.2 Wahadło torsyjne Zawieszamy ciało na sprężystym drucie. Wykonuje ono wokół osi AA drgania. Do przypadku tego stosuje się prawo Newtona dla obrotu; . Moment zewnętrzny powoduje obrót ciała o kąt . Sprężystość nici sprawia, że moment jest przeciwny do kąta obrotu, . Otrzymujemy więc równanie; Reinhard Kulessa

12. . Równanie to ma rozwiązanie: . Z ostatniego równania widać, że w oparciu o ostatnie równanie można wyznaczyć moment bezwładności zawieszonego ciała. Reinhard Kulessa

13. y y l 10.1.3 „Ciekłe” wahadło Jeśli rurkę o kształcie U i stałym przekroju S napełnimy cieczą o gęstości , ustala się po pewnym czasie równowaga dla której poziom cieczy określa linia przerywana. Słup cieczy w kształcie litery U ma długość l. Jeśli w jednej rurce przesuniemy o y poziom cieczy, powstaje różnica poziomów 2y między rurkami. Ciężar wystającego słupa cieczy o masie m2y powoduje pojawienie się siły zwrotnej. Zgodnie z prawem Newtona mamy; . Reinhard Kulessa

14. Nadmiarowa masa wynosi; . Równanie różniczkowe dla drgającej cieczy ma postać, . Rozwiązanie tego równania jest następujące; . Reinhard Kulessa

15. I L U0 C 10.1.4 Elektryczny układ drgający Układ ten składa się z połączonych równolegle pojemności C i indukcyjności L. Jeśli zamkniemy obwód po naładowaniu kondensatora C, to spełniony musi być warunek; . Możemy więc zapisać, że; Po podstawieniu za I pochodnej ładunku po czasie otrzymujemy następujące równanie, Reinhard Kulessa

16. . Jest to równanie oscylatora harmonicznego o częstości . Reinhard Kulessa

17. 10.1.5 Średnia energia swobodnego oscylatora harmonicznego Z rozwiązania równania (10.1) otrzymujemy; Średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden okres wynosi; . Reinhard Kulessa

18. Policzmy z kolei średnią energię potencjalną; . Przy czym . Całkowita energia oscylatora harmonicznego wynosi; . (10.6) Reinhard Kulessa

19. 10.1.6 Wpływ tarcia na ruch Jeżeli tarcie jest jedyną siłą, która wpływa na ruch, to . Zwykle przyjmuje się, że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości ciała. . Równanie ruchu jest wtedy następujące: Wielkość m/ nazywamy stałą relaksacji . Reinhard Kulessa

20. Równanie ruchu możemy przekształcić do postaci; . Rozwiązaniem tego równania jest funkcja; . • jest stałą zaniku równą odwrotności czasu relaksacji. Zależność energii kinetycznej od czasu ma postać; . Reinhard Kulessa

21. 10.2 Oscylator harmoniczny tłumiony Jeżeli uwzględnimy oprócz siły napędzającej oscylator harmoniczny również siły oporu np. proporcjonalne do prędkości, to równanie oscylatora przyjmuje postać; . Po wprowadzeniu oznaczeń otrzymujemy równanie; . (10.7)  oznacza stałą relaksacji. Reinhard Kulessa

22. Rozwiązania tego równania szukamy w postaci; . Policzmy odpowiednie pochodne i znajdźmy warunki, dla których równanie to jest spełnione. . Po podstawieniu tych wartości do równania (10.7) otrzymamy następujące równanie; . Reinhard Kulessa

23. Równanie to ma rozwiązanie gdy współczynniki przy sint i cost się zerują, czyli dla . . Widzimy, że częstość oscylatora tłumionego zależy od parametru tłumienia. Ogólne rozwiązanie na amplitudę drgań oscylatora tłumionego ma postać; . (10.8) Czasowy przebieg amplitudy jest następujący; Reinhard Kulessa

24. x(t) t Czas relaksacji jest to czas po którym amplituda drgań maleje do 1/e wartości początkowej. Reinhard Kulessa

25. 10.3 Współczynnik dobroci oscylatora harmonicznego Dla układów drgających, a w szczególności elektrycznych mówi się często o współczynniku dobroci Q. Współczynnik ten definiuje się jako odwrotność względnej straty energii przypadającej na jeden okres . Można pokazać, że dla oscylatora harmonicznego tłumionego drgającego zgodnie z równaniem (10.8) jest dla przypadku gdy 0 >> 1dane przez; . Reinhard Kulessa