Modèles dynamiques en dimension 1

1. Modèles dynamiques en dimension 1

2. Linéaire dx/dt = f(x) f(x) x Une histoire d’étang et de nénuphars…

3. Population mondiale depuis 10 000 ans Source : Musée de l’Homme

4. Croissance économique depuis un siècle PIB mondial de 1900 à 2000 (reconstitution, car le PIB date de l’après-guerre), en dollars de 1990 x 20 environ Source : Maddison, 1995

5. Linéaire = 1 + ressources limitées dx/dt = f(x) Equilibre stable f(x) x

6. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee dx/dt = f(x) f(x) Equilibre instable x Equilibre stable

7. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x Equilibre instable Equilibre stable

8. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x

9. Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x Equilibre instable Equilibre stable

10. Bifurcation de disparition d’équilibres, phénomène de seuil • Seuil, irréversibilité, hystérèse • Comportement contre-intuitif ! • Exemples : • Extinction d’une population • Changement climatique • …

11. Modèles dynamiques et modèles mentaux • Nos images mentales sont des modèles. • Sont-elles plus fiables ou moins fiables que des modèles simulés ?

12. Modèles dynamiques en dimension 2

13. Systèmes proie - prédateur Oscillations plus ou moins régulières, période 9 à 10 ans, grande amplitude

14. Ici schéma de l’espace des phases, modèle de Lotka-Volterra, schéma avec oscillations amorties, schéma avec solution périodique attractive

15. Autres modèles de type activateur-inhibiteur La réponse d’un système présentant des boucles de rétroaction ne correspond pas forcément à notre intuition, car nous avons du mal à appréhender l’effet de ces boucles de rétroaction. • Autres systèmes de type proie/prédateur • Biologie (propagation de l’influx nerveux, …) • Economie, société • Psychologie • …

16. Modèles dynamiques en dimension 3

17. Systèmes différentiels en dimension 3 : comportements « complexes »

18. Application du boulanger

19. Attracteur étrange et transformation du boulanger

20. Modèle de Lorenz Convection

21. Systèmes mécaniques simples ayant un comportement chaotique http://www.canalu.tv/themes__1/sciences_fondamentales/physique/sujets_transversaux/et_si_dieu_jouait_aux_des_2000 , voir « Les machines chaotiques »

22. Autres modèles • Biologie : • Régulation de la glycémie • Ecologie, Géologie • Chaînes trophiques • Cycle de l’azote • Cycle des roches • Cycle du carbone (cycle court, cycle long, hors perturbation anthropique) • Interaction Homme/environnement • Diffusion des polluants organiques persistants (DDT, PCB) • Gestion des pêches, effondrement des populations de morue de Terre-neuve • Eutrophisation • Gestion forestière, déforestation • Agriculture / élevage / dégradation des sols, désertification • Cycle du carbone (avec perturbation anthropique) • Réchauffement global • Gestion de l’eau (eau fossile, eau lentement renouvelable, eau rapidement renouvelable) • Déplétion et prix des ressources pétrolières ou hydrocarbures fossiles (peakoil), interaction avec l’économie

23. Modèles à présenter • Pression de sélection : les lapins et les renards • Cycle de l’azote • Pollution d’un lac • Colonisation d’un sol par divers types de végétation • Migration vers la mer des jeunes saumons • Littérature : Hamlet • Psychologie : extravertis / introvertis, test de Myers-Briggs

24. Eutrophisation Voir http://www.wsu.edu/~forda/lake1.html

25. Chaînes trophiques Source : Estes, J., M. Tinker, T. Wiliams, D. Doak. 1998. Killer whalepredation on seaotterslinkingoceanic and nearshoreecosystems. Science, 282: 473-476