P roporciones

1. Proporciones Lic. Helga Kelly Quiroz Chavil

2. Razón Cuando se compara 2 magnitudes mediante una división diremos que esas 2 magnitudes se encuentran en una razón. Ejemplo: sean a y b dos cantidades, entonces una razón entre a y b es a : b = ; y lo leeremos a es a b

3. Ejemplos: • Las edades de 2 personas están en la razón 4 : 7. ¿Qué edad tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 años? • Un ángulo de 90 grados es dividido en 3 ángulos que se encuentran en la razón 4 : 5 : 9, ¿Cuál es la medida de los ángulos?

4. Proporciones Cuando tengamos 2 razones igualadas diremos que tenemos una proporción entre ambas razones Ejemplo: Sean a; b; c y d cuatro magnitudes, entonces una proporción entre ambas razones es = ; y lo leeremos "a es a b como c es a d":

5. Ejemplos: • Calcular: • Si == y a + b + c = 36, entonces calcular c –b • Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3. Si sus edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es? • Se sabe que x es a 10 como 12 es a 15, hallar x .

6. Proporcionalidad Directa Se conoce como proporcionalidad directa, si una variable aumenta (disminuye), y la otra variable también aumenta (disminuye) en la misma proporción.

7. Ejemplos: • En una bolsa, por cada 3 pelotas rojas hay 5 azules. ¿ cuántas pelotas azules hay si en la bolsa se encuentran 18 pelotas rojas? • En un mapa dice que la escala es 1 cm : 2 m ¿cuántos metros representará un camino que en el mapa mide 12 cm?

8. Proporcionalidad Inversa Se conoce como proporcionalidad inversa, si una variable aumenta (disminuye), y la otra variable también disminuye (aumenta) en la misma proporción.

9. Ejemplo: • Dos albañiles levantan una pared en 6 días, ¿ Cuántos días tardarían 4 albañiles para levantar una pared del mismo tamaño? • Un conductor que viaja a 80 km/h tarda 3.5 horas para realizar el viaje. ¿ Cuánto tiempo tardará si la velocidad fuese 20 km/h?

10. REGLA DE TRES SIMPLE Regla de tres Simple Directa Sean M y N dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores:

11. Ejemplos: • Un carro consume 3 galones de gasolina para recorrer 94.5 km ¿cuántos galones necesitará para recorrer 283.5 km? • Dos relojes cuestan 150 soles ¿ Cuánto costarán 12 relojes? • Si el costo de una fotocopia es de 0.05 céntimos la cara.¿ Cuánto costará fotocopiar un documento de 37 páginas?

12. Regla de tres Simple Inversa Sean M y N dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores:

13. Ejemplos • Una cuadrilla de 12 obreros pueden llenar un techo en 8 horas ¿Qué tiempo tardarían 15 obreros, en llenar el mismo techo? • Diez pintores tardan 16 días en pintar una vivienda completa. ¿Cuánto tardarán en hacerlo ocho trabajadores? • Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas.

14. Regla de tres compuesta Se genera cuando se comparan tres o mas magnitudes Ejemplo: • 12 gatos comen 30 pericotes en 75 segundos, 18 gatos en cuantos segundos comerán 90 pericotes?

15. Ejemplo: • 20 hombres trabajando 9 horas diarias pueden hacer una obra en 15 días. 18 hombres, en cuántas horas diarias pueden hacer la obra en 25 días? • 3hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántas días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

16. El tanto por ciento representa el número de centésimas partes iguales que se consideran de una cantidad

17. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA

18. EJEMPLOS:

19. CASO GENERAL Caso I: Hallar el tanto por ciento de un número. Ejemplo: Hallar el c% de “d”:

20. c% de d =

21. Ejemplo: Calcular el 20% de 80 SOLUCIÓN: 20% de 80

22. Ejercicio 1: a.- Calcula el 30% de 130. b.- Calcula el 130% de 75. c.- Calcula el 45% de 2000. d.- Calcula el 1,2% de 40.

23. Caso II: Dados dos números, que tanto por ciento es uno de ellos respecto al otro. Ejemplo: Qué % de 25 es 4?

24. Ejercicio • Qué % de 25 es 4? • ¿Qué % de 200 es 8? • ¿Qué % de 1000 es 20? • ¿Qué % de 500 es 10? • ¿Qué % de 2500 es 40?

25. CasoIII: Dado un número, hallar un % de él. Expresión General: ¿El “C” % de que número es “d”?

26. c% de que número es d

27. Ejemplo: El 20% de qué número es 4?

28. 20% de qué número es 4

29. Donde c=20 d=4 Reemplazando en:

30. Ejercicio 3 a.- El 45% de qué número es 90? b.- El 30% de qué número es 27? c.- El 25% de qué número es 12? d.- El 10% de qué número es 25?

31. PARTE II: AUMENTOS Y DESCUENTOS

32. Ejemplos: • Jorge dispone de 85,80 soles. Si gasta el 25% de su dinero, ¿Cuánto le queda? • El precio de costo de un artículo es S/. 1 200 y se desea ganar el 20%. ¿A cuánto se debe vender dicho artículo? • Un artículo se vendió en 9 000 ganando el 80%. ¿Cuál fue el costo?

33. Aumento Sucesivo Para dos aumentos sucesivos del a% más b% el aumento único (AU) equivalente es:

35. Ejemplo 1: Dos aumentos sucesivos del 20% y 30%, equivalen a un aumento único del:

36. SOLUCION: 20% y 30%

37. SOLUCION:

38. EJERCICIO • Dos aumentos sucesivos del 40% y 50% equivalen a un aumento único del • Dos aumentos sucesivos del 10% y 30%, equivalen a un aumento único del:

39. Descuento Sucesivo Si tenemos dos descuentos sucesivos del a% más el b% se verifica que el descuento único (DU) equivalente será:

41. Ejemplo 1: El descontar sucesivamente el 20% más el 25% equivale a:

42. 20% y 25%

43. Donde: a=20 b=25 Reemplazar en:

44. Ejercicio • El descontar sucesivamente el 15% más el 35% equivale a: • El descontar sucesivamente el 50% más el 20% equivale a: