POBOLJŠANJE SLIKE U FREKVENCIJSKOJ DOMENI

1. POBOLJŠANJE SLIKE U FREKVENCIJSKOJ DOMENI

2. SADRŽAJ PREDAVANJA • Uvod – općenito o poboljšanju slike • Fourier-ova transformacija (osnove) • Filtriranje slike (linearno, korjenom i homomorfno) • Konvolucija i konvolucijske maske

3. POBOLJŠANJE SLIKE • Obrada slike pri kojoj je dobiveni rezultat prikladniji (bolji) od orginala za određenu specifičnu svrhu • Npr. Prepoznavanje osoba, uočavanje grešaka... • Prostorna i frekvencijska domena • Prednost filtriranja u frekv. domeni je niža računska složenost (relativno!) • Za razumjevanje ovog područja potrebno je osnovno znanje o Fourierovoj transformaciji

4. FREKVENCIJSKA DOMENA I FOURIER-ova TRANSFORMACIJA • naglasak na osnovama i značaju kod digitalne obrade slike • proizvoljnu periodičnu funkciju možemo zapisati kao zbroj sinusoida različitih amplituda i frekvencija (koje je lakše analizirati jer su svojstva sinusoida dobro poznata)- Fourierov red • Funkcije koje nisu periodične (ali čija površina ispod krivulje je konačna)-Fourierova transformacija

6. Rekonstruiranje početne funkcije bez gubitka informacija-najvažnija karakteristika • FT kontinuirane funkcije s jednom varijablom f(x) dana je jednadžbom:

7. Inverzna FT: Te dvije jednadžbe zajedno tvore Fourierov transformacijski par.

8. Diskretna Fourierova transformacija funkcije f(x) dana je jednadžbom: Inverzna DFT:

9. F(u) se može izraziti i u polarnim koordinatama: gdje je spektar FT-a fazni kut. i • U svrhu poboljšanja digitalnih slika, najviše se radi sa svojstvima • spektra. • Također radi se i sa spektralnom gustoćom koja je definirana kao • kvadrat Fourierovog spektra.

10. M=1024 A=1 K=8 M=1024 A=1 K=16

11. Analogno DFT se proširuje na 2 dimenzije. DFT funkcije (slike) f(x,y) veličine MxN dana je jednadžbom: I njezin inverz:

12. Fourierov spektar, fazni kut i spektralna gustoća definiraju se kao i kod 1-D:

13. Vrijednost DFT pri (u,v)=(0,0) je što je srednja vrijednost f(x,y) – ako je f(x,y) slika, vrijednost DFT-a u ishodištu jednaka je srednjem “gray level-u” slike.

15. Filtriranje u frekvencijskoj domeni • Postupak se sastoji od slijedećih koraka: • Pomnožiti ulaznu funkciju (sliku) sa (-1)^x+y. • Izračunati F(u,v), DFT slike iz točke 1. • Pomnožiti F(u,v) sa funkcijom filtera H(u,v). • Izračunati inverznu DFT rezultata iz 3. • Izdvojiti realni član rezultata iz 4. • Pomnožiti rezultat iz 5 sa (-1)^x+y

16. Filter – ne propušta određene frekvencije, dok ostale ostaju nepromjenjene • Filtriranje se izvodi pomoću slijedećeg izraza: • Filtrirana slika se dobija inverzom FT-a od G(u,v):

18. niske frekvencije u FT – opći(prosječni) “grey level” glatkih površina • visoke frekvencije u FT – detalji, nagli prijelazi (rubovi, šum...) • nisko propusni filter – propušta niske frekv., a “reže”(attenuate) visoke frekv.-smoothing filteri • visoko propusni filter – propušta visoke frekv., a “reže” niske frekv.-sharpening filteri

20. Niskopropusni filteri • Idealni NP filter • Butterworth-ov NP filter • Gauss-ov NP filter

21. Idealni NP filter • Najjednostavniji NP filter • “odrezuje” sve visokofrekvencijske komponente koje imaju veću udaljenost od D0 od ishodišta (centrirane) transformacije Udaljenost točke od ishodišta

22. Cutoff frequency

23. Total image power: • Krug radijusa r sa ishodištem u sredini frekvencijskog kvadrata zatvara αposto “snage”(power):

26. Butterworth NP filter • Prijenosna funkcija BNPF n-tog reda sa cutoff frekvencijom na udaljenosti D0 od ishodišta:

28. Gaussov NP filter • Prijenosna funkcija:

30. Visokopropusni filteri • S obzirom da su rubovi i ostale nagle promjene gray level-a povezane sa visokofrekvencijskim komponentama, izoštravanje slike izvodi se sa VP filterima. • Funkcija im je suprotna on NP filtera pa prijenosnu funkc. pišemo: • Biti će prikazani idealni, Butterworth-ov i Gauss-ov VP filter

33. Homomorfno filtriranje • Slika f(x) može se izraziti kao umnožak osvijetljenja i reflektancije: • Osvijetljenje ima NF a reflektancija VF karakter • Smanjenjem intenziteta smanjuje se dinamički opseg slike a povećanjem reflektancije povećava se kontrast

34. Problem: osvjetljenje i reflektancija su u formi produkta-”nemoguće” nezavisno filtriranje obje funkcije • Rješenje: logaritmiranjem f(x,y) osvjetljenje i reflektancija pojavljuju se u formi zbroja, te se mogu nezavisno linearno filtrirati

35. Nakon filtriranja antilogaritmiranjem se rekonstruira originalna slika • Na taj način vrši se povećanje kontrasta

36. Obratiti pažnju na detalje u unutrašnjosti.

37. Filtriranje korjenom • Ako su v(k,l) DFT koeficjenti neke slike: • Kod filtriranja operacijom korjena nova se vrijednost dobiva kao:

38. Vađenje korjena naglašava visoke frekvencije relativno u odnosu na niske frekvencije • Filtriranje korjenom (engl. Alpha rooting) se koristi za naglašavanje viših frekvencija u slici

39. Konvolucija • Svi frekvencijski filteri se teoretski mogu implementirati i u vremenskoj domeni, jer je množenje u frekvencijskoj domeni ekvivalentno konvoluciji u vremenskoj domeni. Vrijedi konvolucijski teorem: G(u, v) = H(u, v)F(u, v) ⇔ g(x, y) = h(x, y) ∗ f (x, y)

40. Dvodimenzionalna diskretna konvolucija je dana s: • Filtriranje je računski manje zahtjevno u vremenskom području ako se radi o malim konvolucijskim maskama, te se u takvim slučajevima uglavnom provodi sa prostornim konvolucijskim maskama.

41. Za cilj prevođenja frekvencijskih filtera u konvolucijske maske može se postaviti da se dobije aproksimacija s najmanjom kvadratnom greškom. • U općem slučaju su članovi kompleksni, ali ako je frekvencijski filter realan i simetričan, onda će i konvolucijska maska biti takva. • Ako se ne može odrediti dovoljno dobra maska za aproksimaciju filtera ili ako aproksimacija filtera rezultira velikom konvolucijskom maskom, provodi se filtriranje u frekvencijskom području.

42. HVALA NA PAŽNJI !