LOS TRABAJOS DE INICIO A LA INVESTIGACIÓN EN BACHILLERATO

1. LOS TRABAJOS DE INICIO A LA INVESTIGACIÓN EN BACHILLERATO MADRID, 24 DE JULIO DE 2008 Constantino de la Fuente Martínez Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán” IES “Cardenal López de Mendoza”, Burgos

2. ESQUEMA DE LA SESIÓN: - MARCO TEÓRICO - EJEMPLO 1: LA BÚSQUEDA DE PATRONES - EJEMPLO 2: LA BÚSQUEDA DE MODELOS - EJEMPLO 3: LA CONSTRUCCIÓN DE UNA TEORÍA - ALGUNAS REFLEXIONES FINALES

3. “Buttner les había mandado sumar todas las cifras del uno al cien […]. Cincuenta mil cincuenta. ¿Qué? […] Gauss no entendía su reacción. Cien más uno daba ciento uno, noventa y nueve más dos daba ciento uno[…]. Siempre ciento uno. Y así cincuenta veces. Buttner calló. Cincuenta por ciento uno eran cinco mil cincuenta. Se frotó la nariz. Estaba a punto de echarse a llorar.” Daniel Kehlmann: “La Medición del Mundo” FÓRMULA DE ÁLVARO

4. ¿QUÉ QUEREMOS? • Profundizar en los métodos propios de investigación matemática: la particularización, la búsqueda de leyes generales, la construcción de modelos, la generalización, el uso de analogías, conjeturas y demostraciones, la construcción de teorías... • Practicar la resolución de problemas como la actividad más genuina en cualquier campo específico de las matemáticas.

5. Acercar a los alumnos y alumnas a los conocimientos matemáticos con un enfoque metodológico diferente al habitual, priorizando el planteamiento y resolución de problemas, la indagación y la experimentación. • Fomentar el trabajo (orientado y/o autónomo) del alumnado en unos aspectos del conocimiento matemático, que, en la mayoría de las ocasiones, son desconocidas en el contexto escolar.

6. Propiciar que el alumnado vea el verdadero rostro de las matemáticas, asumiendo en muchos momentos el papel de matemático investigador y desechando creencias erróneas sobre la naturaleza del conocimiento, del quehacer matemático y sus resultados. • Preparar a nuestros estudiantes para la invención, incrementando el gusto por ella y regando sus gérmenes inventivos. • Aumentar la cultura matemática de nuestros alumnos y alumnas.

7. TEORÍAS MODELOS PATRONES DATOS “Precalculus. Modeling Our World “ Consortium for Mathematics and its Applications. (COMAP) “Marcos teóricos de PISA 2300”. MEC-inecse

8. For. hipótesis SITUACIÓN “REAL” MODELO MATEMÁTICO Generalización Análisis Predicciones Limitaciones Lenguajes Argumentos Validación SOLUCIÓN “REAL” SOLUCIÓN MATEMÁTICA Interpretación “Precalculus. Modeling Our World “ Consortium for Mathematics and its Applications. (COMAP) “Marcos teóricos de PISA 2300”. MEC-inecse

9. Uno de los temas centrales de las matemáticas es el estudio de patrones y funciones. Este estudio requiere que los estudiantes reconozcan, describan y generalicen patrones y construyan modelos matemáticos para predecir el comportamiento de fenómenos del mundo real que muestran el patrón observado. Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática NCTM

10. La búsqueda de patrones: Las Ternas Pitagóricas “Usted sabe, por supuesto, que el teorema de Fermat no es más que una generalización del problema de las ternas pitagóricas, el secreto mejor guardado de la secta.” Los Crímenes de Oxford Guillermo Martínez

11. Las pasadas fiestas navideñas recibí el siguiente correo electrónico: 63017 ¡ FELIZ X! X 62985 -Averigua su significado. -¿Es una casualidad o hay algo más detrás? - Estudio de las ternas pitagóricas: ejemplos, significado y formas de obtención. 2n+1, 2n2 +2n, 2n2 +2n+1 a2 –b2 , 2ab, a2 +b2

12. -¿Podemos encuadrar esta terna en alguna de las fórmulas obtenidas? Estudiar el caso. -Obtener otras ternas con el mismo valor de X. -Hacer lo mismo para felicitar dos años más tarde.

13. -¿Y para un año más tarde, el 2009? 2n+1, 2n2 +2n, 2n2 +2n+1 -¿Cómo se obtiene esas expresiones para las ternas pitagóricas? Por ejemplo, la terna 1. Enfoque aritmético-algebraico (Diofanto): - Ternas primitivas y derivadas - Paridad de los elementos de una terna (x par, y impar, z impar) - - - ….

14. 2. Enfoque analítico-algebraico

15. “Modelar incluye las capacidades de: • Estructurar el campo o situación que se va a modelar. • Traducir la realidad a una estructura matemática. • Interpretar los modelos matemáticos en términos reales. • Trabajar con un modelo matemático. • Reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados. • Comunicar acerca de un modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones). • Dirigir y controlar el proceso de modelización.” • Luís Rico: • “Competencias matemáticas e instrumentos de evaluación • en el estudio PISA 2003”

16. La búsqueda de modelos: Los factores de corrección “Un estudiante de escuela secundaria regresó a su hogar contando que su maestra de matemáticas estaba descontenta con las calificaciones de sus alumnos en una prueba escrita que habían realizado sobre funciones, atribuyéndolo a que quizá las preguntas propuestas habían sido un tanto difíciles. La maestra decidió “ajustar” esas calificaciones usando un factor de corrección […]” Abraham Arcavi: El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos (Revista UNO, nº 44)

17. - ¿Qué factores de corrección podemos proponer a la profesora para que modifique las notas? Expresarlos en forma algebraica y representarlos gráficamente. Analizar las ventajas e inconvenientes de cada uno. - Algunos factores de corrección, para x perteneciente al intervalo [0, 10]: -Subir a todos una misma cantidad fija c -Aumentar un porcentaje, r, cada nota -Redondear al número entero más próximo, que sea mayor que la nota

18. “… si la calificación original era x (en una escala de 0 a 100), ésta devendría en . Es decir, si la calificación inicial fue 81, la corregida sería 90. Aparentemente, este factor es común entre los maestros en Israel”. - Adapta ese factor de corrección a nuestro país, donde las notas están entre 0 y 10. Exprésalo algebraicamente y gráficamente. Analiza sus ventajas e inconvenientes respecto a los anteriores.

19. Es una curva. • Se mantiene en el intervalo [0, 10]. • Transforma la nota 2,5 en 5 y un 8,1 en un 9. • Favorece más a las notas bajas que a las altas.

20. - ¿Podríamos variar este factor para obtener otros similares? Introduce algún cambio en su expresión algebraica. - Índice de la raíz, - Exponente de 10. - Exponente de x. - Analiza las características de cada uno y su idoneidad.

21. “Las conjeturas se producen como resultado de dos actividades fundamentales. Particularizar, probablemente la más usual, y el uso de la analogía, que es en realidad una forma de generalización. “Las conjeturas son como mariposas. Cuando una revolotea, suele haber muchas más alrededor. Según van apareciendo, cada una distrae la atención de la anterior, y esto hace que sea más fácil perder el hilo. (...) Descubrirás que, como las mariposas, no son fáciles de capturar. Puedes requerir varios intentos, y en esos intentos tu mente se concentra y la conjetura va adquiriendo forma y perdiendo imprecisión.” John Mason, Leone Burton y Kaye Stacey: “Pensar matemáticamente”

24. - Nos interesa saber, para cada factor de corrección, el valor de x que se transforma en la nota 5. Averiguarlo en varios de ellos. - Los factores Fn aprueban con notas más bajas que los Gn, excepto en el caso n=2 en que F2 y G2 coinciden.

25. Para los factores Fn la nota que se transforma en N/2 puede ser tan pequeña como queramos, con tal de tomar un n suficientemente grande. Para los factores Gn la nota que se transforma en N/2 puede estar tan próxima a N/2 como queramos, con tal de tomar un n suficientemente grande. - Deseamos que al aplicar Fn ó Gn una cierta nota c<5 se transforme en un 5. Averiguar el valor de n para que esto ocurra.

26. - En cada uno de los dos casos, n será natural solamente cuando c sea de la forma adecuada; en el resto de valores de c, n no será natural.

27. La Matemática es, en mucha mayor medida de lo que normalmente se piensa, una verdadera ciencia experimental. (...) Nunca un teorema matemático de importancia ha surgido del ejercicio de la mera abstracción y de la mera lógica. Los resultados profundos son, en general, el producto de innumerables tentativas, experimentos mentales realizados en la penumbra de intuiciones y conjeturas. ¡Cuánta tentativa inicialmente frustrada, corrección y nuevo ensayo, precede al logro de un nuevo teorema, de una nueva realidad matemática! Miguel de Guzmán “Enfoque heurístico de la enseñanza matemática”

28. - Si hacemos n muy grande, ¿hacia qué funciones se acercan los factores de corrección Fn y Gn?

