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Para Computação

Para Computação. Aula de Monitoria – Prova 1 2011.2. Roteiro. Crescimento de Funções Inclusão-Exclusão Indução Matemática Definições Recursivas Teorema Binomial Triângulo de Pascal. Crescimento de Funções. A letra c denota uma constante qualquer. Crescimento de Funções.

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Presentation Transcript

  1. Para Computação Aula de Monitoria – Prova 1 2011.2 Alberto Trindade Gisely Melo José Araújo

  2. Roteiro • Crescimento de Funções • Inclusão-Exclusão • Indução Matemática • Definições Recursivas • Teorema Binomial • Triângulo de Pascal

  3. Crescimento de Funções A letracdenota uma constante qualquer Gisely Melo

  4. Crescimento de Funções Gisely Melo

  5. Crescimento de Funções Retire todas as Constantes: f(x): 3x2 + 9 f(x): x2 O(x2) Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente. g(x) = 3x2 + 70x5 = x2 + x5 = x5 O(x5 ) reduzir os expoentes... h(x) = 3x2 + 70x5 + 10 x12/x4 = x2 + x5 + x12/x4 = x2 + x5 + x8 = x8 O(x8) ampliar os expoentes... r(x) = 3x2 + 70x5 + 5(x6 . x4) r(x) = x2 + x5 + (x6 . x4) = x2 + x5 + (x10) = (x10) O(x10) Gisely Melo

  6. O(n2) O(n5) O(log n) O(n) Crescimento de Funções 12n4 + 55 n3 78n2 + 10 n log n log n + 240 O(n4) O(n5) O(n3) O(n) Gisely Melo

  7. Crescimento de Funções Gisely Melo

  8. Crescimento de Funções Gisely Melo

  9. Crescimento de Funções Gisely Melo

  10. Crescimento de Funções Gisely Melo

  11. Crescimento de Funções E se aparecer um sinal de MENOS na equação? Gisely Melo

  12. Crescimento de Funções o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado.. Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo negativo na equação... Gisely Melo

  13. Inclusão-Exclusão Gisely Melo

  14. Inclusão-Exclusão Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 1 32 Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO Gisely Melo

  15. Inclusão-Exclusão Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM PALÍDROMOS? 2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1 16 CADEIAS Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou... Gisely Melo

  16. Inclusão-Exclusão • Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7. Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos: De 1 até 100 100 números Por 7 Por 5 Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7: {35, 70} = 2 números Por 5 e por 7 Resposta 100 – 2 = 98 Gisely Melo

  17. Inclusão-Exclusão Exemplo: 1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1, ou terminam com 2 bits 00? Essa opção já esta incluída em A e em B Gisely Melo

  18. Inclusão-Exclusão Exemplo : questão 5 da lista de vocês: QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM? Gisely Melo

  19. Inclusão-Exclusão Provar que a quantidade de subconjuntos de um conjunto finito S é ..... existem cadeias de bits de tamanho | S |. Logo, | P(S) |= Gisely Melo

  20. 6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês? • Eu vou dividir 100 por 12 pra ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar • Depois percebo que da 8,333333 ? Resposta Função teto de: 8,333 = 9 Gisely Melo

  21. Crescimento de Funções

  22. Inclusão-Exclusão Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS Gisely Melo

  23. Indução matemática 1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n: 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n² b) - 1 é divisível por 7 Alberto Trindade

  24. Definições recursivas 2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se: An = 5n – 3 An = n(n + 1) An = n² Alberto Trindade

  25. Definições recursivas e Indução matemática Alberto Trindade

  26. Indução matemática 1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n: 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n² b) - 1 é divisível por 7 Alberto Trindade

  27. Definições recursivas 2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se: An = 5n – 3 An = n(n + 1) An = n² Alberto Trindade

  28. Definições recursivas e Indução matemática 3ª) Seja o n-ésimo número de Fibonacci. Use indução matemática para provar que )² + )² + ... + )² = )² . )², sendo n um inteiro positivo. Alberto Trindade

  29. Teorema binomial / Triângulo de Pascal 4ª) Prove, usando argumento combinatorial, que: Ligeiro

  30. Teorema binomial / Triângulo de Pascal 5ª) Prove Usando argumento combinatório Usando identidade de Pascal Ligeiro

  31. Teorema binomial / Triângulo de Pascal 6ª) Prove Use uma interpretação combinatória Ligeiro

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