Sammenhæng

1. Sammenhæng Kantfølge (walk): v0e1v1…vl-1elvl forbinder v0 og vl Tur (trail) hvis alle kanter forskellige Lukket (closed) hvis v0 = vl Vej hvisalle punkter forskellige Kreds hvis alle punkter forskellige bortset fra v0=vl

2. x forbundet med y er en ækvivalensrelation på punktmængden • Ækvivalensklasserne inducerer grafens sammenhængskomponenter • G sammenhængende, hvis den kun har én komponent

3. Broer • En kant e i en graf G er en bro (cut edge), hvis G\e har flere komponenter end G (i givet fald præcist én komponent mere) • Proposition 3.2: En kant er en bro, hvis og kun hvis den ikke er med i nogen kreds

4. Proof Technique: egenværdier • The Friendship Theorem: En simpel graf, hvor hvert par af punkter har præcist én fælles nabo, indeholder et punkt, der er nabo til alle andre punkter • Bevis ved modstrid: et modexempel er en regulær graf – egenværdibetragtninger giver en modstrid

6. Königsberg-spørgsmålet • Kan man gå en tur, så hver bro krydses præcist én gang? • En lukket tur, der benytter hver kant, kaldes en Euler-tur • En sammenhængende graf har en Euler-tur, hvis og kun hvis den er lige (dvs. alle punkter har lige valens) • Kan findes ved hjælp af Fleury’s algoritme: Gå fremad og benyt kun broer hvis andet umuligt

7. Digrafer • Ensrettet kantfølge • Punkt yopnåeligt (reachable) fra punkt x • Gælder hvis og kun hvis der er en kant ud fra enhver delmængde X af punkter, som indeholder x men ikke y • Ensrettet Euler-tur • Findes i sammenhængende digraf, hvis og kun hvis den er lige

8. The cycle double cover conjecture • Enhver graf uden broer indeholder en familie af kredse, som benytter hver kant præcist to gange - ???? • Måske endda med få kredse (højst n-1 for graf med n punkter)??