TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 2 : Fonksiyonlar

1. TBF 121 - Genel Matematik IDERS – 2 : Fonksiyonlar Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Fonksiyonlar. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler veya büyüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böyle bir eşleme kurulması, çözümleme yapma ve tahmin yürütme olanağı verir. Örneğin, bir maliyet analizcisi, üretim sürecinde çeşitli seviyelerdeki ürünlerin maliyetini tahmin etmek ister; bir tıp araştırmacısı, şişmanlıkla kalp rahatsızlıkları arasındaki ilişkiyi ; bir ziraatçı, aynı topraktan değişik tür buğday tohumlarının ne kadar verim verdiğini tahmin etmek ister. Bu örneklerde yapılan eşlemeler, sırasıyla, üretim seviyesi  maliyet, şişmanlık  kalp rahatsızlığı, buğday türü  verim biçiminde gösterilebilir. Fonksiyon denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük hayatımızda pek çok eşleme örneğiyle karşılaşırız. Bunlardan bazılarını ifade edelim: • Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deyimle, her öğrenci bir sayı ile eşlenir. Burcu Işık  205 93 045 Ali Demir  20694 005

3. Her insanın doğum yılı da o insan ile eşlenen bir sayı olarak düşünülebilir. Mustafa Kemal Atatürk  1881 Cahit Arf  1910 • Bir marketteki her malın bir fiyatı vardır. Makarna  76 Kr. Sabun  89 Kr. • Her sayının “iki katı” vardır. 1  2 2  4 3  6 x  2x

4. Her sayının bir “kare”si vardır. 1  1 2  4 3  9 x  x2 Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleyen bir kural vardır. Son örneğimiz, sayılar kümesinin her elemanını yine sayılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksiyon kavramı-nın tanımına götürür: Tanım.İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesi-nin bir ve yalnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B ye bir fonksiyon denir. A kümesine bu fonksiyonun tanımkümesi, B kümesine de değer kümesi denir.

5. a x y=f(x) b=f(a) A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu f : AB ile gösterilir. fnina  A ile eşlediği eleman b  B ise, b = f(a)yazılır ve b = f(a) ya anınf altındaki görüntüsü veya fninadaki değeri denir. f nintüm görüntülerinin kümesine, yani {f(a) : a A } kümesine f ningörüntü kümesi denir. f : AB fonksiyonununtanım kümesininher hangi bir alt kümesiKA için f(K) = {f(x) : xK}  kümesine Knınfaltındaki görüntüsü denir. Böylece, fningörüntü kümesi, f(A) dır. Fonksiyonlar çizelgelerle de gösterilebilir: A f : AB B

6. Tanıma göre A danBye f fonksiyonunun A nın her a elemanına B den bir ve yalnız bir, yani tek türlü belirli bireleman karşılık getirmesi gerektiğiniunutmamak gerekir. Bu bağlamda, 1 2 2 1 3 3 c a b a b c A B çizelgesi A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlar. Ancak, aşağıdaki çizelge A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlamaz. A B

7. y=f(x) y= f(x) x Bu derste ele alacağımız fonksiyonların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri sayı kümeleri olacaktır. Böyle bir fonksiyonun tanım kümesindeki her x sayısı için değer kümesinde bir ve yalnız bir y = f(x)sayısı bulunacak ve dolayısıyla (x,y) sıralı ikilisi, ya da noktası, ortaya çıkacaktır. Bu şekilde ortaya çıkan noktaların Kartezyen düzlemde oluşturduğu nokta kümesine ffonksiyonunun grafiği(grafik) denir. y (x,f(x)) x

8. y y (2,4) (2,4) (1,2) (1,1) (-2,-4) (-2,4) x x (0,0) (0,0) (-1,-2) (-1,1) y =2x y =x2 Örnek. Her reel sayıya o sayının iki katını karşılık getiren fonksi-yonun grafiği Örnek. Her reel sayıya o sayının karesini karşılık getiren fonksiyo-nun grafiği

9. Çıktı (output) Girdi (input) Bağımlı Değişken (dependent variable) Bağımsız Değişken (Independent variable) Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi ℝ deki her x sayısına karşılık değer kümesi ℝ’de y = 2x sayısı; ikinci örnekte de tanım kümesi ℝ deki her xsayısına karşılık değer kümesi ℝ’de y = x2 sayısı verilmektedir. Bu derste ele alacağımız fonksiyonlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler yardımıyla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her xsayısı için görüntü kümesinde karşılık gelen y sayısı, x e bağlı bir ifade ile verilecektir: y = f(x) Bağımlı ve bağımsız değişkenler için başka harf veya semboller kullanılabileceği açıktır. Örneğin, t zamanda alınan yolu s=t2–t+1 hareket denklemi ile tanımlayan fonksiyon için bağımsız değişken t, bağımlı değişken sdir.

10. y = f(x)gibi bir denklemle tanımlanmış bir fonksiyon verildiğinde, tanım kümesindeki her a sayısı için f(a), verilen denklemde x yerine ayerleştirilerek hesaplanır. Örnek . y = f(x) = x2+2x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi ℝ dir ve f(0)=0, f(1)= 3, f(2) = 8, f(3) = 15, f(–1) = –1, f(–2) = 0, f(–3) = 3 tür. Herhangi bir areel sayısı için f(a)=a2+2a, f(a+1)=(a+1)2+2(a+1)=a2+4a+3, f(a+2)=(a+2)2+2(a+2)=a2+6 a +8 dir. Örnek.y = x(x+2)denklemi tüm reel sayılar kümesi ℝden ℝye bir fonksiyon tanımlar. x = 1olunca y = 3 x = 5 olunca y = 35 x =1/2olunca y=5/4 x x+2 Burada, pozitif x sayıları için, y, kenar uzunlukları x ve (x+2)birim olan bir dikdört- genin alanı olarak yorumlanabilir..

11. Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksiyonun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel sayı olarak tanımlayabildiği değerlerin tümü olarak; görüntü kümesi de bağımlı değişken için böylece tanımlanan tüm değerler olarak alınır. Bundan böyle, söylem ve yazım kolaylığı ve kısalığı sağlamak için “y=f(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyon” deyimi yerine “y=f(x) fonksiyonu” deyimini de kullanacağız. Örnek. denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi görüntü kümesi dur. Çünkü, in tanımlı olması için olmalıdır. Ayrıca, negatif olmayan her reel sayı, uygun bir için biçiminde ifade edilebilir. fonksiyonunun tanım kümesi [-1,1] aralığıdır. Çünkü, Örnek. olmalıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyonun tanım nin tanımlı olması için eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [–1,1] kümesidir. kümesi

12. Örnek. denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi (-, -2)  (-2 , ) = ℝ \ {-2} kesri -2 dışında her reel sayı için tanımlıdır. dir, çünkü Bazen kapalı denklemler de fonksiyon tanımlayabilir. Örneğin, xbağımsız ve ybağımlı değişkenler olmak üzere, 2x+3y = 1denklemi bir fonksiyon tanımlar. Çünkü, bu denklem her x reel sayısına karşılık y = (-2/3)x + (1/3) sayısını verir. Bununla beraber, fonksiyon tanımlamayan kapalı denklemler de vardır. Örnek olarak, x bağımsız ve ybağımlıdeğişkenler olmak üzere y2 – x2=4denklemi bir fonksiyon tanımlamaz. Çünkü, örneğin x = 0 değeri için hem y = 2 hem de y =-2 sayıları bu denklemi sağlarlar. O halde bu denklem x = 0 sayısına birden çok sayı karşılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksiyon tanımlamaz.

13. y y x x (0,0) (0,0) y2 – x2=4 Fonksiyon tanımlar Fonksiyon tanımlamaz Bir denklemin fonksiyon tanımlayıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir yolu, odenklemin grafiğinin düşey doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşey doğru grafiği en çok bir noktada kesiyorsa, o denklem bir fonksiyon tanımlar ve denklemin grafiği fonksiyonun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşey doğrular varsa, o denklem bir fonksiyon tanımlamaz. 2 -2 2x+3y = 1

14. Bir Fonksiyonun Koordinat Kesişimleri. Bir fonksiyonun grafiğine bakınca grafiğin koordinat eksenlerini kestiği noktalar hemen dikkatimizi çekecek noktalar arasında bulunacaktır. Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktalara o fonksiyonun koordinat kesi-şimleridenir. Grafiğin x–eksenini kestiği noktalar varsa, o noktalara fonksiyonun x–kesişimleri denir. Grafiğin y–eksenini kestiği nokta varsa, o noktaya da fonksiyonun y–kesişimi denir. Bir f fonksiyonunun x–kesişimleri, varsa f(x)=0 olan (x,0) noktaları; y–kesişimi de varsa (0,f(0)) noktasıdır. Tanım gereği, bir fonksiyonun en çok bir y–kesişimi bulunabilir; ancak, birden çok x–kesişimine sahip olan fonksiyonlar vardır. y y= f(x) y–kesişimi x x–kesişimleri Örnek. fonksiyonunun x–kesişimleri, denkleminin çözümleri x=–3 ve x=5 olduğundan, (–3,0) ve (5,0) noktaları; y–kesişimi de f(0 )= -15 ten görüleceği üzere, (0,–15) noktasıdır. Örnek. fonksiyonunun x–kesişimleri(-1,0) ve (1,0),y-kesişimi (0,1) noktasıdır. fonksiyonununx –kesişimi yoktur; y – kesişimi (0,1) noktasıdır. fonksiyonununne x –kesişimi ne de y –kesişimi vardır.

15. ürün miktarı (bağımsız değişken) sabitler Uygulama.Ekonomide Fonksiyonlar , Kâr – Zarar Analizi. M Gider (Maliyet) Fonksiyonu (CostFunction): M =(sabit gider) + (değişken gider). Örneğin, bir şirketin aylık sabit gideri 100TLve ürün başına gideri 5TL ise, bu şirketin ayda xbirimürün üretmesi durumunda aylık toplam gideri M(x)=100+5x TL olur. Gelir Fonksiyonu (RevenueFunction): G G =(satılan ürün miktarı) . (birim ürün fiyatı). Örneğin, bir şirket bir ayda her biri p TL den xadet ürün satmışsa, bu fşirketinaylık toplam geliri G(x)=xp TL olur.

16. Fiyat Fonksiyonu (PriceFunction) : p Bir ürün için piyasadan talep edilen miktarx ile ve bu ürün için birim fiyatıp (TL) ile gösterilir-se, x ile parasındaki bağıntıyı ifade eden denkleme fiyat–talep denklemi denir. Örneğin, x = 20 – (0.2) p fiyat–talep denklemi, piyasaya p TL fiyatla sürülecek ürün için x birim talep olacağını gösterir. Fiyat–talep denkleminde, xbağımsız değişken, p bağımlı değişken kabul edilerek elde edilen fonksiyona fiyat – talep fonksiyonu denir. Örneğimizde, fiyat – talep fonksiyonu p = 100 – 5x denklemi ile tanımlanan fonksiyondur. Bir ürün için piyasaya sunulan (arz edilen) miktar x ile ve bu ürünün birim fiyatı p (TL) ile gösterilirse, x ile parasındaki bağıntıyı ifade eden denkleme fiyat–arz denklemi denir. Örneğin, x = 5 + (0.1)p fiyat–arz denklemi, pTL fiyatla piyasaya sürülecek ürün miktarının xbirim olacağını gösterir. Fiyat–arz denkleminde, x bağımsız değişken, pbağımlı değişken kabul edilerek elde edilen fonksiyona fiyat–arz fonksiyonu denir. Örneğimizde, fiyat–arz fonksiyonu p = 10 x - 50 denklemi ile tanımlanan fonksiyondur.

17. Arz ve talebin birbirine eşit olduğu fiyata pazar denge fiyatı denir. Örnek 1. Yukarıda verilen fiyat–talep denklemi ve fiyat–arz denkleminin aynı ürün için denklemler olduğunu varsayalım ve pazar denge fiyatını bulalım:. Fiyat–Talep Denklemi: x = 20 – (0.2)p , Fiyat–Arz Denklemi : x = 5 + (0.1)p. Arz edilen ürün miktarı ile talep edilen ürün miktarının eşit olacağı dikkate alınarak  Pazar denge fiyatı, 50 TL dir ve bu fiyatla piyasaya arz edilecek ürün miktarı x = 5 + (0.1)50=10 birim, piyasanın talebi de x = 20 – (0.2)50=10 birim olup arz ve talep çakışmaktadır. Kâr Fonksiyonu (ProfitFunction) : K Gelir ile gider arasındaki farkı verir. K(x)= G(x) – M(x) Örneğin, M(x) =100 + 5x ve p(x) = 80 – 2x ise, G(x) = x p(x)= x(80-2x)= 80x – 2x2ve böylece K(x)= G(x) – M(x) =(80x – 2x2) – (100+5x) = – 2x2+75x – 100 TL olur.

18. Bir Problem. Bir tür çapa makinesi üreten bir şirket, yaptırdığı analizler sonucu, yılda x adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin M(x)=15+(1.2)xbin TL; makine başına uygun satış fiyatının da p(x)=6-0.075x bin TL olacağını tespit ediyor. Bu şirket yılda en çok 80 adet makine üretecektir. Şirketin ürettiği ürünün tamamını satacağını varsayarak a)Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda toplam gider ve bir makinenin satış fiyatnı bulunuz. b)Gelir fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 50 adet makine üretilmesi durumunda şirketin gelirini belirleyiniz. c)Kâr fonksiyonunu veren denklemi yazınız. Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda şirketin kârını bulunuz. Çözüm. a) Yıllık toplam gider bin TL, bir makinenin satış fiyatı bin, yani 2250 TL. b) bin, yani 112 500 TL. c) olup 50 adet makine üretilmesi durumunda şirketin kârı K(50)=112.5-75=37.5 bin, yani 37500 TL dir.

19. Basit Fonksiyonlar (ElementaryFunctions). Bu derste ve benzeri matematik derslerinde en çok karşılaşacağınız fonksiyonlar, basit fonksiyonlar olarak bilinen fonksiyonlar ile onlardan temel dönüşümlerle elde edilen fonksiyonlardır. Aşağıda, basit fonksiyonları, grafikleriyle birlikte listeliyoruz: y Birim Fonksiyon: Her reel sayıya kendisini karşılık getiren fonksiyon. f(x) = x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : ℝ x y = x Mutlak Değer Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının mutlak değerini karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : [0,) y = |x|

20. Kare Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karesini karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : [0,) y = x2 y Küp Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küpünü karşılık getiren fonksiyon. x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : ℝ y = x3

21. Karekök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karekökünü karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : [0,) Görüntü Kümesi : [0,) Küpkök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küp kökünü karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : ℝ Görüntü Kümesi : ℝ

22. Hiperbolik Fonksiyon: Her reel sayıya o sayının çarpımsal tersini karşılık getiren fonksiyon. y x Tanım Kümesi : ℝ\{0} Görüntü Kümesi : ℝ\{0}

23. Bu fonksiyonlar fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir: Aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h, k, l, m ve nfonksiyonlarını ele alalım: Aşağıda göreceğimiz üzereg, h, k, l, m ve nfonksiyonlarının grafikleri de ffonksiyonunun grafiği cinsinden elde edilebilir. g, h, k, l, m ve nfonksiyonlarının f fonksiyonu cinsinden tanımı en genel biçimiyle şöyle verilebilir: a, bve creel sayılar, c > 1 olmak üzere Yansıma Germe Büzme Yatay kayma Düşey kayma Bu fonksiyonlardan her birinin grafiği fnin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesiyle elde edildiğinden yukarıdaki ifadelerden her birine bir temel dönüşümdenir.

24. y = f(x+a)yı sağlar y = f(x)i sağlar g(x) = f(x+a) (x ,g(x)) (x+a ,g(x)) a < 0 ise a > 0 ise (x+a ,g(x)) Yatay Kayma.g(x)= f(x+a) y g(x)=f(x+a) x x+a x+a x y = f(x+a)nın grafiğinin y = f(x)in grafiğinden elde edilişi: • Eğer a > 0 ise, y = f(x+a)nın grafiği y = f(x)in grafiğinin a birim sola kaydırılmasıyla elde edilir. • Eğer a < 0 ise, y = f(x+a)nın grafiği y = f(x)in grafiğinin -abirim sağa kaydırılmasıy-la elde edilir.

25. y y y x x x (0,0) (0,0) (0,0) Örnek.y = f(x)= in yatay kaymaları.

26. y =(x-3)2 1 birim sola y 3 birim sağa 2 birim sağa (2,0) y =x2 x (0,0) y =(x+1)2 y =(x-2)2 (3,0) (-1,0) Örnek.y = f(x)=x2nin yatay kaymaları. y =(x-2)2 y =(x+1)2 y =(x-3)2

27. y= |x-3| y 1 birim sola 2 birim sağa 3 birim sağa (2,0) y = |x+1| y = |x| y = |x-2| x (0,0) (3,0) (-1,0) Örnek.y = f(x)=|x| in yatay kaymaları. y= |x-2| y = |x-3| y= |x+1|

28. y = f(x)+ b yi sağlar b > 0 ise b < 0 ise (x ,h(x)) y = f(x)i sağlar (x ,f(x)) y = f(x)+ b yi sağlar (x ,h(x)) Düşey Kayma.h(x)= f(x)+ b y h(x)=f(x)+ b f(x) h(x)=f(x)+ b x x y = f(x)+ bnin grafiğinin y = f(x)in grafiğinden elde edilişi: • Eğer b > 0 ise, y = f(x)+ bnin grafiği y = f(x)in grafiğinin b birim yukarıya kay-dırılmasıyla elde edilir. • Eğer b < 0 ise, y = f(x)+ bnin grafiği y = f(x) in grafiğinin -bbirim aşağıya kay-dırılmasıyla elde edilir.

29. y y y x x x (0,0) (0,0) (0,0) Örnek.y = f(x)= in düşey kaymaları.

30. y =x2 +1 y =x2 -2 y y =x2 1 birim yukarıya 2 birim aşağıya x (0,0) (0,-2) (0,1) Örnek.y = f(x)=x2nin düşey kaymaları. y =x2 + 1 y =x2- 2

31. y = |x|+1 y y = |x| 1 birim yukarıya 2 birim aşağıya x y = |x| - 2 (0,0) (0,-2) (0,1) Örnek.y = f(x)= |x|in düşey kaymaları. y = |x| -2 y = |x|+1

32. (x ,f(-x)) Yansıma(y-eksenine göre).k(x)= f(-x) y y = f(x)i sağlar y = f(-x)i sağlar (-x , f(-x)) x x -x (0,0) y =f(-x)in grafiği, y = f(x)in grafiğinin y–ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir.

33. ve y = x2 niny–eksenine göre yansımaları verilmiştir. Örnek. Aşağıda y=(–x)2 y=x2 y y y = x2 niny–eksenine göre yansımasında dikkatinizi çeken bir durum var mı? x x (0,0) (0,0) Örnek. Şimdiy = (x-2)2 niny–eksenine göre yansımasını görelim. y y=(–x–2)2 y=(x–2)2 x (–2,0) (2,0)

34. y = f(x)i sağlar (x ,f(x)) (x ,- f(x)) y = -f(x)i sağlar (0,0) Yansıma (x-eksenine göre).l(x)= - f(x) y f(x) x x - f(x) y = - f(x)in grafiği, y = f(x)in grafiğinin x– ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir.

35. y y x x (0,0) (0,0) in x-eksenine göre yansıması y = f(x)=x2 ve y = Örnek. y=x2 y= - x2

36. y y= |x| y= - |x| x (0,0) Örnek.y = f(x) = |x|in x-eksenine göre yansıması.

37. y (x ,f(x)) x (x ,c f(x)) (0,0) Germe ve Büzme.m(x)= c f(x), y = c f(x)i sağlar c f(x) y = f(x)i sağlar f(x) x i sağlar y = c f(x)in grafiği, y = f(x)in grafiğindeki her noktanın ordinatı cile çarpılarak , in grafiği, y = f(x)in grafiğindeki her noktanın ordinatı cile bölünerek elde edilir. • Eğer c > 1 ise, y = c f(x)in grafiği, y = f(x)in grafiğinin düşey doğrultudagerilmiş biçimi olur. • Eğer c > 1 ise, in grafiği, y = f(x)in grafiğinin düşey doğrultuda büzülmüş biçimi olur.

38. y =(1/2)x2 y y =2x2 y =x2 (1,1) (1, 2) (1,1/2) x (0,0) Örnek.y = f(x)= x2nin gerilme ve büzülmeleri. gerilme büzülme y =(1/2)x2 y =2x2

39. y y = |x| y =(1/3)|x| (1,1) (1, 3) (1,1/3) x y = 3|x| (0,0) Örnek.y = f(x)= |x|in büzülme ve gerilmeleri. gerilme büzülme y = (1/3)|x| y = 3|x|

40. Temel dönüşümleri aşağıdaki tabloda özetliyoruz:

41. Kayma, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Uygulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksiyonlardan pek çoğu, basit fonksiyonlara daha önce gördüğümüz temel dönüşümlerin art arda uygulanmasıyla elde edilir. Örnek.y = -3|x - 1| + 2nin grafiği, y = |x|in grafiğinden elde edilebilir. y = |x - 1| y = |x|  y = 3|x - 1|  y =-(3|x - 1|) y =-(3|x - 1|)+ 2

42. y y= |x| (1,2) y= |x-1| (2, 3) x y= - 3|x-1|+2 y= - 3|x-1| y=3|x-1| (1,1) (0,0) (1,0) (2, 1) y = |x| y = |x - 1|  y = 3|x - 1| y = -(3|x - 1|) y = -(3|x - 1|)+2

43. y =(x-1)2 y y = x2 x (1,0) (0,0) y =x2 – 2x (1,-1) Örnek.y =x2 – 2x in grafiği, y =x2nin grafiğinden elde edilebilir. x2 – 2x = x2 – 2x +1 – 1 = (x-1)2–1olduğu göz önüne alınarak, y =x2 y = (x-1)2= x2 – 2x+1 y =(x-1)2–1 = x2 – 2x

44. y (40,120) (80,0) x (0,0) (40,0) y (32,61.8) x (80,0) (0,0) (32,0) Örnek.Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, yılda x adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin M(x)=15+(1.2)x bin TL; makine başına uygun satış fiyatının da p(x)=6-0.075x bin TL olacağını tespit ediyor. Bu firma yılda en çok 80 adet makine üretecektir. Gelir ve kâr fonksiyonlarının grafiğini çiziniz.