Systèmes d’équations et analyse de circuits

1. Systèmes d’équationset analyse de circuits Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les matrices pour faire l’analyse d’un circuit. Nous ferons d’abord une analyse classique par les branches et nous verrons comment diminuer le nombre d’équations en faisant une analyse par les mailles pour ensuite présenter une façon programmée de traduire la situation par une équation matricielle. Mais tout d’abord, rappelons les notions, définitions et lois dont nous nous servirons.

3. Définitions Circuit électrique Un circuitélectriqueest un ensemble d’éléments (sources de tension, sources de courant, résistances, etc.) reliés par des conducteurs (fils). Branche d’un circuit Une branche d’un circuitest une partie d’un circuit constituée d’un ou de plusieurs éléments montés en série.

4. Définitions et notations V1 Maille d’un circuit R1 R3 R2 Unemaille d’un circuit est un trajet fermé et conducteur. V3 V2 E Nœud d’un circuit Un nœud d’un circuit est un point ou un conducteur auquel sont reliées différentes branches du circuit. Notations La tension à la source en volts (V) est notée E. La résistance en ohms (Ω) est notée R, avec ou sans indice. La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est notée V. Elle est mesurée en volts. L’intensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou sans indice.

5. Loi d’Ohm Dans un circuit à courant continu, l’intensité du courant est directement proportionnelle à la tension appliquée et inversement proportionnelle à la résistance. Cette loi s’écrit : I = V/R où I est l’intensité du courant en ampères (A), V, la tension appliquée en volts (V) et R, la résistance en ohm (Ω). On exprime souvent la loi d’Ohm sous la forme : V = RI.

6. Potentiel et sens conventionnel L’effet de la source est une augmentation de potentiel (lorsque traversée par le courant du – au +) et l’effet d’une résistance est une diminution du potentiel (lorsque traversée du + au –). Sens conventionnel On utilise ici le sens conventionnel du courant, ce qui signifie que le courant, dans le circuit, va de la borne positive de la source vers sa borne négative (le sens réel va de la borne négative à la positive). Au début des études sur le courant, on pensait que le courant était dû au déplacement de particules positives alors qu’il est dû au déplacement d’électrons de charge négative. On peut tout aussi bien considérer le sens réel, cela a pour effet de changer le signe des deux membres des équations dans l’analyse d’un circuit.

7. Loi des tensions de Kirchhoff V1 V1 V4 V2 E V2 E V4 V3 V3 S S Dans toute maille d’un circuit, la somme algébrique des différences de potentiel (incluant celle à la source) est nulle. En appliquant la loi des tensions à la première maille, on a : E – V1 – V2 – V3 = 0 ou V1 + V2 + V3 = E En l’appliquant à la deuxième maille, on a : V2 – V4 = 0 ou –V2 + V4 = 0 En l’appliquant à la troisième maille, on a : E – V1 – V4 – V3 = 0 ou V1 + V3 + V4 = E La troisième équation est la somme des deux premières, elle est donc superflue. Ce n’est pas une nouvelle contrainte sur les variable

8. Loi des courants de Kirchhoff I1 I3 I2 I2 I1 I3 I1 I3 I2 S S La somme algébrique des courants dans un nœud est nulle. En appliquant cette loi au premier nœud, on obtient : I1 – I2 – I3 = 0 En l’appliquant au deuxième nœud, –I1 + I2 + I3 = 0 La deuxième équation est superflue. Autre exemple : I1 + I2 – I3 = 0

9. Analyse de circuits L’analyse d’un circuit vise à trouver les éléments inconnus de celui-ci qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous ne considérerons ici que les circuits dont les inconnues sont les courants. Analyse par les branches L’analyse par les branches consiste à attribuer un courant à chacune des branches et à établir les équations de nœuds et de mailles en utilisant les lois de Kirchhoff. On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi d’Ohm et on solutionne le système d’équations obtenu.

10. Analyse par les branches S S Faire l’analyse par les branches du circuit illustré. V3 V1 + – + – Courants de branches – I1 I3 I2 V2 V2 Attribuons un courant à chacune des branches. + Équation du nœud Il y a deux nœuds, mais ils donnent la même équation, soit : Équation de la maille 1 I1 + I2 – I3 = 0 15 – V1 + V2– 5 = 0 ou V1 – V2= 10. 4I1 – 5I2 = 10 Puisque V1 = 4I1 et V2= 5I2,on a : 5I2 +2I3 = 23 Équation de la maille 2 5 – V2 – V3+ 18 = 0 ou V2 + V3= 23. Puisque V2 = 5I2 et V3= 2I3,on a :

11. Solution 1 4 0 1 –5 5 –1 0 2 0 10 23 S S S S I1 + I2 – I3 = 0 4I1 – 5I2 = 10 5I2 +2I3 = 23 Nous devons résoudre le système d’équations : 1 4 0 1 –5 5 –1 0 2 0 10 23 Appliquons la méthode de Gauss-Jordan. La matrice augmentée est : 1 0 0 1 –9 5 –1 4 2 0 10 23 L1 L2 – 4 L1 L3 ≈ 0 –171 0 0 0 38 1665 –324 257 342 0 0 9 0 0 0 –9 0 –5 4 38 10 10 257 38L1 + 5L3 19L2 – 2L3 L3 9L1 + L2 L2 9L3 + 5L2 ≈ ≈ On trouve donc : I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A, I3 = 6,76 A. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4,87 1,89 6,76 L1 /342 L2 /(–171) L3 /38 ≈

12. Interprétation des résultats La solution est complète lorsqu’on a indiqué sur le circuit le courant dans chacune des branches. On a obtenu : 6,76 A 4,87 A 1,89 A I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A et I3 = 6,76 A Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le sens que l’on avait supposé pour les courants est le bon. Remarque Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant avant d’écrire les équations. La solution du système d’équations nous l’indique. Si dans la solution un des courants est négatif, cela signifie que son sens est contraire à celui utilisé pour établir les équations. Il suffit d’être cohérent en établissant les équations.

13. Exercice Faire l’analyse par les branches du circuit illustré en considérant les sens indiqués pour les courants. – + – + I1 I3 – Courants de branches I2 + Cliquer pour la solution. I1 + I2 – I3 = 0 Équation de N1 Circuit résolu 3I1 – 3I2 = 18 Équation de M1 Équation de M2 3I2 +4I3 = 4 4,18 A 2,36 A Matrice échelonnée réduite 1,82 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4,18 –1,82 2,36

14. Analyse par les mailles L’idée de l’analyse par les mailles est d’isoler dans l’équation de nœud le courant de la branche commune à deux mailles et de substituer l’expression obtenue dans les équations de ces mailles. Considérons le circuit illustré ci-contre. + – + – – I1 I3 I2 + L’équation de nœud est : I1 + I2 – I3 = 0 En isolant le courant de la branche commune, on obtient : I2 =I3 – I1 Substituons dans les équations de mailles. Dans4I1 – 5I2 = 10, on obtient : 4I1 – 5(I3 – I1)= 10 Dans5I2 +2I3 = 23 , on obtient : 5(I3 – I1)+2I3 = 23

15. Équations des mailles Par cette substitution, on obtient un système de deux équations à deux inconnues, soit : I1 I3 4I1 – 5(I3 – I1)= 10 5(I3 – I1)+2I3 = 23 On peut sauter une étape de l’analyse par les branches de façon à obtenir directement ces deux équations. Pour ce faire, considérons seulement I1 et I3 appeléscourants de maille, tous deux de sens horaire. Établissons les équations de mailles en considérant que le courant dans la branche commune est soit I1 – I3 soit I3 – I1 selon la maille considérée. En appliquant directement la loi d’Ohm, on trouve alors : 4I1 + 5(I1 – I3 )= 10, dans la première maille. 5(I3 – I1 )+2I3 = 23, dans la deuxième maille.

16. Solution du système S S Regroupons les inconnues dans les équations du système : 4I1 + 5(I1 – I3 )= 10 I1 I3 5(I3 – I1 )+2I3 = 23 9I1– 5I3 = 10 –5I1 + 7I3 = 23 On obtient : Appliquons la méthode de Gauss-Jordan. L1 9L2 +5L1 9 –5 –5 7 10 23 9 0 –5 38 10 257 ≈ 38L1 + 5L2 L2 L1 /342 L2 /38 342 0 0 38 1665 257 1 0 0 1 4,87 6,76 ≈ ≈ Cela donne : I1= 4,87 et I3 = 6,76.

17. Interprétation On a obtenu : I1= 4,87 A et I3 = 6,76 A. 4,87 A 6,76 A Interprétons les résultats. 1,89 A Les courants de maille sont les courants de branches sauf dans la maille commune. Dans la maille commune, le courant est I1 – I3 ou I3 – I1. Il faut déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans le cas présent, on a I3 > I1, par conséquent, le sens du courant dans la branche commune est le même que le courant de maille I3 et sa valeur est : I3 – I1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A. Le courant dans la maille commune doit équilibrer l’équation de nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.

18. Exercice Faire l’analyse par les mailles du circuit illustré. Cliquer pour la solution. Équations 3I1 + 3(I1 – I2)= 18 Circuit résolu 3(I2 – I1)+4I2 = 4 6 –3 –3 7 18 4 Matrice augmentée 4,18 A 2,36 A 1,82 A Matrice échelonnée réduite 1 0 0 1 4,18 2,36

19. Exercice 2Ω 3Ω 1Ω 2Ω 2Ω 14V 14V 2Ω 3Ω 1Ω 5,25A 3,5A 7A 3,5A 1,75A 2Ω 2Ω 14V 14V Faire l’analyse par les mailles du circuit illustré. Cliquer pour la solution. Équations 2I1 + 2(I1 – I2)= 14 Circuit résolu 2(I2 – I1) + 3I2 +2(I2 – I3)= 0 2(I3 – I2) + 1I3 = 14 4 –2 0 –2 7 –2 0 –2 3 14 0 14 Matrice augmentée 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5,25 3,5 7 Échelonnée réduite

20. Généralisation a Ω c Ω e Ω 2 3 1 b Ω d Ω E1V E2V E3V S S Construire la matrice des mailles du circuit illustré. Équations aI1 + b(I1 – I2)= E1 b(I2 – I1) + cI2 +d(I2 – I3)= E2 d(I3 – I2) + eI3 = E3 Remarques En regroupant : • Chaque maille est représentée par une ligne. • L’élément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille. • Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe négatif. (a + b)I1 – bI2 = E1 –bI1 + (b + c + d)I2 –eI3 = E2 –dI2 + (d + e) I3 = E3 L’équation matricielle est : a + b –b 0 –b b + c + d –d 0 –d d + e I1 I2 I3 E1 E2 E3 • =

21. Exercice 4Ω 2Ω 3Ω 1 2 3 1Ω 3Ω 4Ω 2Ω 3Ω 1 2 3 1Ω 3Ω S 14V 10V 25V Dans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient : I1 = 5 A, I2 = 1 A et I3 = 4 A. Cliquer pour la solution. L’équation matricielle est : Le circuit résolu est : 3 –1 0 –1 7 –3 0 –3 7 I1 I2 I3 E1 E2 E3 • = Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient : 3 –1 0 –1 7 –3 0 –3 7 5 1 4 14 –10 25 • =

22. Généralisation E2V b Ω 2 d Ω E1V a Ω e Ω 1 c Ω 3 E3V S S Construire la matrice des mailles du circuit illustré. Équations a(I1 – I2)+ c(I1 – I3)= E1 a(I2 – I1) + bI2 +d(I2 – I3)= E2 c(I3 – I1) + d(I3 – I2) + eI3 = E3 Remarques En regroupant : • Chaque maille est repré-sentée par une ligne. • L’élément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille. • Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe négatif. (a + c)I1 – aI2 – cI3 = E1 –aI1 + (a + b + d)I2 –dI3 = E2 –cI1 – dI2 + (c + d + e) I3 = E3 L’équation matricielle est : –a a + b + d –d a + c –a –c –c –d c + d + e I1 I2 I3 E1 E2 E3 • =

23. Exercice 3Ω 2 2Ω 4Ω 3Ω 1Ω 1 3 10V 3Ω 2 2Ω 4Ω 3Ω 1Ω 1 3 10V S S 18V Dans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient I1 = 6 A, I2 = 2 A et I3 = 4 A. Cliquer pour la solution. L’équation matricielle est : 3 –2 –1 –2 9 –4 –1 –4 8 I1 I2 I3 E1 E2 E3 Le circuit résolu est : • = Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient : 3 –2 –1 –2 9 –4 –1 –4 8 6 2 4 10 –10 18 • =

24. Procédure d’analyse par les mailles 1. Numéroter les mailles et attribuer un courant de sens horaire à chacune des mailles du circuit. 2. Écrire la matrice des mailles. Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille. Chaque élément de la diagonale est la somme des résistances de la maille correspondant à la ligne de cet élément. Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée d’un signe négatif, des résistances communes à la maille représentée par la ligne et à celle représentée par la colonne.

25. Procédure d’analyse par les mailles 3. Écrire la matrice des tensions. La constante de l’équation de la maille Mi est la somme algébrique des sources de tension traversée par le courant Ii . Les sources traversées de la borne négative à la borne positive sont affectées du signe positif et celles traversées de la borne positive à la borne négative sont affectées du signe négatif. 4. Résoudre le système d’équations linéaires résultant. 5. Interpréter les résultats selon le contexte (donner le circuit résolu). Exercices additionnels Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature, Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.

26. Bibliographie BOYLESTAD, Robert L,(1979), Analyse de circuits, introduction, Montréal, ERPI, 716 p. JACKSON, Herbert W.(1987), Circuits électriques, courant continu, Traduction de Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal, Éditions Reynald Goulet, 424 p. OUELLET, Carol (2000), Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du Griffon d’argile,368 p. RIDSDALE, R.E. (1980), Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill, 797 p. ROSS, André (2003), Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Applications en sciences de la nature, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 445 p. ROSS, André (1999), Mathématiques appliquées aux technologies du Génie électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 427 p.