1 / 19

Elliptiset jakaumat

Elliptiset jakaumat. Esitys 6 kpl 3.3-3.5 28.9.2011 Tuomas Nikoskinen. Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Päivän teemat. Pallosymmetriset jakaumat Johdantona elliptisille jakaumille Elliptiset jakaumat

lilac
Download Presentation

Elliptiset jakaumat

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Elliptiset jakaumat Esitys 6 kpl 3.3-3.5 28.9.2011Tuomas Nikoskinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

  2. Päivän teemat • Pallosymmetriset jakaumat • Johdantona elliptisille jakaumille • Elliptiset jakaumat • Elliptisyyden testaaminen

  3. Pallosymmetria • Jakauma • Tasa-arvokäyriä

  4. PallosymmetriaMääritelmiä 1 • Satunnaisvektori pallosymmetrisesti jakautunut • Olemassa karakteristinen generaattori ja merkitään • Lineaarikombinaatiot myös pallosymmetrisiä • Tiheysfunktio muotoa

  5. PallosymmetriaMääritelmiä 2 • Jos X pallosymmetrinen, se voidaan esittää myös • S tasajakautunut yksikköympyrälle • R radiaalinen satunnaismuuttuja (säteen pituus) • R ja S riippumattomia toisistaan • Oletetaan , silloin • Pohjana myöhemmin elliptisyyden numeeriselle testaamiselle

  6. Pallosymmetriasta elliptisyyteen Affiinimuunnos Y u + AY

  7. Pallosymmetriasta elliptisyyteen

  8. Elliptiset jakaumatFormaalisti • elliptisesti jakautunut, jos • Karakteristinen funktio • merkintä tapa

  9. Elliptiset jakaumat • Muistetaan , jolloin (1) • S tasajakautunut yksikköympyrälle • R radiaalinen satunnaismuuttuja • Ratkaisemalla yhtälöstä (1) • Elliptisyyden testaaminen pallosymmetrian avulla • Yleinen tiheysfunktion muoto elliptiselle

  10. Elliptiset jakaumat • Elliptiselle : • Pallosymmetrisesti jakautuneen tiheysfunktio muotoa • Yleinen muoto elliptisen jakauman tiheysfunktiolle

  11. Data elliptistä? • Onko havaittu data X elliptistä? • Tarvitaan estimaattorit , ja • Testataan

  12. Elliptiset jakaumatParametrien estimointi: M-estimaattorit • Yksinkertainen iteratiivinen prosessi, tuloksena robustit estimaattorit ja • Jokaiselle havainnolle Xi lasketaan suure • Estimaattoreiden päivitys painotettuna otoskeskiarvona ja kovarianssimatriisina • Painot ja pienentävät suuren arvon saaneiden havaintojen merkitystä

  13. Elliptiset jakaumatParametrien estimointi: Kendall’s tau • Keino estimoida korrelaatio kahden satunnaismuuttujan välille • Tämä muoto elliptisesti jakautuneille • teoreettinen korrelaatio, joka voidaan laskea standardi estimaattorilla (kirja 5.50) • Muunnetaan kovarianssimatriisiksi esim.

  14. Elliptiset jakaumatEstimaattoreiden robustisuus - esimerkki • Elliptisestä 2 muuttujan t-jakaumasta estimoitu korrelaatiota, (kirja ex. 3.31)

  15. Elliptisyyden testaaminen • Onko data kun on estimoitu ja • 3 lähestymistapaa • Vakio korrelaatio • Kvantiili-Kvantiili tarkastelu • Numeerinen testaus

  16. Elliptisyyden testaaminen Vakio korrelaatio • Estimoidaan korrelaatio annettuna ellipsi • Jos data elliptistä, korrelaation tulisi pysyä vakiona c arvoa kasvatettaessa • ”Elliptiset tasa-arvokäyrät samanmuotoiset, vain skaala muuttuu” • Tulokset tulkitaan graafisesti piirtämällä korrelaatioestimaatti määrätyn ellipsin ulkopuolelle jääneiden pisteiden funktiona

  17. Elliptisyyden testaaminen Kvantiili-Kvantiili • Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä • Toteutetaan vertaamalla testisuureen T(Y) ja Y:n kvantiili-kvantiili kuvaajaa (QQplot) • Kun , voidaan T(Y) valita esim s.e. • Tästä helppo laskea teoreettiset kvantiilit ja verrata niitä empiiriisiin datasta laskeuttuihin

  18. Elliptisyyden testaaminenNumeerinen testaus • Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä • Merkitään ja ja selvitetään • Onko S tasajakautunut yksikköympyrälle? • Kolmogorov-Smirnov test • Ovat R ja S riippumattomia? • Spearman’s rank correlation coefficient • Jos vastaus yllä oleviin kysymyksiin 1 ja 2 on kyllä, data on elliptisesti jakautunut

  19. KotitehtäväOnko havaittu data elliptisesti jakautunut? • Generoi elliptisesti jakautunut 2 ulotteinen datajoukko X • (esim. t-jakaumasta, ks. ?rmt) • Estimoi ja (tyyli vapaa) • Ota X:stä muunnos Y (ks. kalvo 18) • Testaa X:n elliptisyys (siis Y:n pallosymmetrisyys) numeerisesti • Kalvon 18:n testi • Raportoi käyttämäsi koodi ja sopivat kuvaajat • HUOM! R:ssä matriisi potenssi hankala, lataa paketti ”expm”, jolle: %^% ottaa matriisi potenssin

More Related