MACIERZE

1. MACIERZE

2. Co to jest MACIERZ? • Macierz dwuwskaźnikowa – prostokątna tablica danych nazwanych elementami lub współczynnikami, pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o n wierszach i m kolumnach nazywa się czasami -macierzą prostokątną lub macierzą nxm. • Słowo "macierz" najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe. • Zwykle rozważa się macierze o elementach z ustalonego zbioru. Jeżeli na zbiorze tym określona jest pewna struktura algebraiczna, pozwala to wprowadzić działania algebraiczne na macierzach. Najczęściej przyjmuje się, że współczynniki macierzy są elementami pewnego ciała; rzadziej rozważa się macierze nad pierścieniem przemiennym.

3. A AT = Na macierzach możemy wykonywac rozne operacje oraz je przekształcać. Macierz A nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli m = n. Zamiast „macierz kwadratowa o n wierszach i n kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnian”. Główną przekątną macierzy kwadratowej A nazywamy wektor . • A= Macierzą transponowaną (przestawioną) do A, oznaczaną AT, nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy A, a kolumny są wierszami macierzy A. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną B do macierzy A przedstawia się następująco: AT=

4. Podmacierz macierzy A to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. • Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki). • Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze: A o n wierszach i m kolumnach, B o n wierszach i k kolumnach, C o l wierszach i m kolumnach i D o l wierszach i k kolumnach, to można z nich zestawić macierz klatkową . Macierz może zostać podzielona na 4 klatki 2×2 Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

5. Historia MACIERZY… • Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e.[1]. • Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e.Dziewięć Rozdziałów o Sztuce Matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych[2] W rozdziale siódmym, Zbyt dużo i nie wystarczająco po raz pierwszy wprowadzono koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego matematyka Seki Kowa w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693. • Kwadraty magiczne był znane także arabskim matematykom, prawdopodobnie już w VII wieku, kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części subkontynentu indyjskiego i przejęli zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej. Być może idea ta dotarła do nich przez Chiny. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w Encyklopedii Bractwa Czystości (arab.رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z Bagdadu około 983 roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim[1]. • Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy) przez Seki Kowa i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych, nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana • W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiście kwadraty magiczne, dopiero jednak James Joseph Sylvester i Arthur Cayley wprowadzili macierze dwuwskaźnikowe jako sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych – współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników układu równań. • Termin "macierz" pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Sylvestera. Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann przyczynili się do rozwoju teorii macierzy.

6. Dodawanie i mnożenie przez skalar • Jeżeli zbiór R, z którego bierze się elementy macierzy, jest pierścieniem przemiennym z jedynką (mówimy wtedy o macierzach nad pierścieniem R), to w zbiorze wszystkich macierzy o n wierszach, m kolumnach i elementach z pierścienia R określone są Działania: • mnożenia macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) wg wzoru • dodawania macierzy wg wzoru (aij) + (bij) = (aij + bij). Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów. Zbiór z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest macierz zerowa Θ o elementach równych , elementem przeciwnym do macierzy A jest macierz . • Mnożenie przez skalar spełnia warunki: • , • , • , • , • zatem zbiór z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad pierścieniem R. Moduł ten jest wolny rangi mn • Jeśli pierścień R jest ciałem, to zbiór z powyższymi działaniami staje się przestrzenią liniową nad ciałem R o wymiarze nm.

7. Przykład mnożenia przez skalar • Przykład dodawania macierzy

8. Mnożenie MACIERZY… • Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze liniowej, w której macierze służą do zapisu przekształceń liniowych – odpowiada ono ich składaniu. Macierze można również mnożyć używając iloczynu Kroneckera. • Iloczyn macierzy (nazywanej w tym kontekście lewym czynnikiem) i macierzy (prawy czynnik) jest macierzą taką, że • . • W zbiorze macierzy kwadratowych ich mnożenie jest działaniem wewnętrznym.

9. Przykłady mnożenia macierzy:

10. Oblicz iloczyn macierzy • A= , B= • Otrzymany wynik zamien na macierz transponowana.

11. Rozwiazanie: AB= (AB)T =

12. KONIEC :) Prezentacje wykonali: Oskar Maronna i Michał Kotala