ESA homework

1. ESA homework 환경공학과 20081411 강두란

2. 1. Derive the 3-dimensional mass transport equation using the mass balance rule for case of advective and dispersive transport with biochemical reaction and source terms. • 옆의 그림은 검사체적의 개념과 경계 이동을 이용한 물질 평형 모형의 일반적 접근 방법을 나타낸 것이다. • 옆의 그림은 화학반응 포함한 질량 이동 문제의 해를 위한 물질 평형 모델링 모식도

3. 물질 평형에서의 주 요소는 다음과 같이 정의된다 -(i) 정확하게 정의된 검사체적. -(ii) 검사체적의 경계부분을 통과하는 유입과 유출에 대한 정보. -(iii) 검사체적내 및 경계부분의 이동특성에 대한 정보. -(iv) 검사체적내의 반응역학에 대한 정보.

4. 검사 체적은 지구를 흐르고 있는 흐름 또는 대양 전체의 물에 비교할때 극소한 얇은 조각에 불과할 수 있음. 여기에서 경계부분에 대한 중요한 점은 그 체적(요소 i)에 대한 내용을 정확하게 구분. • 따라서 체적을 알게되고 경계부분을 통과하는 물질의 유동을 결정할 수 있게 됨(요소 ii). • 검사 체적 내에서의 이동 특성(혼합정도)은 시스템내의 수역학을 기본으로하여 평가되거나 측정되어야 함. • 마찬가지로, 검사체적 주위나 인접한 부분에서의 이동은 검사체적의 물질이 영향을 줄 수 있음. 따라서 검사체적의 경계부분을 통과하는 이동은 평가되어지거나 혹은 알려져야만 한다(요소 iii).

5. 검사 체적(요소 iv) 내에서 일어날 수 있는 물질에 대한 화학적, 생물학적, 물리적 반응에 대한 지식은 필요함. 만약 수생태계에서 주어진 공간 내에 아무런 분해반응이 없다면 모든 오염물질은 당연히 환경으로 그대로 방출됨 몇몇의 오염물질들을 분해하고 물속의 영향을 개선하기 위한 자연적인 정화과정이 존재 우리는 배출허용한계를 설정하고 오염물에 의해서 가능한 환경의 피해를 평가하기 위해서 양적인 관점에서의 이러한 반응들을 이해 해야 함.

6. 만약 계가 시간에 대한 내용물의 농도가 변하지 않는 정상상태라면계 내에서의 축적은 없으며 유출은 간단하게 유입과 동일하게 되거나 반응부분이 음이 됨 유출 = 유입 ± 반응

7. x 방향의 물리학적 이동 기작 : y 방향의 물리학적 이동 기작 : z 방향의 물리학적 이동 기작 : 검사체적내의 생화학적 반응 : , kC는 단위부피당 생화학적 반응속도임. 검사체적내로 직접 부하원 : , S는 단위부피당 직접 부하원임. 검사체적내에서의 시간에 대한 증가분 : 미분식을 구하기 위하여 나눈 후, 으로 접근하면 아래와 같은 3차원 물질이동식을 구할 수 있다.

8. 2. 분자 확산 및 수리학적 분산 현상에 대하여 설명하라. Fick의 확산 법칙 : 기체분자나 원자, 고체/액체 상태를 구성하는 원자가 화학 포텐셜차이에 의해 화학포텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 구성입자가 이동하는 현상을 규명한 법칙 대부분의 경우, 화학 포텐셜은 농도에 비례하여, 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산을 함. 이 경우, 단위 길이당 농도의 변화인 농도 구배에 따른 확산 이동 속도를 정의한 법칙이 Fick의 확산 법칙이다.

9. 1차원인 경우, 제 1법칙은 아래와 같다 - J= 단위시간당 단위 면적을 지나는 원자의 수를 나타내는 이동 속도 - D= 원자의 확산계수 - dC/dx = x방향으로의 농도 변화율 이 식은 정상상태의 경우에만 적용 가능 위의 식을 통해 정상상태에서 이동속도는 일정하게 유지되고, 확산은 농도구배(농도차)가 클수록 잘 일어나며 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산이 일어난다는 것을 알 수 있음.

10. 제 2법칙은 비정상상태 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙으로 아래와 같음 위 식의 의미는 확산에 의해 농도가 퍼져감에 따라 농도가 감소하는 것을 나타냄 = 어떤 물질이 가지는 고유의 속도에 의한 이동식 물질 입자의 고유 속도를 측정하기가 어렵기 때문에 다음과 같이 상의 유속을 가지고 물질의 이동 속도를 나타냄 Fick의 확산식을 사용하여 항을 표현하게 되는데 이때 사용하는 분산계수를 수리학적 분산계수라고 한다. 전체 이동식은 아래와 같음.

11. 4. 일차원물질이동식에 대한 일반적 유한 차분법을 적용한 알고리즘을 설명하라. 본 모형의 물질이동식은 반응식을 일차반응항과 내부발생원으로 분류하여 아래와 같이 나타냄 이 때, 반응항은 로 두 가지로 분리되어 표현됨. 첫 번째 항은 농도에 비례하는 1차 반응, 두 번째 항은 내부 발생 또는 제거로저니층 부하, 조류성장에 따른 영양염류 손실 등이 해당한다.

12. Flow ➜ 본 모형의 일차원 격자망은 다음과 같다. 시간영역에 대해서는 n를 공간영역에 대해서는 i라는 표기를 사용하여 다음과 같이 유한차분 알고리즘을 유도할 수 있음.

13. 6. Describe the water balance of the system depicted as below and express the proper water balance equation. (Water Balance, 물수지)

14. ∆저장량 = ∑유입 흐름량 +지하수의 유입량 - ∑유출 흐름량 - 지하수의 유출량 + 직접적인 강우량 - 증발량 포괄적인 물수지는 다음의 차분식으로 표현된다. 여기서, Q = 유량 I = 강우강도, A = 물의 표면적, E = 증발량, ∆t = 시간 간격, ∆V= 저류 부피의 변화 ,

15. 물수지식을 세우지 않고 수중 화학종에 대한 정확한 물질 수지식을 얻는 것은 불가능 호수는 다수의 물이 유입과 유출을 반복하는 보존물질로 간주됨 물의 축적 = 저장의 변화 만약 계가 온도의 변화가 없다면 저장량은 유입과 유출부피에 의해서 설명됨

16. ∆저장량 = ∑유입 흐름량 - ∑유출 흐름량 + 직접적인 강유량 – 증발량 유입량은 지류와 육상 흐름의 부피유입을 포함, 유출량은 수체로부터의 모든 방출을 의미 직접적인 강우량은 표면으로부터 바로 떨어지는 물을 말하고, 증발은 수체의 표면에서 대기로 나가는 물의 부피를 말함. ∆저장량은 호수 또는 강에서 높이 또는 유역의 범위 변화로 측정이 가능하다.

17. 7. 질량, 운동량, 열 전달 식의 유사성을 설명하고 확산방정식과 지하수 유동에 대한 Darcy의 식의 유사성을 비교 설명하라. 1877년, Boussinesq가 처음으로 난류 운동량 이동이 층류 점성 운동량 이동과 유사하다고 제안. Reynolds는 1883년 관내부 층류상태에서 난류상태로 변하는 한계 무차원 수(Re = 2300)가 존재함을 제시 Re는 Reynolds Number, u는 평균 유속(LT-1), d 는 파이프의 직경(L), ν 는 동점성계수(L2T-1)이다.

18. 물질, 열, 운동량 전달이 동시에 일어날 수 있고, 그들 모두가 매우 유사하다는 것을 설명하고 있음 난류장(ε)에서, 단위 면적당 유동율은 추진력의 구배구동력과 비례상수의 곱이며비례상수는 난류의 경우가 층류보다 훨씬 큼. 열확산과 물질확산계수 사이의 무차원비는 Lewis 번호로 제시됨. 이 값으로 열과 질량 이동의 상사성 정도를 결정하며, 난류의 경우 1.0부터 변화됨.

19. 물질확산계수의 동점도에 관계되는 Schmidt 번호와 열전달의 동점성도에 관계되는 Prandtl 번호도 열, 질량, 운동량이 동시에 발생하는 경우 1.0부터 변함.

20. 8. 단순이동모형에 대한 다음의 문제를 풀어라.1) Derive the mass transport equation using control volume. 다음은 이류 유송 및 확산 이동을 고려한 물질수지 위 식을 정리하면 아래와 같음 위 식을 로 나누면 따라서 정상상태일 경우 방정식은 다음과 같다.

21. 2) Derive the solution of the governing equation.(State state) 하구의 예를 이용하여 이상적인 확산과 이류 유송이 있는 시스템을 다음 그림에 나타냄.

22. 3) Explain the important parameters. 정상상태의 물질이동식의 해는 다음과 같이 얻어짐 여기서 , 위의 해를 풀기 위해서는 경계조건이 사용되어야 함. 경계조건을 정하기 위해서, 문제의 하구 시스템을 화학물 방류지점의 상류와 하류 구획으로 나눔. 상류 구획에서, 다음과 같은 두 가지 경계조건을 정할 수 있다(BC 1 및 BC 2). BC 1: 방류지점의 상류 구획에서, 농도는 0으로 접근한다. 즉,에서이다. 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구한다.

23. , , BC 2: 방류지점의 농도는 , 즉, x=0에서 C=C0이다. 이 조건하에서 B=C0 라는 식을 구할 수 있음. 따라서 상류 구획의 농도는 다음과 같이 주어진다. 여러가지 추가조건을 고려한 최종해는 다음과 같다. 여기서 ,

24. 9. In the case of the CSTR, derive the solution for the problems such as follows 1) Simple unit reactor with input and biochemical reactions by using integrating factor method. 완전혼합시스템(CSTR) (1) 물질이동식 완전 혼합 시스템은 다음 그림과 같이 반응조내의 화학물의 농도는 일정하고(완전혼합) 배출구의 농도는 C이며, 이 농도는 반응조 내의 어느 곳에서도 같다는 것이다. 물질수지는 다음과 같다.

25. 이것은 수학적으로 다음과 같이 표현된다. Δt가 0으로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같다.

31. 2) Steady and Unsteady state solution for the CSTR in series

37. SBR 혹은 격자화된 호수에 있어서 반응조수 혹은 격자수에 따른 유출 농도의 변화

38. 10. 2계 선형 상미분방정식의 해석 기법을 공업수학책이나 미적분학 혹은 인터넷에서 검색하여 제출하라 상미분방정식이란 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킴. 2차 상미분방정식의 해도 위에서와 같이 라플라스 변환을 써서 쉽게 구할 수 있다. 여기서도 초기값은 편의상0으로 가정한다. 2차 상미분방정식을 다시 쓰면 다음과 같다. 여기서 y(t)는 y(t)의 1차 및 2차도함수이다. 위의 미분방정식의 양변을 라플라스 변환시키면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있음.

39. III.1 실험자료로부터 반응속도상수를 구하는 방법을 1차반응속도식을 사용하여 설명하고, 여러 온도에 대하여 구한 반응속도상수로부터 활성화에너지를 구하는 방법을 설명하라.

40. 일차 반응은 환경 화학 모델링시 가장 일반적으로 적용. 많은 지식이나 환경적인 증거가 없을 때, 모델링 수행자는 반응이 1차 반응이라고 가정 논리적인 가정이긴 하지만, 그 결과, 그것은 쉽게 풀려지는 선형 모델을 도출하나, 기계적으로 항상 정확하지는 않으며, 잘못된 결과를 도출 할 수도 있음. 실제 현상은 매우 비선형적이다. 1차 반응은 반응 속도가 반응물 농도의 1승에 비례하는 것이다.

41. 활성화에너지란 반응을 일으키는 데 필요한 최소한의 에너지로, 반응에 참여하기 위해서는 이 에너지 이상의 에너지를 가져야만 함. • 활성화에너지값이 크면 그 이상의 에너지를 갖는 분자의 수가 적어 반응이 느리게 진행되고, 활성화에너지값이 작으면 반대로 반응속도가 빨라진다

42. 활성 에너지 ( )는 초기의 활발하지 못한 에너지 요구로 인해서, 반응물의 혼합을 향상시키는데 필요하다. 내부 에너지 변화는 반응계의 폭넓은 특성을 지니는데, 반응이 자발적으로 일어나고, 안정한 생성 혼합물을 형성하기 위해서는 음의 값을 갖는 G의 변화가 필요하다. 진행과정에서 엔트로피는 증가한다. 그리고 열이 방출된다.

43. III.2 QUAL2E 모형에 관계된 반응속도상수를 설명하고, 미국 EPA 매뉴얼에서 추천하고 있는 반응속도상수의 값들을 서술하라. 국내의 경우 모델링 사업에 있어서 이러한 반응속도상수를 어떻게 평가하고 있는 지 인터넷 등의 자료를 검색하여 제출하라.

44. III.3 반응속도식에 대한 다음의 질문에 답하라.1) 반응속도식과 반응차수를 정의하라.2) 0차, 1차, 2차 반응속도식을 설명하고 상미분방정식의 해를 구한다음, 그래프에 표시하라.3) 반응속도상수 k를 평가하는 방법을 그래프 및 식을 이용하여 설명하라.4) 효소반응역학의 반응식으로부터 Monod 식을 유도하고 설명하라. 0차 반응(Zero-Order Reactions) 0차 반응의 예는 용액속 반응물 농도와 무관한 자연수에서 역으로 반응물을 분해할 수 없는 것이다.

45. ● 일차 반응(First-Order Reactions) 일차 반응은 환경 화학 모델링시 가장 일반적으로 적용된다. 많은 지식이나 환경적인 증거가 없을 때, 모델링 수행자는 반응이 1차 반응이라고 가정한다. 그것이 논리적인 가정이긴 하지만, 그 결과, 그것은 쉽게 풀려지는 선형 모델을 도출하나, 기계적으로 항상 정확하지는 않으며, 잘못된 결과를 도출 할 수도 있다. 실제 현상은 매우 비선형적이다. 1차 반응은 반응 속도가 반응물 농도의 1승에 비례하는 것이다.

46. ● 2차반응(Second-Order Reactions) 이차반응에는 다음과 같이 1개 또는 2개의 반응물과 반응하는 2차반응 및 자체촉매의 2차반응 등 수질 화학에서 일어나는 일반적인 2차반응이 있다. 위의 세가지 경우 모두 2차 반응이며, 단일 반응물의 반응속도식은 다음과 같다. 위의 방정식은 비선형 상미분방정식이며 다음과 같이 변수분리법으로 푼다.

47. VI.1 하천에서의 오염물질의 물질이동식을 플러그유동시스템을 가정하여 유도하고, 정상상태의 경우의 해를 구하여라. BOD 분해능 계수를 실험실과 현장의 자료를 해석하여 산정하는 방법을 설명하라. 1) 물질이동식 및 해 하천에서의 오염현상은 총체적인 개념으로 BOD 농도를 사용하여 해석하며, 이러한 BOD 농도에 대한 물질이동식으로 해석물질이동식은 유속에 의한 이류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현됨. 여기서, 평균 하천 유속은 유량을 단면적으로 나눈 값이다. 위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

48. 변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다. 위의 적분은 x=0 일 때의 C0에서부터 하류 거리 x일 때 농도 C까지 설정되었다. 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 양변에 지수를 취하면, 다음과 같다. 여기서, C0는 원점 x=0에서의 초기 농도이다.

49. 2) 반응계수 추정을 위한 선형회귀분석방법의 적용 (1) 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다. 이동 거리에 따라 측정된 BOD 농도/초기농도에 ln를 취하여 y축으로 이동거리/유속을 x 축으로 설정하여 측정된 자료를 도시 이 도시된 그래프의 기울기는 -k이다. 따라서, 기울기가 BOD 분해능 계수이다. 실험오차나 기타 오차에 의하여 측정된 값이 그래프에 정확히 일치하지 않는 경우에는 선형회귀분석 기법을 이용하여 그래프에 가장 일치하는 경우의 기울기를 구하면 된다. 분석을 수행한 후 그래프를 도시하여 실측값과 계산치와의 비교 분석을 수행한다.

50. VI.2 계산기와 Excel을 이용하여 다음과 같은 경우에 대하여 선형회귀분석을 적용하여 BOD 분해능 계수를 평가하라.만약 하천의 평균 속도가 0.4 ms-1이고 농도장의 현장 측정치가 아래와 같다면, 일 때, 폐수 배출수 하부의 BOD 분해에 대한 현장 속도 상수를 추정하라. 샘플을 채취한 km 지점에서의 최종 BOD 농도는 다음과 같다. 하천에서 BOD 분해에 대한 속도 상수를 구하기 위해 ln() 대 (이동 시간)의 그래프를 그려라