29. - El factor F2 = G2 es la función que tienen en común los factores que tienden a llevar las notas al valor N y los que tienden a dejarlas todas como estaban.

30. - Reflexionando sobre los factores Fn y Gn, encuentra una expresión que los englobe a los dos. • Para i=1 • obtenemos los Gn. • Para i=n-1 • obtenemos los Fn. • Para i=n/2 • obtenemos el factor F2=G2. • Para i=0 • obtenemos el factor Identidad

31. - ¿Habrá factores de corrección para bajar las notas de un examen muy fácil?

32. - ¿Habrá factores de corrección que aumenten o disminuyan de una forma distinta a como lo hacen las funciones anteriores?

36. - ¿Habrá factores de corrección que aumenten unas notas y disminuyan otras?

39. - ¿Habrá factores de corrección que aumenten unas notas y disminuyan otras de manera caprichosa, por ejemplo, que aumente las notas entre 0 y 1, disminuya las notas entre 1 y 2, y así sucesivamente?

40. “Una de las características de las matemáticas es que la invención empieza muy pronto, desde que un alumno se sitúa ante un problema que debe resolver (...).Si el alumno no se limita a contestar a las preguntas que se le formulan, sino que se esfuerza en hacer observacionesoriginales relativas al problema, o mejor aún, si él mismo se plantea problemas, en estos casos su trabajo se distingue del del matemático creador sólo en unadiferencia de nivel.” René Taton “Causalidad y accidentalidad de los descubrimientos científicos”

41. La construcción de una teoría: Progresiones aritméticas en el espacio (curso 2003/04) ¿Será posible rellenar los espacios vacíos del cuadrado con números enteros positivos, de modo que los números de cada fila y de cada columna formen progresiones aritméticas?

42. “Comienzo con un enunciado inicial, al que llamaré “semilla”. Este enunciado ha de ser interesante y muy sencillo. El ejercicio tiene por propósito regar la semilla y hacerla crecer y convertirse en una planta recia. De ordinario ofrezco a mi clase una variedad de “simientes”, y ellos eligen la que quieren regar, en función de su experiencia”. Philip Davis y Reuben Hersh “Experiencia Matemática”

43. PROCESO DE RESOLUCIÓN • Modelo de resolución de problemas • Aspectos heurísticos: • Fases • Estrategias y pautas heurísticas • Patrones de razonamiento • Aspectos didácticos: • Análisis de Protocolos • Rotulado personal • Aspectos psicológicos: • Estados emocionales • Mecanismos de control y toma de decisiones • Autorretrato heurístico

44. Entre x y 103 estará la semisuma de los dos, que tiene como valor: Entre y 74 estará la semisuma de los dos, que es: = El número situado encima de x será 2x La diferencia de la p. a. de la 3ª fila es:

45. El número que sigue a será: Entre y 186 se situará: Por otra parte, este número también será: Luego Por tanto:

46. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

47. REVISIÓN-EXTENSIÓNVISIÓN RETROSPECTIVAVUELTA ATRÁS(Proceso no lineal y no formal) • Otras formas de resolución • Nuevas preguntas, conjeturas globales y parciales • Variaciones en las condiciones o datos: • Generalizaciones • Particularizaciones • Analogías • Intuiciones sobre conceptos nuevos, propiedades, regularidades, conjeturas, demostraciones, …

48. Propiedades: Si nos dan cuatro valores X, Y, Z, T, colocados como en la figura siguiente, entonces sí podemos prolongar el cuadro tanto como nos interese: Problemas: Si conocemos cuatro valores del cuadro, que estén situados, cada uno, en diferentes filas y columnas, ¿tendrá solución?; es decir, ¿podemos completarlo de forma única como en el problema inicial?

49. 3b + d a + 3c Sistema Incompatible 3b + d = a + 3c Sistema Compatible Con más de una solución Sin solución

50. “El estilo deductivista esconde la lucha y oculta la aventura. Toda la historia se desvanece, las sucesiva formulaciones tentativas del teorema a lo largo del procedimiento probatorio se condenan al olvido, mientras el resultado final se exalta al estado de infalibilidad sagrada. “Algunos de los defensores del estilo deductivista pretenden que la deducción es el patrón heurístico de las matemáticas y que la lógica del descubrimiento es la deducción.” Imre Lakatos: “Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático”