Primitives

1. Primitives Terminales STI Lycée Paul Langevin - Beauvais François Gonet 2005/2006

2. On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?

3. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b? Réponse Aire du triangle: (B x h)/2 Soit

4. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?

5. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b? Réponse:

6. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?

7. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b? Réponse Aire du trapèze rectangle: Soit:

8. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?

9. On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4x Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b? Réponse

10. Résumons… • Pour calculer l’aire comprise entre la courbe d’une fonction f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b, on utilise une fonction F: • si alors • si alors • L’aire cherchée est alors  Quelle est le lien entre f et F ?

11. Conjecture… Vous avez trouvé bien sûr : La dérivée de F est f , soit En effet si alors Et si alors

12. Conjecture… Vous avez trouvé bien sûr : La dérivée de F est f , soit En effet si alors Et si alors Vérifions sur un autre cas …

13. On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x² Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2?

14. On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x² Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2? 1°) Trouver une fonction F , telle que

15. On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x² Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2? 1°) Trouver une fonction F , telle que Par exemple : 2°) L’aire serait

16. Vérifions avec la calculatrice:

17. Définition Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si F une fonction dérivable telle que pour tout On dit que F est uneprimitivede f

18. Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:

19. Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:

20. Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:  Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:

21. Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:  Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:

22. Exemple Soit la fonction f définie sur R par :  Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:  Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par: Ou bien :

23. Propriété • Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, alors deux primitives de f diffèrent d’une constante. • Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f, alors : avec

24. Démonstration: soit F et G sont deux primitives de f, alors : est la fonction constante Donc ,

25. Primitives usuelles • Pour trouver les primitives des fonctions usuelles, il suffit de lire le tableau des dérivées usuelles, à l’envers. • Cependant, il est nécessaire de savoir que: Si alors

26. Exercices Exercice 1: Déterminer les primitives des fonctions f, g, h définies sur R par : Exercice 2 : Montrer que la fonction F, définie sur R par est une primitive de la fonction f définie sur R par

27. Fin