T A L E S

1. z Miletu Źródło tła: http://eduseek.interklasa.pl/pictures/artykuly/a_24/6w.jpg T A L E S Dowód twierdzenia Opracowała: Magdalena Pęska Publiczne Gimnazjum Samorządowe w Kazimierzy Wielkiej Pokaz programu PowerPoint XP

2. Zapytano Talesa: Jak najłatwiej znieść nieszczęśliwy los? Odpowiedział: Jeśli się widzi, że wrogowie są w jeszcze gorszym położeniu od nas. VI wiek p.n.e. Źródło fotografii: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~k2011/matematycy/tales.jpg

3. Tales z Miletu uważany jest za jednego z "siedmiu mędrców" czasów antycznych i za ojca nauki greckiej. Talesowi przypisuje się autorstwo następujących twierdzeń geometrycznych: • Dowód, że średnica dzieli koło na połowy. • Odkrycie twierdzenia, że kąty przypodstawie w trójkącie równoramiennym są równe. • Twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych. • Twierdzenie o przystawaniu trójkątów o równym • boku i przyległych dwóch kątach.

4. C l, k – proste równoległe B A D E k l Tales sformułował ważne twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych. Znane są różne wersje tego twierdzenia. Oto jedna z nich. Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych dwóch odcinków jednej prostej równa się stosunkowi odpowiednich odcinków drugiej prostej.

5. a b c d Długości odcinków oznaczmy małymi literami. c a b d l k Założenie: l, k – proste równoległe Teza: =

6. PΔADB PΔADB ½ b h1 b b PΔDEB PΔDEB ½ d h1 d d Trójkąty ADB i DEB mają wspólną wysokość h1. PΔADB=½ b h1 PΔDEB=½ d h1 C c Stosunek pól tych trójkątów wynosi: = = B a = h1 d b A D E l k l, k – proste równoległe

7. PΔADB PΔADB ½ a h2 a a PΔDCB PΔDCB ½ c h2 c c Trójkąty ADB i DCB mają wspólną wysokość h2. Analogicznie: PΔADB=½ a h2 PΔDCB=½ c h2 C c Stosunek pól tych trójkątów wynosi: B = = a h2 = d b A D E l k l, k – proste równoległe

8. Zauważmy, że: Trójkąty DEB i DCB C mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc ich pola są równe. B PΔDEB= PΔDCB A D E l, k – proste równoległe k l

9. = = PΔADB PΔADB PΔADB PΔADB b a b a b a PΔDCB PΔDCB PΔDEB PΔDEB d c d c c d = = = Uzasadniliśmy, że PΔDEB= PΔDCB , i Łącząc w jeden zapis otrzymujemy: l, k – proste równoległe C c B wobec czego a = d b A D E co należało dowieść. k l

10. c a a b c a b d d b d c l k a+c y y b+d x a x a+c = = = = = b+d b+d a+c a b b a b Założenie: l, k – proste równoległe Teza: = y x Można udowodnić, że z twierdzenia Talesa wynikają też inne proporcje, często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań: